IV. Funzioni olomorfe

IV. Funzioni olomorfe

La teoria delle funzioni di una variabile complessa `e un capitolo centrale e pieno di fa- scino della matematica. Ha la sua preistoria nelle opere di Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855), il suo periodo aureo con Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), G. F. Bernhard Riemann (1826–1866), Hermann Schwarz (1843–1921) e Karl Weierstrass (1815–1897), ed `e il risultato del contributo di molti matematici tral il 1800 e il 1950. Le idee, i metodi e i risultati della teoria delle funzioni olomorfe, al di l` a della loro bellezza estetica giocano un ruolo fondamentale in molte branche della matematica sia pura che applicata. Noi qui ci limiteremo a darne solo una introduzione, ad un livello elementare.

1 Funzioni da C in C

Numeri complessi

Ricordiamo che, se si associa ad ogni z = a + ib ∈ C il punto (a, b) ∈ R ² , si ottiene una identificazione tra l’insieme dei numeri complessi C e R ² , che rispetta le strutture di spazio vettoriale in C e R ² . La struttura di prodotto di numeri complessi da’ inoltre un modo semplice di descrivere le rotazioni orientate del piano della geometria. Infatti se z = a + ib, w = c + id sono due numeri complessi, si ha

zw = (a + ib)(c − id) = (ac + bd) + i(bc − ad) = (z|w) ^R

+ i det(w, z) (1.1) e dunque, se θ `e l’angolo formato dai vettori z = (a, b) e w = (c, d), misurato da w a z,

wz = |z||w|(cos θ + i sin θ).

In particolare si ritrova che iz, la moltiplicazione di z = a + ib per i, corrisponde al vettore ottenuto ruotando di π/2 in senso antiorario il vettore z: infatti izz = i |z| ² =

|z| ² (0 + i1).

Derivata complessa

Ricordiamo, cfr. Vol. III, Cap. 7, che in analogia con la derivata delle funzioni di una

variabile si pone

1.1 Definizione. Sia f : Ω ⊂ C → C, Ω aperto, z ⁰ ∈ Ω. Si dice che f `e derivabile in senso complesso in z 0 con derivata f ⁰ (z 0 ) se esiste finito (in C)

f ⁰ (z 0 ) = lim

z→z

f (z) − f(z ⁰ ) z − z ⁰ .

f ⁰ (z 0 ) `e detta la derivata complessa di f in z 0 . Se f ha derivata complessa in ogni punto di Ω, si dice che f `e olomorfa in Ω. La classe delle funzioni olomorfe su Ω si denota con H(Ω).

1.2 ¶ Mostrare che, come nel caso delle funzioni di una variabile reale.

(i) Se f ha derivata complessa in z

, allora f `e continua in z

.

(ii) Se f, g hanno derivata complessa in z

, allora f + g, f g hanno derivata complessa in z

e (f + g)

(z

) = f

(z

) + g

(z

), (f g)

(z

) = f

(z

)g(z

) + f (z

)g

(z

).

In particolare H(Ω) `e un anello su C.

(iii) Se f, g hanno derivata complessa e g(z

) 6= 0, allora f/g ha derivata complessa in z

e

“ f g

”

(z

) = f

(z

)g(z

) − g

(z

)f (z

) g

(z

) .

(iv) Siano Ω ⊂ C aperto, z

∈ Ω, f : Ω → C, A un aperto in C con f(z

) ∈ A e g : A → C. Se f ha derivata complessa in z

e g ha derivata complessa in f (z

), allora g ◦ f ha derivata complessa in z

e (g ◦ f)

(z

) = g

(f (z

))f

(z

).

(v) se F ha derivata complessa in Ω, e γ : [0, 1] → Ω `e di classe C

, allora t → F (γ(t)) `e derivabile in [0, 1] e

d

dt F (γ(t)) = F

(γ(t))γ

(t) ∀t ∈ [0, 1].

1.3 ¶ Siano f ∈ H(Ω), g ∈ H(∆) con Ω, ∆ aperti e f = g in Ω ∩ ∆. Allora la funzione

F (z) :=

( f (z) se z ∈ Ω, g(z) se z ∈ ∆

`e olomorfa in Ω ∪ ∆.

1.4 ¶ Mostrare che

(i) I polinomi in z ∈ C sono funzioni olomorfe su C.

(ii) La funzione R(z) := P (z)/Q(z) quoziente di due polinomi P e Q `e olomorfa in Ω := {z ∈ C | Q(z) 6= 0}.

Le equazioni di Cauchy–Riemann

Cominiciamo con qualche notazione. Sia f una funzione differentiabile a valori com- plessi, f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) se z := x + iy. Indichiamo rispettivamente con f x e f y la prima e la seconda colonna della matrice jacobiana di f (x, y) :

Df (z) = [f x |f ^y ] =

 u x u y

v x v y

 . Definiamo

∂f

∂z = f z := 1

2 (f x − if ^y ), ∂f

∂z = f z := 1

2 (f x + if y ), in modo che

f x = f z + f z , f y = i(f z − f ^z ).

Funzioni da C in C 139

file = cauchy.ps file = riemann.ps

file = weierstrass.ps

Figura 1.1.

Poniamo quindi

dz := dx + i dy, dz := dx − i dy, in modo che dx = ¹ ₂ (dz + dz), dy = _2i ¹ (dz − dz) e

df = f x dx + f y dy = f z dz + f z dz.

Ora, f : Ω ⊂ C → C, Ω aperto, ha derivata complessa in z ⁰ := x 0 + iy 0 se e solo se f (z 0 + w) = f (z 0 ) + f ⁰ (z 0 ) w + o( |w|) per w → 0. (1.2) D’altra parte f = u + iv `e differentiabile (in senso reale) in (x 0 , y 0 ) se

( u(x 0 + x, y 0 + y) = u(x 0 , y 0 ) + u x (x 0 , y 0 ) x + u y (x 0 , y 0 ) y + o( |w|), v(x 0 + x, y 0 + y) = v(x 0 , y 0 ) + v x (x 0 , y 0 ) x + v y (x 0 , y 0 ) y + o( |w|)

per w = x + iy → 0, che possiamo riscrivere, moltiplicando la seconda relazione per i e sommandola alla prima, come

f (z 0 + w) = f (z 0 ) + f x (z 0 )x + f y (z 0 )y + o( |w|) per w → 0. (1.3) Confrontando le (1.2) (1.3) si ottiene subito

1.5 Proposizione. f : Ω ⊂ C → C ha derivata complessa in z ⁰ ∈ Ω se e solo se f `e differenziabile (in senso reale) in z 0 e per qualche λ ∈ C

∂f

∂w (z 0 ) = Df (z 0 )(w) = λ w. (1.4)

In questo caso λ = f ⁰ (z 0 ).

La condizione (1.4) afferma che il differenziale (reale) di una funzione f con derivata complessa in z

esiste ed agisce sui vettori di R

con una moltiplicazione complessa

w −→ ∂f

∂w (z

) = df (z

)(w) = λ w.

E’ una condizione particolarmente stringente. Infatti due vettori w

, w

∈ C vengono mappati dal differenziale nei vettori λ w

, λ w

, i.e. in vettori ruotati dello stesso angolo e amplificati allo stesso modo di |λ|. In particolare vettori w

e w

perpendicolari e di lunghezza uguale hanno immagini λ w

e λ w

perpendicolari e di lunghezza uguale. Se poi w

= iw

, i.e., w

`e il ruotato di w

di π/2 in senso antiorario, allora banalmente λw

= i λw

, i.e., l’immagine di w

`e il ruotato di π/2 in senso antiorario dell’immagine di w

.

Se f `e differenziabile in z

, la (1.4) `e equivalente a

f

(z

) = if

(z

). (1.5)

e quindi f

(z

) = f

(z

) = f

(z

). A parole la (1.4) esprime il fatto che il vettore f

si ottiene ruotando di π/2 in senso antiorario il vettore f

. La (1.4) si puo’ anche riscrivere come

∂f

∂z (z

) = 0, (1.6)

oppure come le identit` a

8 >

> <

> >

:

∂u

∂x (x

, y

) = ∂v

∂y (x

, y

),

∂u

∂y (x

, y

) = − ∂v

∂x (x

, y

)

(1.7)

nelle componenti di f , f =: u + iv. Infine la (1.5) `e anche equivalente alle condizioni 8 >

<

> :

|f

(z

)| = |f

(z

)|, (f

(z

)|f

(z

)) = 0, det Df (z

) ≥ 0.

