PROVA SCRITTA 6/07/2010 ANALISI MATEMATICA

PROVA SCRITTA 6/07/2010 ANALISI MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA PROF. LUCA ESPOSITO

Candidato: Matricola:

Esercizio 1 Utilizzando la definizione di limite provare che risulta

x→0

lim ln (x

+ e) = 1

1

Esercizio 2 Si studi il grafico della seguente funzione:

f (x) = x √

1 − x

Esercizio 3 Si consideri la funzione f (x) =

½ α ln x se x > 1 arctan x + β se x ≤ 1 determinare α e β in modo tale che f risulti derivabile.

Esercizio 4 Studiare estremo superiore e inferiore ed eventuali massimi e minimi del seguente insieme:

A =

½ ln (n + 2)

n ; n ∈ N

¾

Esercizio 5 Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite

x→0

lim 1

arcsin x − 1 ln(1 + x)

Esercizio 6 Si calcoli il seguente integrale definito:

Z

arctan √

x dx

Esercizio 7 Studiare l’insieme di convergenza della seguente serie numerica al variare del parametro α

X

³√ n + 1 − √ n

´

·

³ sin 1

n

´

Esercizio 8 Determinare massimi e minimi della seguente funzione di due vari- abili

f (x, y) = 4x

− 16x

y + x