Differenziabilit`a secondo Stolz. Le funzioni olomorfe [Marcello Colozzo

Differenziabilit` a secondo Stolz. Le funzioni olomorfe

[Marcello Colozzo http://www.extrabyte.info]

1 Derivazione complessa

Assegnato un sottoinsieme E di R², consideriamo una funzione da E a C:

f : E → C (1)

Come `e noto, la coppia ordinata di variabili reali (x, y) individua il numero complesso z = x + iy, o ci`o che `e lo stesso, un punto del piano di Gauss¹ come illustrato in fig. 1.

x

x iy

y

z=x+iy

Figura 1: Un punto del piano di Gauss.

Quindi, la funzione (1) `e la legge:

f : z ∈ E → f (z) ∈ C (2)

ed `e una funzione complessa della variabile complessa z. Ci`o premesso, consideriamo un campo A (limitato o illimitato) contenuto in E. Assegnato z0 ∈ A, in corrispondenza di un incremento ∆z tale che (z0+ ∆z) ∈ A, l’incremento della funzione f `e ∆f = f (z0+ ∆z) − f (z0).

Definizione 1 Si dice rapporto incrementale complesso di incremento ∆z, relativo alla fun- zione f e al punto z⁰ ∈ A, il rapporto

∆f

∆z = f(z0+ ∆z) − f (z0)

∆z (3)

1Si tratta di una rappresentazione geometrica dei numeri complessi sul piano euclideo. Come riportato nel libro di Roger Penrose La strada che porta alla realt`a, Caspar Wessel nel 1797, Jean Robert Angard nel 1806, John Warren nel 1928 e Carl Friedrich Gauss, sicuramente prima del 1831, arrivarono tutti indipendentemente, all’idea di piano complesso.

Il rapporto incrementale `e una funzione complessa della variabile complessa ∆z = ∆x + i∆y, il cui insieme ha per punto di accumulazione il punto ∆z = 0, i.e. (∆x, ∆y) = (0, 0), per cui ci poniamo il problema dell’esistenza del limite:

∆limz→0

f(z0+ ∆z) − f (z0)

∆z = lim

∆x→0

∆y→0

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f (x0, y0)

∆x + i∆y ,

avendo denotato con x⁰ e y⁰ rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z⁰. Se tale limite esiste ed `e finito, diremo che f `e derivabile in modo complesso nel punto z0, scrivendo:

∆limz→0

f(z⁰+ ∆z) − f (z⁰)

∆z = f^′(z⁰) (4)

Il numero complesso f^′(z⁰) `e la derivata complessa di f in z<sup>0</sup>. Se f risulta derivabile in ogni punto z ∈ A, diremo che f `e derivabile in modo complesso in A. Resta quindi definita una nuova funzione, ovvero la derivata complessa f^′(z) che pu`o, a sua volta ammettere una derivata complessa, ovvero la derivata complessa seconda della funzione f (z) e cos`ı via per le derivate di ordine superiore.

Dimostriamo il seguente teorema:

Teorema 2

f `e derivabile in modo complesso in z ∈ A



⇐⇒





f `e differenziabile secondo Stolz nel punto z = x + iy e riesce

fx(x, y) + ify(x, y) = 0 Dimostrazione. Implicazione diretta.

Per ipotesi:

∃z ∈ A | lim

∆z→0

∆f

∆z = f^′(z) ∈ C, quindi:

∆f

∆z = f^′(z) + ω (∆z) , dove ω (∆z) `e un infinitesimo per |∆z| → 0:

|∆z|→0lim ω(∆z) = 0 Ci`o implica

∆f = f^′(z) ∆z + ω (∆z) ∆z

= f^′(z) (∆x + i∆y) + ω (∆z) ∆z

= f^′(z) ∆x + if^′(z) ∆y + ω (∆z) ∆z, avendosi

|∆z|→0lim

∆f − [f^′(z) ∆x + if^′(z) ∆y]

|∆z| = lim

|∆z|→0

ω(∆z) ∆z

|∆z| = 0,

giacch`e ω (∆z) ∆z `e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a |∆z|. Da ci`o segue la differenzia- bilit`a secondo Stolz di f nel punto z ∈ A. Dalla nozione di differenziabilit`a secondo Stolz, sappiamo che nel limite a primo membro dell’ultima equazione, i coefficienti degli incrementi ∆x, ∆y sono i valori assunti dalle derivate parziali fx, fy nel punto (x, y), cio`e

f^′(z) = fx(x, y) , if^′(z) = fy(x, y) ,

cosicch`e:

fx(x, y) = −ify(x, y) , da cui l’asserto.

Implicazione inversa.

Per ipotesi la funzione `e differenziabile in z ∈ A, per cui η (∆z) = ∆f −[fx(x, y) ∆x + fy(x, y) ∆y]

`e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a |∆z|:

|∆z|→0lim

η(∆z)

∆z = 0 Il rapporto incrementale si scrive:

∆f

∆z = [fx(x, y) ∆x + fy(x, y) ∆y] + η (∆z)

∆z Per ipotesi `e fx(x, y) + ify(x, y) = 0, onde:

∆f

∆z = [fx(x, y) ∆x + ifx(x, y) ∆y] + η (∆z)

|∆z|

= fx(x, y) + η(∆z)

|∆z|

Per ∆z → 0:

∆limz→0

∆f

∆z = fx(x, y) , onde l’asserto.

Definizione 3 Assegnata la funzione complessa (1), diremo che f `e olomorfa in un campo A ⊆ E, se f `e derivabile in modo complesso in A.