(1.8)

Pertanto

1.6 Proposizione. Sia Ω aperto. f ∈ H(Ω) se e solo se f `e differenziabile (in senso reale) in Ω e una delle condizioni seguenti `e verificata

(i) f y (z) = if x (z) ∀z ∈ Ω, (ii) ^∂f _∂z (z) = 0 ∀z ∈ Ω,

(iii) f := u + iv soddisfa le equazioni di Cauchy–Riemann dette equazioni di Cauchy-

Riemann. 

 



 



∂u

∂x (x, y) = ∂v

∂y (x, y),

∂u

∂y (x, y) = − ∂v

∂x (x, y)

∀z = x + iy ∈ Ω,

(iv) f verifica le condizioni di conformalit` a

( |f ^x (z) | = |f ^y (z) |, (f x (z) |f ^y (z)) = 0, e det Df (z) ≥ 0 ∀z ∈ Ω.

In questo caso f ⁰ (z) = ^∂f _∂z (z) = ^∂f _∂x (z) ∀z ∈ Ω.

Il teorema fondamentale del calcolo in C 141

2 Il teorema fondamentale del calcolo in C

Integrale di linea

Sia f : Ω → C, Ω ⊂ C aperto, una funzione continua e sia γ : [0, 1] → Ω ⊂ C una curva C ¹ in Ω. L’integrale di f (z) dz lungo la curva γ `e definito da

Z

γ

f (z) dz :=

Z 1 0

f (γ(t))γ ⁰ (t) dt = Z 1

0 < 

f (γ(t))γ ⁰ (t)  dt + i

Z 1 0 = 

f (γ(t))γ ⁰ (t)  dt.

L’integrale di f (z) dz lungo una linea γ `e dunque la versione complessa dell’integrale di una 1-forma differenziale lungo una curva, cfr. Cap. 3. Ricordiamo rapidamente alcune propriet` a. E’ presto visto, usando la formula di cambiamento di variabili per integrali unidimensionali che, se δ : [a, b] → Ω `e una riparametrizzazione di γ, i.e. se δ = γ ◦ h essendo h : [a, b] → [0, 1] di classe C ¹ e con h ⁰ ≥ 0, allora

Z

δ

f (z) dz = Z

γ

f (z) dz

Ricordiamo infine che se γ : [0, 1] → Ω e δ : [a, b] → Ω sono due curve semplici di classe C ¹ con la stessa immagine e γ(0) = δ(a), γ(1) = δ(b), allora γ e δ sono ciascuna la riparametrizzazione dell’altra e dunque

Z

γ

f (z) dz

dipende in realt` a solo dalla traiettoria γ(A) di γ. Ricordiamo infine le stime, che seguono direttamente dalla definizione,

    Z

γ

f (z) dz     ≤

Z

γ |f(z)| ds ≤ ||f|| ^∞,Ω L(γ)

avendo denotato con ds l’elemento d’arco e con L(γ) la lunghezza della curva γ.

Primitive olomorfe e integrali

2.1 Definizione. Siano Ω un aperto e f : Ω → C. Si dice che F ∈ H(Ω) `e una primitiva olomorfa di f in Ω se F ⁰ (z) = f (z) ∀z ∈ Ω.

Contrariamente al caso di funzioni di una variabile reale, non `e detto che una funzione f : Ω → C continua, o anche olomorfa in Ω, abbia una primitiva olomorfa F in Ω.

2.2 Esempio Sia f (z) =

, z 6= 0 e γ(t) := e

, t ∈ [0, 2π]. Evidentemente f ∈ H(C \ {0}). Se esistesse una primitiva olomorfa F di f (z) dz su C \ {0}, allora

0 = F (1) − F (1) = F (γ(2π)) − F (γ(0)) = Z

γ

dz z =

Z

ie

e

dt = 2π i (2.1)

un assurdo.

2.3 Teorema (fondamentale del calcolo). Siano Ω ⊂ C un aperto connesso e f : Ω → C una funzione continua. F ∈ H(Ω) `e una primitiva olomorfa per f in Ω se e solo se per ogni z, w ∈ Ω e ogni curva γ : [0, 1] → Ω di classe C ¹ a tratti con γ(0) = w, γ(1) = z si ha

F (z) − F (w) = Z

γ

f (z) dz.

Dimostrazione. Supponiamo che F sia una primitiva olomorfa di f . Allora f (γ(t))γ

(t) = F

(γ(t))γ

(t) =

d

dt

(F (γ(t))), cfr. Esercizio 1.2. Segue dal teorema fondamentale del calcolo per funzioni di variabile reale,

Z

γ

f (z) dz = Z

0

F

(γ(t))γ

(t) dt = Z

0

d

dt (F (γ(t))) dt = F (γ(1)) − F (γ(0)).

Viceversa sia z ∈ Ω e δ > 0 tale che B(z, δ) ⊂ Ω. Per ogni h, |h| < δ, segue dall’ipotesi che F (z + h) − F (z) =

Z

γ

f (w) dw

essendo γ la spezzata che congiunge z con z + h muovendo prima in orizzontale e quindi in verticale, cfr. Figura 2.3. Si noti che la lunghezza di γ non supera √

2 |h| e che l’immagine di γ `e contenuta in

B(z, |h|). Essendo Z

γ

dw = h, si ha

˛ ˛

˛F (z + h) − F (z) − hf(z) ˛ ˛ ˛ =

˛ ˛

˛ ˛ Z

γ

(f (ζ) − f(z)) dζ

˛ ˛

˛ ˛ ≤ sup

ζ∈B(z,|h|)

˛ ˛

˛f(ζ) − f(z) ˛ ˛ ˛ √ 2 |h|

e quindi ˛ ˛ ˛ ˛ F (z + h) − F (z)

h − f(z)

˛ ˛

˛ ˛ ≤

√ 2 sup

ζ∈B(z,|h|)

|f(ζ) − f(z)|

Essendo f continua in z, per h → 0, si ottiene che F ha derivata complessa in z con F

(z) = f (z) . 2.4 ¶ Sia Ω ⊂ C un aperto connesso e F : Ω → C tale che F

(z) = 0 ∀z ∈ Ω, allora F `e costante in Ω.

2.5 Teorema. Sia Ω un dominio di C. f : Ω → C ha una primitiva olomorfa in Ω se

e solo se Z

γ

f (z) dz = 0 (2.2)

per ogni curva chiusa γ di classe C ¹ a tratti con immagine in Ω.

Dimostrazione. Se f ha una primitiva olomorfa in Ω, allora la (2.2) segue dal teorema fondamentale del calcolo.

Viceversa, assumiamo la (2.2). Siano z

, z ∈ Ω e δ

: [0, 1] → Ω una curva di classe C

a tratti con δ(0) = z

e δ(1) = z. Sia

F (z) :=

Z

δz

f (ζ) dζ

Per ipotesi F (z) non dipende dalla scelta di δ

ma solo da z, dunque F : Ω → C `e univocamete definita. Se ora z, w ∈ Ω e γ : [0, 1] → Ω `e una curva C

a tratti con γ(0) = w, γ(1) = z, allora

F (z) − F (w) = Z

δz

f (ζ) dζ − Z

δw

f (ζ) dζ = Z

γ

f (ζ) dζ

ancora per la (2.2). F `e allora una primitiva olomorfa di f in Ω per il teorema fondamentale del

calcolo.

Il teorema fondamentale del calcolo in C 143

A

R

Figura 2.1. A `e ammissibile, ma A ∩ R non lo `e.

Domini regolari

Un aperto connesso di C si chiama anche un dominio di C. Diciamo che A `e un dominio regolare se A `e un dominio la cui frontiera `e l’unione delle immagini di un numero finito di curve semplici chiuse C ¹ a tratti che si toccano eventualmente sugli estremi.

In particolare per tutti i punti x del bordo ∂A tranne al piu’ un numero finito, `e definita la normale esterna ad A in x; indicheremo quindi con ∂ <sup>+</sup> A una curva C <sup>1</sup> a tratti che percorre il bordo di A in senso antiorario, i.e., lasciando alla sua destra la normale esterna ad A. La curva ∂ <sup>+</sup> A, pur non essendo univocamente definita, si chiama con un qualche abuso di linguaggio la frontiera orientata in senso antioriario, di A. In ogni caso, se f : Ω → C `e continua, l’integrale

Z

∂

A

f (z) dz

`e univocamente definito, non dipendendo dalla parametrizzazione scelta nel percorrere

∂A in senso antiorario.

