PROGRAMMA di ANALISI MATEMATICA 1 (F0002) 12 cfu Corso di Laurea FISICA (F1F) A.A 2011-2012 - I Semestre
Docente F.R. Guarguaglini
1 SISTEMA DEI NUMERI REALI. Assioma di Dedekind. Estremo superiore di un insieme di numeri reali. Proprieta’ di densita’ dei razionali. Topologia della retta: insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione, frontiera e chiusura di insiemi. Teorema di Bolzano- Weierstrass. Numeri naturali e principio di induzione.
2 SUCCESSIONI NUMERICHE. Limiti di successioni e loro proprieta’. Operazioni con i limiti. Successione monotone e definizione del numero di Nepero. Sottosuccessioni e compattezza per successioni. Criterio di convergenza di Cauchy.
3 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE. Generalita’. Grafico di funzione. Funzione composta e funzione inversa. Limite di funzione, limite destro e limite sinistro. Lim- ite di funzioni monotone. Funzioni continue. Punti di discontinuita’. Teorema degli zeri.Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Uniforme continuita’ e teo- rema di Heine-Cantor. Funzioni continue invertibili (senza dimostrazione). Studio di funzione e grafici (senza derivata seconda).
4 CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione geometrica e analitica di derivata. Regole di derivazione. Punti di non derivabilita’. Intervalli di monotonia e derivabilita’. Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat. Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti.
Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teoremi di de L’Hopital (dimostrazione nel caso 0/0). Il teorema di Taylor con resto di Peano e applicazione al calcolo dei limiti. Teorema di Taylor con resto di Lagrange.
5 INTEGRAZIONE. Primitive di funzioni continue e integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Alcuni sostituzioni speciali (integrali binomi). Integrale di Riemann e sue proprieta’. Criterio di integrabilita’. In- tegrabilita’ di funzioni continue e di funzioni monotone. Teorema della media integrale.
Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrali impropri: definizione, criterio del confronto.
6 SERIE NUMERICHE. Serie convergenti, divergenti, indeterminate, assolutamnte conver- genti. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi: criteri del confronto, della radice e del rapporto. Applicazioni del criterio dell’integrale. Serie a segno alternato:
criterio di Leibniz.
7 SUCCESSIONI DI FUNZIONI. Convergenza puntuale e uniforme. Teorema dell conti- nuita’ del limite. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (senza dimostrazione).
8 SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teoremi sulla continuita’ della somma, di integrazione per serie e di derivazione per serie. Serie di potenze: teorema del raggio di convergenza, criteri per il calcolo del raggio di convergenza.
Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor.
9 EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Calcolo delle soluzioni di equazioni del primo ordine lineari, del primo ordine a variabili separate e del secondo ordine lineari con coefficienti costanti.
TESTI: E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice Bologna.
N.Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore.