Con tale definizione, il teorema precedente pu`o essere enunciato come Teorema 4

f `e olmorfa in A ⇐⇒





f `e differenziabile secondo Stolz in A e le sue derivate parziali verificano l’equazione

fx(x, y) + ify(x, y) = 0 Definizione 5 L’equazione

fx(x, y) + ify(x, y) = 0, (5)

`e l’equazione di Cauchy-Riemann o equazione di monogeneit`a.

Cerchiamo ora di sintetizzare le nozioni introdotte. Con la definizione di derivata complessa non abbiamo fatto altro che estendere il concetto di derivata di una funzione reale di una variabile reale, al caso di una funzione complessa di una variabile complessa. Si noti che tale estensione non

`e per nulla simile alla definizione di derivazione parziale di una f (x, y) che eventualmente assume valori complessi, poich`e nel caso della derivazione complessa le variabili (x, y) vengono “inglobate”

nell’unica variabile complessa z = x + iy. In parole povere, la derivazione complessa “somiglia” pi`u all’operazione di derivazione di una funzione di una sola variabile. Anche l’interpretazione geometrica ammette una ragionevole estensione al caso di una funzione complessa f (z), per cui si attribuisce una liscezza complessa a una funzione olomorfa. Non a caso, quest’ultima `e differenziabile secondo Stolz, per cui il grafico `e dotato - punto per punto - di piano tangente. Tuttavia, da sola la differenziabilit`a non basta per garantire l’olomorfia di una funzione complessa, giacch`e le sue derivate parziali devono

soddisfare l’equazione di Cauchy-Riemann che pu`o essere riscritta in termini di parte reale e parte immaginaria di f . Pi`u precisamente, poniamo:

u(x, y) = Re f (z) , v (x, y) = Im f (z) , per cui

fx(x, y) = ∂u

∂x + i∂v

∂x, fy(x, y) = ∂u

∂y + i∂v

∂y onde l’equazione di Caucy-Riemann diventa:

∂u

∂x + i∂v

∂x + i∂u

∂y −∂v

∂y = 0, cio`e:

∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y = −∂v

∂x (6)

Teorema 6 Ipotesi: f(z) `e olomorfa in un campo connesso A. Le funzioni u (x, y) = Re f (z) e v(x, y) = Im f (z) verificano l’equazione:

ϕ(u, v) = 0,

dove ϕ : B → R con B ⊆ R², `e differenziabile secondo Stolz in B e tale che

 ∂ϕ

∂u

²

+ ∂ϕ

∂v

²

>0 (7)

Tesi: f (z) =costante, ∀z ∈ A.

Dimostrazione. Per ipotesi

ϕ[u (x, y) , v (x, y)] = 0, ∀ (x, y) ∈ A

con ϕ funzione differenziabile secondo Stolz nel campo B, onde per il teorema di derivazione delle funzioni composte (vediappunti precedenti):

 ∂ϕ

∂u

∂u

∂x+ ^∂ϕ_∂v^∂v_∂x = 0

∂ϕ

∂u

∂u

∂y +^∂ϕ_∂v^∂v_∂y = 0 Tenendo conto delle (6):

 _∂ϕ

∂u

∂u

∂x+ ^∂ϕ_∂v^∂v_∂x = 0

∂ϕ

∂v

∂u

∂x− ^∂ϕ_∂u∂x^∂v = 0 , (8)

che `e un sistema omogeno nelle incognite ^∂u_∂x,^∂v_∂x
, il cui determinante della matrice dei coefficienti

`e:

∂ϕ

∂u

∂ϕ

∂ϕ ∂u

∂v −^∂ϕ_∂u    = −

"

 ∂ϕ

∂u

²

+ ∂ϕ

∂v

²#

<0,

in virt`u dell’ipotesi (7). Il non annullarsi del determinante implica l’esistenza della sola soluzione banale:

∂u

∂x = ∂v

∂x = 0, che a sua volta implicano, attraverso le (6):

∂u

∂y = ∂v

∂y = 0

Per ipotesi A `e un campo connesso, onde per un noto teorema si ha:

∀ (x, y) ∈ A, ∂u

∂x = ∂u

∂y = 0 =⇒ u (x, y) = C1, ∀ (x, y) ∈ A

∀ (x, y) ∈ A, ∂v

∂x = ∂v

∂y = 0 =⇒ v (x, y) = C2, ∀ (x, y) ∈ A, essendo C1, C2 costanti reali. Cio`e

f(x, y) = C¹+ iC², ∀ (x, y) ∈ A, onde l’asserto.

Da tale teorema segue il corollario:

Corollario 7 Una funzione olomorfa che in un campo connesso A assume solo valori reali o solo valori immaginari, `e necessariamente costante in A.

Dimostrazione. Senza perdita di generalit`a supponiamo che f assuma solo valori reali in A, cio`e v(x, y) = Im f (x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ A, onde ^∂v_∂x = ^∂v_∂y = 0. Dalle (6) segue

∀ (x, y) ∈ A, ∂u

∂x = ∂u

∂y = 0 =⇒

A `e connessou(x, y) = C, ∀ (x, y) ∈ A, onde l’asserto.

Il corollario appena dimostrato fornisce, dunque, un’importante caratterizzazione di una funzione olomorfa in un campo connesso, secondo cui una qualunque funzione olomorfa che in un campo connesso assume solo valori reali o solo valori immaginari, si riduce a una costante.

Riferimenti bibliografici

[1] FicheraG., De Vito L.: Funzioni analitiche di una variabile complessa, Veschi, 1987.