Sia Ω un aperto e A ⊂ Ω un dominio regolare di C. ` E falso in generale che se R ⊂ Ω

`e un rettangolo, allora A ∩ R sia ancora un dominio regolare di C, cfr. Figura 2.1.

Diremo che A ⊂⊂ Ω `e un dominio ammissibile per Ω se esiste una quadrettatura di C tale che per ogni quadrato aperto R della quadrettatura tale che R ∩ A 6= ∅ si abbia

(i) R ⊂ Ω,

(ii) R ∩ A sia un dominio regolare di C.

Non `e il caso di discutere questa definizione, anche perche’ a posteriori risulter` a del tutto superflua. Baster` a osservare per quel che segue che i domini piccoli, i rettangoli di Ω, le palle B(z, r) ⊂⊂ Ω, le corone A(z, r, R) := {w ∈ C | r < |w−z| < R} strettamente contenute in Ω e gli insiemi del tipo A := B(z 0 , r) \B(z, δ) con B(z, δ) ⊂ B(z ⁰ , r) ⊂⊂ Ω sono domini ammissibili.

2.6 Proposizione. Sia f : Ω → C una funzione continua definita su un dominio Ω ⊂ C. Sono fatti equivalenti

(i) per ogni rettangolo R ⊂ Ω con i lati paralleli agli assi, si ha R

∂

R f (z) dz = 0,

(ii) per ogni rettangolo R ⊂ Ω con i lati paralleli agli assi e, per ogni z ⁰ ∈ R, la funzione

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

Ω

∂

A A A

Figura 2.2. (a) Un dominio A ⊂ C. (b) A `e un dominio ammissibile in Ω.

F (z) :=

Z

γ

f (ζ) dζ, z ∈ R,

dove γ z : [0, 1] → R `e la spezzata che congiunge z <sup>0</sup> = x 0 + iy 0 con x + iy 0 e quindi x + iy 0 con z = x + iy, `e una primitiva olomorfa di f in R,

(iii) per ogni dominio ammissibile A in Ω si ha Z

∂

A

f (z) dz = 0.

Dimostrazione. (i) ⇒ (ii). Mostriamo che F

(z) = f (z) ∀z ∈ R. Sia w 6= 0 tale che z + w ∈ R. Dalla (i) segue che

F (z + w) − F (z) = Z

γ

f (ζ) dζ

essendo γ la spezzata che congiunge z con z + w muovendo prima in orizzontale e quindi in verticale.

Si noti che la lunghezza di γ `e √

2 |w| e che l’immagine di γ `e contenuta in B(z, |w|). Si puo’ allora ripetere il ragionamento nella dimostrazione della Proposizione 2.6 e concludere che F ha derivata complessa in z e che F

(z) = f (z).

(ii) ⇒ (iii). Sia R un rettangolo con i lati paralleli agli assi contenuto in Ω e sia F

una primitiva olomorfa di f in R. Segue dal Teorema 2.3

Z

γ

f (z)dz = Z

0

f (γ(t))γ

(t) dt = Z

0

d

dt F (γ(t)) = F (γ(1)) − F (γ(0)) per ogni curva γ C

a tratti contenuta in R, in particolare

z w

z

Figura 2.3.

I teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe 145

Figura 2.4.

Z

∂⁺A

f (z) dz = 0

per ogni dominio A ⊂ R. Se ora A = ∪

A

con A

domini disgiunti contenuti ciascuno in un rettangolo R

⊂ Ω, si osserva che gli archi di curva in comune a piu’ di un A

sono percorsi esattamente due volte con orientazione opposta. Percio’ gli integrali sui tratti in comune si elidono e quindi

Z

∂⁺A

f (z) dz = X

Z

∂⁺A_i

f (z) dz = 0.

(iii) ⇒ (i). Ovvio.

Conviene evidenziare le differenze tra il Teorema 2.5 e la Proposizione 2.6.

2.7 Corollario. Sia Ω un dominio di C.

(i) f : Ω → C ha localmente primitive olomorfe se e solo se per ogni dominio A ⊂ Ω ammissibile per Ω si ha Z

∂

A

f (z) dz = 0.

(ii) f ha una primitiva olomorfa in Ω se e solo se Z

γ

f (z) dz = 0.

per ogni curva chiusa C ¹ a tratti contenuta in Ω.

3 I teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe

In questo paragrafo proviamo i teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe. In par-

ticolare proveremo che le funzioni olomorfe sono tutte e sole quelle funzioni che sono

localmente la somma di una serie di potenze.

3.1 Teorema (Goursat). Sia Ω un dominio di C e f ∈ H(Ω). Allora f ha localmente

primitive olomorfe e Z

∂

A

f (z) dz = 0 per ogni dominio ammissibile A ⊂ Ω.

R

R

R

R

Figura 3.1.

Dimostrazione. Per la Proposizione 2.6, basta provare che per ogni rettangolo R ⊂ Ω con i lati paralleli agli assi, si ha R

∂⁺R

f (z), dz = 0. Diamo la dimostrazione dovuta a Edouard Goursat (1858–1936).

Sia R un rettangolo con lati paralleli agli assi strettamente contenuto in Ω. L’integrale R

∂⁺R

f (z) dz

`e allora ben definito (f `e continua in Ω). Supponiamo η(R) :=

Z

∂⁺R

f (z) dz 6= 0. (3.1)

Dividiamo R in quattro rettangoli uguali R

, . . . R

. Poiche’ i segmenti dei bordi comuni a due rettangoli si elidono, si ha

η(R) = X

η(R

).

Segue che per almeno uno di essi R

:= R

|η(R

)| ≥ 1 4 |η(R)|

Dividendo R

in quattro e procedendo per induzione, si costruisce una successione di rettangoli R

uno dentro l’altro tali che diag (R

) = 2

diag (R), Perimetro (R

) = 2

Perimetro (R) e

|η(R

)| ≥ 4

|η(R)|. (3.2)

Sia ora z

= ∩

R

. Dalla definizione di olomorfia, per ogni  > 0 esiste δ > 0 e n tali che per ogni n ≥ n si ha R

⊂ B(z

, δ) e

|f(z) − f(z

) − f

(z

)(z − z

)| ≤  |z − z

| ∀z ∈ B(z

, δ) da cui per ogni n sufficientemente grande si ha

|η(R

)| =

˛ ˛

˛ ˛ Z

∂⁺Rn

“ f (z) − f(z

) − f

(z

)(z − z

) dz ”˛˛

˛ ˛

≤  Z

∂⁺Rn

|z − z

| dz ≤  diag (R

) Perimetro (R

)

≤ c 4

.

Si ottiene quindi dalla (3.2) che |η(R) ≤ c . Essendo  arbitrario, si conclude che η(R) = 0.

I teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe 147

z

∂

A

Figura 3.2.

3.2 ¶ Siano Ω un dominio di C e z

∈ A ⊂ B ⊂ Ω. Se A e B sono domini ammissibili per Ω, allora Z

∂⁺A

f (z) dz = Z

∂⁺B

f (z) dz ∀f ∈ H(Ω).

3.3 Teorema (Formula di Cauchy, I). Se f ∈ H(Ω), vale la formula di Cauchy:

per ogni dominio ammissibile A ⊂⊂ Ω e ogni z ∈ A si ha f (z) = 1

2πi Z

∂

A

f (ζ) ζ − z dζ.

Dimostrazione. La funzione f (ζ)/(ζ − z) `e olomorfa in Ω \ {z}. Se poi δ `e sufficientemente piccolo in modo che B(z, δ) ⊂ A, l’insieme A \ B(z, δ) `e un dominio ammissibile per Ω \ {z}. Segue dal

Teorema 3.1 Z

∂⁺B(z,δ)

f (ζ) ζ − z dζ =

Z

∂⁺A

f (ζ) ζ − z dζ.

D’altra parte, essendo f continua in z,

˛ ˛

˛ ˛ Z

∂⁺B(z,δ)

f (ζ) − f(z) ζ − z dζ

˛ ˛

˛ ˛ ≤ 1

δ (2π δ) o(1) = o(1) per δ → 0, Inoltre, parametrizzando ∂

B(z, δ) con ζ = z + δe

, θ ∈ [0, 2π[, si trova

Z

∂B(z,δ)

dζ ζ − z =

Z

δie

δe

dθ = 2π i.

In conclusione, passando al limite per δ → 0, Z

∂⁺A

f (ζ)

ζ − z dζ = f (z) Z

∂⁺B(z,δ)

1

ζ − z dζ + o(1) = 2 π i f (z) + o(1) per δ → 0, Segue che o(1) `e identicamente nullo e la tesi `e provata.

Segue dalla formula di Cauchy e dal teorema di derivazione sotto il segno di integrale che ogni f ∈ H(Ω) `e C ^∞ (Ω) e per ogni dominio ammissibile A ⊂ Ω e ogni z ∈ A

f ^(k) (z) = 1 2πi

Z

∂

A

f (ζ) d ^k dz ^k

1

(ζ − z) dz = k!

2πi Z

∂

A

f (ζ)

(ζ − z) ^k+1 dz. (3.3)

Di piu’, si ha

3.4 Teorema. Sia Ω ⊂ C un dominio. Ogni funzione f ∈ H(Ω) `e localmente la somma di una serie di potenze. Precisamente per ogni z 0 ∈ Ω

f (z) = X ∞ k=0

a k (z − z ⁰ ) ^k , z ∈ B(z ⁰ , ρ),

dove ρ := dist (z 0 , ∂Ω) e per ogni k a k := 1

2πi Z

∂

A

f (ζ)

(ζ − z ⁰ ) ^k+1 dζ, (3.4)

essendo A un arbitrario dominio ammissibile per Ω contenente z 0 . Proviamo prima il

3.5 Lemma. Sia f : B(z 0 , r) ⊂ C → C una funzione continua su B(z ⁰ , r) tale che f (z) = 1

2πi Z

∂

B(z

,r)

f (ζ)

ζ − z dζ ∀z ∈ B(z ⁰ , r).

per ogni z ∈ B(z ⁰ , r). Allora f (z) `e la somma della serie di potenze complessa f (z) =

X ∞ k=0

a k (z − z ⁰ ) ^k , ∀z ∈ B(z ⁰ , r) dove per ogni k

a k := 1 2πi

Z

∂

B(z

,r)

f (ζ) (ζ − z ⁰ ) ^k+1 dζ

Dimostrazione. Per ogni ζ con |ζ − z

| = r si ha 1

ζ − z = 1 ζ − z

1

1 −

= 1 ζ − z

X

“ z − z

ζ − z

”

.

e la convergenza `e totale (al variare di ζ) essendo |

| =

< 1. Percio’ integrando termine a termine,

f (z) = 1 2πi

Z

∂⁺B(z0,r)

f (ζ) ζ − z dζ =

X

„ 1 2πi

Z

∂⁺B(z0,r)

f (ζ) (ζ − z

)

dζ

«

(z − z

)

.

Dimostrazione del Teorema 3.4. Se z ∈ B(z

, ρ) e r `e tale che |z − z

| < r < ρ. Per la formula di Cauchy

f (w) = 1 2πi

Z

∂⁺B(z0,r)

f (ζ)

ζ − w dζ ∀w ∈ B(z

, r).

Segue quindi dal Lemma 3.5 che f (z) = P

k=0

a

(z − z

)

con a

:= 1

2πi Z

∂⁺B(z0,r)

f (ζ) (ζ − z

)

dζ.

Si osserva ora che la funzione g(ζ) := f (ζ)/(ζ − z

)

`e olomorfa in Ω \ {z

} e dunque se B(z

, ) ⊂ A Z

∂⁺B(z0,r)

g(ζ) dζ = Z

∂⁺B(z0,)

g(ζ) dζ = Z

∂⁺A

g(ζ) dζ.

applicando il Teorema 3.1 rispettivamente ai domini ammissibili per B(z

, r)\B(z

, ) e A\B(z

, ).

I teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe 149

3.6 Teorema. Sia S(z) = P ∞

k=0 a k (z − z ⁰ ) ^k , z ∈ B(z ⁰ , r), r > 0, la somma di una serie di potenze. Allora S `e di classe C <sup>∞</sup> (B(z 0 , r)) ed ha derivate complesse S <sup>(k)</sup> (z) di ogni ordine in B(z 0 , r). Per ogni k = 0, 1, 2, . . . S <sup>(k)</sup> (z) `e la somma della serie di potenze,

S ^(k) (z) = X ∞ k=n

n(n − 1) . . . (n − k + 1) a ⁿ (z − z ⁰ ) ^n−k ∀z ∈ B(z ⁰ , ρ).

In particolare

S ^(k) (z 0 ) = k! a k ∀k ≥ 0. (3.5)

Il teorema si ottiene applicando induttivamente la Proposizione 3.7 seguente 3.7 Proposizione. Sia S(z) = P ∞

k=0 a k (z − z ⁰ ) ^k , z ∈ B(z ⁰ , r), r > 0, la somma di una serie di potenze. Allora S `e C ¹ (B(z 0 , r)) ∩ H(B(z ⁰ , r)) e

S ⁰ (z) = X ∞ k=1

k a k (z − z ⁰ ) ^k−1 ∀z ∈ B(z ⁰ , r).

Dimostrazione. Il raggio di convergenza ρ della serie P

k=1

k a

(z − z

)

`e il raggio di convergenza della serie P

k=0

a

(z − z

)

, percio’ ρ ≥ r. Sia T (z) := P

k=1

k a

(z − z

)

la somma. Per ogni z, w ∈ B(z

, r), sia γ : [0, 1] → B(z

, r) una curva regolare con γ(0) = w e γ(1) = z, Poiche’ per ogni intero k ≥ 1, la derivata complessa di (z − z

)

`e k(z − z

)

, dal teorema fondamentale del calcolo, Teorema 2.3,, segue

X

a

(z − z

)

− X

a

(w − z

)

= Z

γ

X

k a

(ζ − z

)

dζ

Poiche’ le somme parziali delle serie di potenze convergono uniformemente sui compatti strettamente contenuti nel cerchio di convergenza, si ricava passando al limite per p → ∞ che

X

a

(z − z

)

→ S(z) − a

, X

k=1

a

(w − z

)

→ S(w) − a

, Z

γ

X

k a

(ζ − z

)

dζ → Z

γ

T (ζ) dζ,

e quindi

S(z) − S(w) = Z

γ

T (ζ) dζ.

Essendo z, w e γ arbitrari, segue dal teorema fondamentale del calcolo, Teorema 2.3, che S `e derivabile in senso complesso e S

(z) = T (z) ∀z ∈ B(z

, r).

Essendo ogni funzione olomorfa localmente la somma di una serie di potenze, la sua derivata `e anch’essa localmente la somma di una serie di potenze, quindi una funzione olomorfa per la Proposizione 3.7

3.8 Corollario. Sia Ω un dominio di C. Se f ∈ H(Ω), allora f ⁰ ∈ H(Ω).

Segue inoltre

file = liouville.ps file = morera.ps

Figura 3.3.

z

ρ

Figura 3.4.

3.9 Corollario. Sia f : Ω ⊂ C → C una funzione. Sono fatti equivalenti (i) f ∈ H(Ω),

(ii) f ha localmente primitive olomorfe, (iii) R

∂

A f (z) dz = 0 per ogni dominio ammissibile A per Ω,

(iv) vale la formula di Cauchy: per ogni dominio ammissibile A per Ω si ha f (z) = 1

2πi Z

∂

A

f (ζ)

ζ − z dζ ∀z ∈ A, (v) f `e localmente la somma di una serie di potenze.

Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) `e il Teorema 3.1. L’equivalenza fra (ii) (iii) `e contenuta nella Proposizione 2.6.

L’implicazione (i) ⇒ (iv), (iv) ⇒ (v), (v) ⇒ (i) sono rispettivamente i Teoremi 3.3, 3.4 and 3.6.

Resta da provare che (iii) ⇒ (i). Se vale la (iii) f `e localmente la derivata di una funzione olomorfa.

E quindi a sua volta una funzione olomorfa per il Corollario 3.8. `

3.10 Osservazione. L’implicazione f olomorfa ⇒ f ∈ C ¹ (Ω) `e riferita in letteratura come teorema di Goursat, mentre l’equivalenza tra (i) e (iii) `e nota come teorema di Morera.

3.1 Il teorema di Liouville

Sia f ∈ H(Ω). Dalle (3.5) e (3.4) o dalla (3.3) seguono le stime di Cauchy

3.2 Principio di identit` a 151

|f ^(k) (z 0 ) | ≤ k!

r ^k max

∂B(z

,r) |f(z)| (3.6)

per ogni z 0 ∈ Ω e r < dist (z ⁰ , ∂Ω) Sono stime particolarmente stringenti. Segue ad esempio il famoso

3.11 Teorema (Liouville). Le uniche funzioni olomorfe e limitate in tutto C sono le costanti.

Dimostrazione. Supponiamo che |f(z)| ≤ M ∀z ∈ C. Si ha allora per ogni r > 0 e ogni z ∈ C

|f ⁰ (z) | ≤ M r

e quindi f ⁰ (z) = 0 per ogni z ∈ C. Segue dal teorema fondamentale del calcolo che f `e costante.

Una applicazione del teorema d Liouville `e una nuova dimostrazione del

3.12 Teorema (fondamentale dell’algebra). Un polinomio complesso di grado n ha n radici.

Dimostrazione. Basta provare che ogni polinomio complesso non costante ha almeno una radice. Supponiamo dunque per assurdo che P (z) sia un polinomio non costante e che P (z) 6= 0 ∀z. Allora 1/P (z) `e olomorfa su tutto C. Essendo d’altra parte P non costante, lim |z|→∞ |P (z)| = +∞ e 1/P (z) sarebbe limitata. Seguirebbe dal teorema di Liouville che 1/P (z) `e costante. Un assurdo.

Abbiamo in realt` a provato

3.13 Teorema. Sia f : C → C una funzione olomorfa su tutto C con |f(z)| ≥ M > 0 per |z| > R. Allora o f(z) `e costante o f ha uno zero.

3.2 Principio di identit` a

Se una funzione olomorfa f in Ω ha in un punto z 0 tutte le derivate nulle, per la (3.5) f `e la somma della serie di potenze nulla e quindi `e nulla in un intorno di z 0 . L’insieme

X := n

z ∈ Ω | f ⁽ k)(z) = 0 ∀k o

`e allora aperto. Poiche’ d’altra parte X `e evidentemente chiuso, si conclude che X `e la componente connessa di Ω che contiene z 0 percio’ X = Ω. Si `e provato che

3.14 Teorema (Principio di identit` a). Se f e g sono funzioni olomorfe in un dominio (connesso) Ω e in un punto z 0 ∈ Ω si ha f ^(k) (z 0 ) = g ^(k) (z 0 ) per ogni k, allora f = g in Ω.

Si ha anche

3.15 Teorema. Sia f ∈ H(Ω) non identicamente nulla in un dominio Ω ⊂ C. Al- lora l’insieme Z(f ) = {z ∈ Ω | f(z) = 0} degli zeri di f `e discreto e senza punti di accumulazione.

Dimostrazione. Essendo Z(f ) chiuso, basta provare che Z(f ) `e discreto. Sia z 0 ∈ Z(f).

Sia k il primo intero non negativo per cui f ^(k) (z 0 ) 6= 0. Si scrive allora in un intorno U di z 0

f (z) = X ∞ j=k

f ^(k) (z 0 )

k! (z − z ⁰ ) ^j = (z − z ⁰ ) ^k g(z)

con g(z 0 ) 6= 0. Essendo g(z) 6= 0 in un intorno U di z ⁰ , f non ha altri zeri in U . In conclusione si ha

3.16 Teorema (Principio di identit` a). Siano f e g olomorfe in un dominio Ω ⊂ C.

Sono fatti equivalenti (i) f = g in Ω,

(ii) esiste z 0 ∈ Ω tale che ∀k si ha f ^(k) (z 0 ) = g ^(k) (z 0 ),

(iii) {z ∈ Ω | f(z) = g(z)} ha almeno un punto di accumulazione.

3.3 Funzioni olomorfe e forme chiuse

Le funzioni olomorfe descrivono i campi irrotazionali piani.

Potenziali e primitive olomorfe

Sia Ω un dominio di C. Un differenziale olomorfo in Ω `e una applicazione Ω → C <sup>∗</sup> , dove C <sup>∗</sup> `e il duale (complesso) di C. Poiche’ C ^∗ ha dimensione uno e un generatore (su C), `e il differenziale complesso dz = dx + idy, ogni differenziale olomorfo si scrive come

ω(z) = f (z)dz

dove f : Ω → C (non necessariamente olomorfa). Decomponendo f in parte reale e immaginaria f = u + iv

f (z) dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(vdx + udy). (3.7) i.e., le parti reale e immaginaria di un differenziale olomorfo sono forme differenziali reali in Ω, e le componenti (v, u) della parte immaginaria si ottengono ruotando le componenti (u, −v) della parte reale in senso antiorario di π/2. Inoltre se γ : [0, 1] → Ω

`e una curva C ¹ a tratti e γ(t) = x(t) + iy(t), si ha Z

γ

f (z) dz : = Z 1

0

f (γ(t)) γ ⁰ (t) dt = Z 1

0

(ux ⁰ − vy ⁰ ) dt + i Z 1

0

(uy ⁰ + vx ⁰ ) dt

= Z

γ

(u dx − v dy) + i Z

γ

(u dy + v dx) = Z

γ <(f(z) dz) + i Z

γ =(f(z) dz.

3.3 Funzioni olomorfe e forme chiuse 153

Dato un differenziale olomorfo f (z) dz in Ω, scriviamo f =: u + iv, in modo che f (z) dz = (u dx − v dy) + i(v dx − u dy). Si dice che F = α + iβ `e un potenziale per f (z) dz se e solo se F ∈ C ¹ (Ω) e α e β sono potenziali reali in Ω rispettivamente per u dx − v dy e u dy + v dx, i.e.,

( α x = u, α y = −v,

( β x = v, β y = u.

Questo accade se e solo se

( F x = α x + iβ x = u + iv = f, F y = α y + iβ y = −v + iu = if.

Le equazioni precedenti sono appunto le equazioni di Cauchy-Riemann per F . Si conclude allora dal Teorema 2.3

3.17 Proposizione. f = u i v ∈ cH(Ω) ha una primitiva olomorfa in Ω se e solo se i campi (u, −v) e (v, u) sono conservativi in Ω. F ∈ H(Ω) e F ⁰ = f in Ω se e solo se

<(f(z)) e =(F (z)) sono rispettivamente potenziali per i campi (u, −v) e (v, u) in Ω.

Funzioni olomorfe e forme chiuse

3.18 Definizione. Sia f = u + iv : Ω ⊂ C. Un differenziale olomorfo f(z)dz si dice chiuso in Ω e si scrive d(f (z)dz) = 0, se le forme differenziali udx −vdy e vdx+udy sono chiuse in Ω, o equivalentemente, i campi (u, −v) e (v, u) in Ω ⊂ R ² sono irrotazionali.

In altre parole f (z) dz `e chiuso se e solo se f `e di classe C ¹ (Ω) e valgono le ( u y = v x ,

u x = −v ^y .

i.e., le condizione di Cauchy–Riemann per f . Ricordando il Teorema 2.3 e il fatto che le funzioni olomorfe sono di classe C ¹ , cfr. Corollario 3.8, si ha

3.19 Proposizione. Sia f : Ω ⊂ C di classe C ¹ . Allora f (z)dz `e chiusa in Ω se e solo se f ∈ H(Ω).

La teoria delle forme differenziali chiuse si applica quindi al calcolo degli integrali di differenziali olomorfi f (z) dz con f ∈ H(Ω). Percio’

3.20 Teorema (Invarianza per omotopia). Siano Ω un dominio di C e f ∈ H(Ω).

Se γ, δ : [0, 1] → Ω sono due curve C ¹ a tratti omotope fra loro in Ω si ha Z

γ

f (z) dz = Z

δ

f (z) dz,

Dimostrazione. Essendo f olomorfa, f `e C

e verifica le equazioni di Cauchy–Riemann, dunque f (z) dz

`e chiusa. Segue allora dalla teoria delle forme differenziali che gli integrali di linea lungo curve omotope

sono uguali.

z

z

Figura 3.5. (a) I(γ, z

) = 2, (b) I(γ, z

) = 0.

Indice di allacciamento

Sia γ : [0, 1] → Ω una curva chiusa di classe C ¹ a tratti, e sia z ∈ C con z non appartenente all’immagine di γ. L’indice di allacciamento di γ rispetto a z, `e il numero

I(γ, z) := 1 2πi

Z

γ

dζ ζ − z . Ad esempio, se γ(t) := z + e ^ikt , t ∈ [0, 2π] e k ∈ Z, allora

I(γ, z) = 1 2πi

Z 2π 0

ike ^ikt

e ^ikt dt = k.

Se ora γ : [0, 1] → C `e una curva C <sup>1</sup> che non passa per z, `e facile verificare che γ(t) e δ(t) := z + γ(t) − z

|γ(t) − z|

sono omotope in C \ {z}, una omotopia essendo data dalla retrazione di C \ {z} su

∂B(z, 1),

h(t, s) = (1 − s)γ(t) + sδ(t), t, s ∈ [0, 1].

Poiche’ il differenziale olomorfo _ζ−z ^dζ `e chiuso in C \ {z}, segue dal Teorema 3.20 che curve omotope in C \ {z} hanno lo stesso indice e quindi

I(γ, z) = I(δ, z).

Percio’ l’indice di γ in z `e il grado della curva t → |γ(t)−z| ^γ(t)−z da [0, 2π] su S ¹ = ∂B(0, 1), cfr. Vol. III.

Segue, cfr. sempre il Vol. III, che

3.21 Proposizione. Siano z, z 0 ∈ C, z 6= z ⁰ . Indichiamo con π 1 (C \ {z}, z ⁰ ) il primo gruppo di omotopia di C \ {z} con punto base z ⁰ . Allora l’indice di allacciamento `e una applicazione bigettiva

I( ·, z) : π ¹ (C \ {z}, z ⁰ ) −→ Z.

Si afferma che

(i) l’indice di allacciamento `e lo stesso per curve omotope,

Esempi di funzioni olomorfe 155

(ii) l’indice `e un intero,

(iii) per ogni intero k ∈ Z esiste una curva passante per z ⁰ con indice di allacciamento intorno a z uguale a k,

(iv) due curve sono omotope se e solo se hanno lo stesso indice.

3.22 ¶ Mostrare che

(i) I(γ, z) = 0 per ogni punto nella componente connessa illimitata di C \ γ([0, 1]).

(ii) I(γ, z) `e localmente costante in C \ Supp (γ), e quindi costante sulle componenti connesse di C \ γ.

(iii) I(∂

B(0, 1), z) = 0 se z / ∈ B(0, 1), e I(∂

B(0, 1), z) = 1 per ogni z ∈ B(0, 1).

3.23 Teorema (formula di Cauchy,II). Sia Ω un dominio d C e f ∈ H(Ω). Se γ : [0, 1] → Ω `e una curva chiusa C ¹ a tratti in Ω allora

I(γ, z)f (z) = 1 2πi

Z

γ

f (ζ) ζ − z dζ.

per ogni z / ∈ γ([0, 1]).

Dimostrazione. Sia r > 0 tale che B(z, r) ⊂ Ω. e sia k := I(γ, z). Allora γ `e omotopa in C \ {z} a δ(t) := z + re <sup>ikt</sup> , t ∈ [0, 2π] perche’ I(γ, z) = k = I(δ, z). Dalla periodicit`a di e ^it e dalla formula di Cauchy, Teorema 3.1, segue che

Z

γ

f (ζ) ζ − z dζ =

Z

δ

f (ζ) ζ − z dζ =

Z 2π 0

f (e ^ikt )

e ^ikt ike ^ikt dt = ik Z 2π

0

f (e ^ikt ) dt

= k Z

∂

B(z,r)

f (ζ)

ζ − z dζ = 2π k i f (z).

4 Esempi di funzioni olomorfe

4.1 Qualche funzione di variabile complessa

4.1 (f (z) = z

) ` E una funzione olomorfa z

: C → C con D(z

) = 2z. In coordinate reali z

= (x

− y

) + i2xy se z = x + iy,

e in coordinate polari,

z

= r

e

se z = re

. Si vede subito che la trasformazione z → z

(i) manda rette per l’origine in semirette per l’origine.

(ii) manda cerchi con centro l’origine in cerchi di centro l’origine, (iii) manda le iperboli x

− y

= k in rette verticali,

(iv) manda le iperboli 2xy = k in rette orizzontali.

4.2 (La funzione esponenziale) L’esponenziale complesso e

`e definito come e

= e

(cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C.

L’esponenziale complesso `e una funzione olomorfa su C con De

= e

perche’, ad esempio,

∂e

∂x = e

, ∂e

∂y = ie

. Si vede subito che la trasformazione z → e

(i) manda rette orizzontali in semirette per l’origine, (ii) manda rette verticali in cerchi per l’origine,

(iii) se z = x + iy si ha |e

| ≤ e

, in particolare e

`e limitata su gni semipiano {z = x + iy | x < x

}, (iv) e

6= 0 ∀z ∈ C,

(v) e

non `e iniettiva. Infatti e

= e

se e solo se z e w hanno parti reali uguali e parti immaginarie che differiscono di un multiplo intero di 2π,

e

= e

se e solo se z − w = 2πik, k ∈ Z.

Si dice che e

` e periodica di periodo 2πi.

Infine, come abbiamo visto nel Vol. II, l’esponenziale complesso `e la somma di una serie di potenze convergente in tutto C

e

= X

z

n! , z ∈ C.

4.3 (Seno e coseno, seno e coseno iperbolico) Si definiscono le funzioni sin z e cos z, z ∈ C, e le funzioni iperboliche sinh z, cosh z, z ∈ C con le formule di Eulero

cos z := e

+ e

2 , sin z = e

− e

2i ,

cosh z := e

+ e

2 , sinh z = e

− e

2 .

Sono tutte funzioni olomorfe in C, e

D sin z = cos z, D sin z = − cos z, D sinh z = cosh z, D sinh z = cosh z.

La funzione cos z si annulla nei soli punti dell’asse reale z = π/2 + kπ, k ∈ Z e la funzione sin z si annulla nei soli punti dell’asse reale z = kπ, k ∈ Z. Si noti esplicitamente che le funzioni sin z e cos z non sono limitate. Dalla definizione se z = x + iy, x, y ∈ R,

e

− e

2 ≤ | cos z| = |e

e

+ e

e

|

2 ≤ e

+ e

2 = cosh y e analogamente

e

− e

2 ≤ | sin z| = |e

e

− e

e

|

2 ≤ e

+ e

2 = cosh y.

Le funzioni cosh z e sinh z sono ottenute dal coseno e dal seno con una rotazione di π/2, cosh z = cos(iz), sinh z = −i sin(iz),

in particolare la funzione cosh hz si annulla nei punti z = i(π/2 + kπ), k ∈ Z, sull’asse immaginario e la funzione sinh hz si annulla nei punti z = ikπ, k ∈ Z, sempre sull’asse immaginario.

Infine le funzioni trigonometriche sono anche la somma delle rispettive serie di potenze centrate in zero, convergenti su tutto C. cfr. Vol. II,

cos z = X

(−1)

z

(2k)! , sin z = X

(−1)

z

(2k + 1)! .

cosh z = X

z

(2k)! , sinh z =

X

z

(2k + 1)! .

4.1 Qualche funzione di variabile complessa 157

4.4 (Tangente e cotangente, tangente e cotangente iperboliche) La funzione tan z :=

`e dunque ben definita e olomorfa in C \ {z = π/2 + kπ | k ∈ Z}. Si noti anche che tan z `e limitata e lontana da zero lontano dall’asse reale. Infatti se z = x + iy, si ha

olo.z1| tan z| = |e

e

− e

e

|

|e

e

+ e

e

| ≤ e

+ e

e

− e

= coth y, (4.1)

da cui | tan z| ≤ coth y

su A := {z | |Im (z)| ≥ y

}. Analogamente

| cot z| = 1

| tan z| = |e

e

+ e

e

|

|e

e

− e

e

| ≤ e

+ e

e

− e

= coth y. (4.2)

4.5 Teorema (Inversa locale di una funzione olomorfa). Siano Ω ⊂ C aperto, f : Ω → C olomorfa e z ⁰ ∈ Ω. Se f ⁰ (z 0 ) 6= 0,

(i) esiste un intorno U z

di z 0 tale che f : U z

→ C `e aperta e invertibile.

(ii) L’inversa g :=  f |U

 −1

di f U

`e olomorfa in f (U z

) e

g ⁰ (w) = 1

f ⁰ (g(w)) ∀w ∈ f(U ^z

).

Come osservato piu’ volte, cfr. Cap 4, se f : R ² → R ² `e di classe C <sup>1</sup> , la condizione det Df (z) 6= 0 in ogni punto di Ω non `e piu’ sufficiente a garantire l’esistenza di una inversa globale, contrariamente al caso unidimensionale. La funzione periodica f (z) = e ^z ne `e un esempio.

Dimostrazione. Identifichiamo R

con C e indichiamo con f la stessa funzione f : Ω ⊂ R

→ R

. Essendo f olomorfa,

Df (z) =

„ a b

−b a

«

se f

:= a + ib. Percio’

0 6= |f

(z)|

= |f

(z)|

= a

+ b

= det Df (z).

Segue dal teorema di invertibilit` a che esiste U

tale che f

`e aperta, invertibile con inversa g ∈ C

(f (U

)). Resta da provare che g `e olomorfa. Siano v, w ∈ f(U

) e s := g(v), z = g(w) in U

. Poiche g `e continua se v → w allora s = g(v) → z = g(w) e quindi per v → w si ha

g(v) − g(w)

v − w = s − z

f (s) − f(z) → 1 f

(z) .

4.6 Osservazione. Si osservi che la difficolt` a maggiore nella dimostrazione del Teo- rema 4.5 `e provare la continuit` a dell’inversa.

Logaritmo complesso

Dato z ∈ C, z 6= 0, ogni w ∈ C tale che e ^w = z si chiama logaritmo naturale di

z. Poiche’ z → e ^z `e 2πi periodica, vi sono infiniti punti w tali che e ^w = z. Si usa

dire la funzione inversa di e ^z , il logaritmo complesso, `e una funzione multivoca. Una

semplice descrizione puo’ essere data osservando che per ogni k ∈ Z la restrizione di e ^z

all’insieme

S k = {z = x + iy, | − π + 2kπ ≤ y < π + 2kπ}

`e bigettiva con immagine C \0. L’inversa, detto il foglio k-esimo del logaritmo, si indica con log ^(k) : C \ {0} → S ^k . Quando k = 0, la funzione log ⁽⁰⁾ w si indica anche con log w e si chiama la determinazione principale del logaritmo, o anche il logaritmo principale.

Per definizione

e ^log

^w = w ∀w ∈ C \ {0}

e

log ^(k) (e ^z ) = z se e solo se z ∈ S ^k , (4.3) mentre dal teorema di invertibilit` a segue

D log ^(k) (w) = 1

w ∀w ∈ \{0}.

Ovviamente tutti i fogli del logaritmo sono legati fra loro log ^(k) (z) = log z + i2kπ ∀k ∈ Z.

Infine notiamo come la difficolt` a nel descrivere l’esponenziale complesso `e la stessa che si incontra nell’invertire il moto circolare uniforme t → e ^it , t ∈ R. Ricordiamo che se

|z| = 1, l’argomento di z `e un numero t tale che e <sup>it</sup> = z. t `e quindi definito a meno di 2π. Per ogni k ∈ Z, definiamo il foglio k-esimo dell’argomento arg ^(k) (z) come l’unico t ∈ [−π + 2kπ, π + 2kπ[ tale che e ^it = z. Se ora z = x + iy e −π + 2kπ ≤ y < π + 2kπ e w ∈ C \ {0}, allora

( w = e ^z = e ^x e ^iy ,

−π + 2kπ ≤ y < π + 2kπ se e solo se

 



 

e ^x = |w|, e ^iy = _|w| ^w ,

−π + 2kπ ≤ y < π + 2kπ da cui la formula polare per il logaritmo

log ^(k) w := x + iy = log |w| + iarg ^(k)  w

|w|



. (4.4)

∀k ∈ Z e ∀w ∈ C \ {0}.

La descrizione fatta della funzione logaritmo con la descrizione dei suoi fogli come funzioni univoche non `e senza problemi. Si perde infatti la continuit` a dei fogli. Segue infatti dalla (4.3) che w → log ^(k) w `e discontinua lungo la semiretta z = te ^iπ , t > 0, perche’

log ^(k) w → −π + 2kπ se w → (−1, 0), =(w) < 0 log ^(k) w → π + 2kπ se w → (1, 0), =w > 0.

La semiretta t → t e ^iπ , t > 0, si chiama la retta di diramazione del foglio log ^(k) w.

Inoltre occorre fare attenzione nei calcoli. Dalla forma polare segue infatti che log(zw) = log z + log w +

( 0 se − π ≤ arg (z) + arg (w) < π,

2πi altrimenti.

4.1 Qualche funzione di variabile complessa 159

Potenze reali

Per ogni α ∈ R e z 6= 0 si puo’ definire la funzione multivoca z ^α su C \ {0} definendone i vari fogli con

(z ^α ) k := e ^{α log}

^z .

Poiche’ l’immagine di log ^(k) z `e la striscia S k := {w = x+iy | −π +2kπ ≤ y < π +2lπ}, l’immagine del k-esimo foglio di z ^α manda C \ {0} in modo biunivoco sul settore

I k := n

w = re ^iθ | α(2k − 1)π < θ < α(2k + 1)π, r > 0 o .

Vediamo ora quanti sono i fogli distinti di z ^α . Evidentemente (z ^α ) k = (z ^α ) h se e solo se

α(log ^(k) z − log ^(h) z) = 2πri

per qualche r ∈ Z, vale a dire se e solo se α(k − h) `e intero. Si hanno dunque tre casi (i) se α ∈ Z, tutti i fogli di z <sup>α</sup> sono coincidenti, la funzione z <sup>α</sup> `e la solita funzione

potenza

z ^α := z ^{α log}

^z ∀k e I k := C ∀k.

(ii) Sia α ∈ Q, α = p/q con p, q interi primi fra loro. Allora α(k − h) `e intero se e solo se k − h `e un multiplo di q. Segue che z ^α ha q fogli distinti ottenuti ad esempio per k = 0, 1, . . . , q − 1. Se p = 1, l’immagine del foglio k-esimo `e il settore circolare

C k := n

z ∈ C    |z| > 0, − π q + 2kπ

q ≤ arg  z

|z|

 < − π q + 2kπ

q o

Si noti che in questo caso le immagini dei fogli sono settori distinti per k = 0, 1, . . . , q − 1.

(iii) se a non `e razionale, vi sono allora infiniti fogli distinti.

Osserviamo infine che, se si sceglie sempre lo stesso foglio, in generale (zw) ^α 6= z ^α w ^α .

Infatti

(zw) ^α

z ^α w ^α = exp 

α(log(zw) − log z − log w) 

=

( 1 se − π ≤ arg (z) + arg (w) < π,

exp (2πiα) altrimenti.

file = cartanlibro.ps file = steinlibro.ps

Figura 4.1.

5 Singolarit` a puntuali di funzioni olomorfe

Cominciamo con una osservazione sugli zeri di una funzione olomorfa. Diciamo che z 0 ∈ Ω `e uno zero di ordine m per f ∈ H(Ω) se lo sviluppo f in serie di potenze centrato in z 0 ha la forma

f (z) = X ∞ k=m

a k (z − z ⁰ ) ^k = (z − z ⁰ ) ^m X ∞ k=0

a k+m (z − z ⁰ ) ^k

con a m 6= 0.

5.1 Proposizione. Siano f ∈ H(Ω) e z ⁰ ∈ Ω. Sono fatti equivalenti (i) f ha uno zero di ordine m in z 0 ,

(ii) f (z 0 ) = f ⁰ (z 0 ) = f ⁰⁰ (z 0 ) = · · · = f ^(m−1) (z 0 ) = 0 e f ^(m) (z 0 ) 6= 0, (iii) esiste g ∈ H(Ω) tale che f(z) = (z − z ⁰ ) ^m g(z) con g(z 0 ) 6= 0,

(iv) m `e il piu’ grande intero k per cui f (z)/(z − z <sup>0</sup> ) <sup>k</sup> ha una singolarit` a eliminabile in z 0 .

5.2 ¶ Provare la Proposizione 5.1.

Sia Ω un dominio di C e z 0 ∈ Ω. Se f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }), si dice che z ⁰ `e una singolarit` a per f . Distinguiamo tre casi

Singolarit` a eliminabili

Si dice che f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }) si estende in modo continuo (rispettivamente in modo

olomorfo) in z 0 se esiste una funzione F ∈ C ⁰ (Ω) (rispettivamente F ∈ H(Ω)) tale

Singolarit` a puntuali di funzioni olomorfe 161

che F = f su Ω \ {z ⁰ }. Se f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }) si estende in modo olomorfo a tutto Ω, si dice che z 0 `e una singolarit` a eliminabile per f . Una singolarit` a z 0 non eliminabile per f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }) si chiama anche punto singolare per f.

5.3 Teorema (Estendibilit` a di Riemann). Sia f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }). Sono fatti equivalenti

(i) z 0 `e una singolarit` a eliminabile per f , (ii) f si estende in modo olomorfo in z 0 , (iii) f si estende in modo continuo in z 0 , (iv) f `e limitata in un intorno di z 0 ,

(v) lim z→z

(z − z ⁰ )f (z) = 0.

Dimostrazione. Ovviamente (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v). Proviamo che (v) ⇒ (i).

Siano

g(z) :=

( (z − z ⁰ )f (z) se z ∈ C \ {z ⁰ }

0 se z = 0 , e h(z) := (z − z ⁰ )g(z).

L’ipotesi (iv) `e equivalente alla continuit` a di g(z) in z 0 , conseguentemente h(z) − h(0) = h(z) = (z − z ⁰ )g(z 0 ) + (z − z ⁰ )o(1) per z → z ⁰ .

In altre parole h(z) `e derivabile in senso complesso in z 0 con h ⁰ (z 0 ) = g(z 0 ) = 0. Percio’

h ∈ H(Ω), e per la Proposizione 5.1

h(z) = (z − z ⁰ ) ² k(z).

con k ∈ H(Ω). Percio’

(z − z ⁰ ) ² f (z) = h(z) = (z − z ⁰ ) ² k(z), e quindi la funzione k(z) `e una estensione di f a tutto Ω.

5.4 Corollario. Siano z 0 ∈ Ω e f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }).

(i) z 0 `e una singolarit` a eliminabile per f se e solo se lim sup

z→z

|f(z)| < +∞.

(ii) z 0 `e un punto singolare per f se e solo se lim sup

z→z

|f(z)| = +∞.

file = alforhs.ps file = hille.ps

Figura 5.1.

Poli

Sia z 0 ∈ Ω un punto singolare per f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }).

5.5 Definizione. Sia m intero, m ≥ 1. Si dice che z ⁰ `e un polo di ordine m per f ∈ H(Ω \ {z <sup>0</sup> }), o che f ha un polo di ordine m in z <sup>0</sup> , se e solo se z 0 `e una singolarit` a eliminabile per (z − z <sup>0</sup> ) <sup>m</sup> f (z) e non lo `e per (z − z ⁰ ) ^k f (z) per ogni k, 0 ≤ k < m.

In base al teorema di estensione di Riemann,

5.6 Proposizione. f ha un polo di ordine m in z 0 se e solo se m `e il pi` u piccolo intero k per cui |(z − z ⁰ ) ^k f (z) | `e limitata in un intorno di z ⁰ .

Le singolarit` a polari di una funzione olomorfa sono assai ben caratterizzate. Si ha 5.7 Teorema. f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }) ha un polo in z ⁰ se solo se lim z→z

|f(z)| = +∞.

Inoltre, dato m ≥ 1, sono fatti equivalenti tra loro (i) f ha un polo di ordine m in z 0 ,

(ii) esiste g ∈ H(Ω) con g(z ⁰ ) 6= 0 tale che f (z) = g(z)

(z − z ⁰ ) ^m per z ∈ Ω \ {z ⁰ }, (iii) f (z) = P ∞

k=−m a k (z − z ⁰ ) ^k in un intorno di z 0 ,

(iv) esistono r > 0 tale che B(z 0 , r) ⊂ Ω e h ∈ H(B(z ⁰ , r)) priva di zeri in B(z 0 , r) \{z ⁰ } e con uno zero di ordine m in z 0 tale che f = 1/h in B(z 0 , r) \ {z ⁰ },

(v) esistono B(z 0 , r) ⊂ Ω e costanti positive λ, Λ dipendenti anche da r tali che

λ 1

|z − z ⁰ | ^m ≤ |f(z)| ≤ Λ 1

|z − z ⁰ | ^m ∀z ∈ B(z ⁰ , r) \ {z ⁰ }.

Singolarit` a puntuali di funzioni olomorfe 163

Dimostrazione. Proviamo la seconda parte della tesi. La prima segue da (v).

(i) ⇒ (ii). Poich´e (z − z

)

f (z) `e olomorfa fuori da z

e limitata, dal teorema di estendibilit` a di Riemann esiste g olomorfa in Ω tale che (z − z

)

f (z) = g(z). Se g(z

) fosse zero, allora a sua volta g(z) = (z − z

)b g(z) con b g olomorfa. La funzione (z − z

)

f (z) = b(g)(z) sarebbe limitata, contraddicendo il fatto che f ha un polo di ordine m.

(ii) `e evidentemente equivalente a (iii).

(ii) ⇒ (iv). Se g(z

) 6= 0 allora g `e non nulla in una palla B(z

, r) di centro z

e dunque h(z) :=

(z − z

)

/g(z) `e olomorfa in B(z

, r), non si annulla in B(z

, r) \ {z

} ed ha uno zero di ordine m in z = z

.

(iv) ⇒ (v) Sia ρ > 0 tale che B(z

, ρ) ⊂ Ω e tale che h(z) = (z − z

)

b h ∈ H(B(z

, ρ)). Posto λ := inf

z∈B(z0,ρ/2)

|bh(z)|

, Λ := sup

z∈B(z0,ρ/2)

|bh(z)|

si ha 0 < λ ≤ Λ < ∞ e, essendo f(z) = (z − z

)

/b h(z) in B(z

, ρ), il risultato segue con r = ρ/2.

(v) ⇒ (i) La stima |(z − z

)

f (z)| ≤ Λ per ogni z ∈ B(z

, r) \ {z

} dice che (z − z

)

f (z) `e limitata vicino a z

, mentre la stima |(z − z

)

f (z)| ≥ λ|z − z

|

diche che (z − z

)

f (z) non `e limitata in un intorno di z

. f ha dunque un polo do ordine m in z

.

5.8 ¶ Se P, Q sono polinomi, z

`e uno zero di ordine m di Q e se P (z

) 6= 0, allora z

`e un polo di ordine m per f (z) := P (z)/Q(z).

Singolarit` a essenziali

Quando un punto singolare isolato z 0 non `e un polo, allora si dice che z 0 `e una singolarit` a essenziale. Come conseguenza del Corollario 5.4 e del Teorema 5.7 si ottiene che z 0 ` e una singolarit` a essenziale se solo se

lim inf

z→z

|f(z)| < +∞, lim sup

z→z

|f(z)| = +∞.

In realt` a si ha

5.9 Proposizione. z 0 `e una singolarit` a essenziale per f ∈ H(Ω \ {z ⁰ }) se e solo se lim inf

z→z

|f(z)| = 0, lim sup

z→z

|f(z)| = +∞.

Dimostrazione. Se per assurdo fosse lim inf

|f(z)| > 0, 1/|f(z)| sarebbe limitata in un intorno di z

. Dunque z

sarebbe una singolarit` a eliminabile per 1/f (z). Seguirebbe che |f(z)| → λ ∈ R per z → z

, e z

sarebbe o una singolarit` a eliminabile o un polo per f , un assurdo.

Dunque f ha una singolarit` a essenziale in z 0 se e solo se |f(z)| oscilla essenzialmente tra 0 e ∞ in ogni intorno di z ⁰ . Se si guarda ai valori di f si ha anche

5.10 Teorema (Casorati-Weierstrass). Se f ha una singolarit` a essenziale in z 0

allora per ogni δ > 0 f (B(z 0 , δ) \ {z ⁰ }) `e denso in C.

Dimostrazione. Supponiamo che esistano c ∈ C e 

> 0 tali che |f(z) − c| ≥ 

per ogni z ∈ B(z

, δ) \ {z

}. Segue che

f (z) − c z − z

ha un polo in z

, poiche’ |z − z

|

|f(z) − c| → ∞ per z → z

. Esiste quindi m ≥ 1 tale che

|z − z

|

|f(z)| → 0, i.e., (z − z

)

f (z)

ha una singolarit` a eliminabile in z

; assurdo.