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USARE FOGLI DIVERSI PER ESERCIZI DIVERSI Primo Esercizio

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Academic year: 2021

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(1)

Meccanica Razionale e Analitica Seconda Prova in ”Itinere”

24/05/05

USARE FOGLI DIVERSI PER ESERCIZI DIVERSI Primo Esercizio

Un piano verticale in cui `e fissato il riferimento cartesiano ortogonale Oxy ruota intorno all’asse Oy verticale ascendente con velocit` a angolare costante ω. Un’asta pesante omogenea AB `e libera di muoversi nel piano con l’estremo A sempre coincidente con O. Una seconda asta CD, anch’essa giacente nel piano mobile, ha l’estremo C sempre coincidente con B mentre l’estremo D `e vincolato a muoversi sull’asse Ox (vedi Figura 1). Le aste sono pesanti, hanno entrambe massa m e la stessa lunghezza l. Tutti i vin- coli si suppongono privi di attrito. Assunto come parametro lagrangiano l’angolo φ, −π ≤ φ < π, che l’asta AB forma con l’asse Oy

(1) trovare al variare del parametro µ = 8 3 g

2

le posizioni di equilibrio relativo del sistema e determinare quelle che sono stabili.

(2) Provare che nel riferimento del piano ruotante vale l’integrale primo dell’energia e da questo trovare l’equazione di moto del sistema.

(3) Determinare l’hamiltoniana.

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

0 000000 1 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

0 1

y ω

x B=C

A=O D

φ

Figura 1

Secondo Esercizio

Si consideri il sistema meccanico formato da due punti materiali P 1 , P 2 ,

di uguale massa m, che si muovono in un piano orizzontale. I due punti

(2)

sono inoltre vincolati a muoversi su due guide paraboliche, di equazioni y = 1 + x 2 /2, y = −1 − x 2 /2 rispettivamente, e tra di essi agisce una forza elastica di costante k > 0 (vedi Figura 2).

(a) Scrivere la lagrangiana del sistema usando come coordinate le ascisse x 1 , x 2 dei due punti ed individuare le configurazioni di equilibrio;

(b) calcolare le frequenze proprie delle piccole oscillazioni attorno alla po- sizione di equilibrio stabile e determinare i modi normali di oscillazione.

00 11 00 11

P 1

P 2 k

x y

Figura 2

Prova al Calcolatore

(a) Indicata con H(m, l, g, ω, φ, p) l’hamiltoniana del punto (3) del primo esercizio tracciare in un piano cartesiano φ, p le curve di livello

H(1, 1, 1, 3/8, φ, p) = 1/2, H(1, 1, 1, 3/8, φ, p) = 1, H(1, 1, 1, 3/8, φ, p) = 3/2,

H(1, 1, 1, 3/8, φ, p) = −4, H(1, 1, 1, 3/8, φ, p) = −1 per φ ∈ (−π, π), p ∈ (−5, 5). Usare l’opzione grid = [200, 200]

(b) Considerare la superfice di equazioni parametriche x = u cos(v), y = u sin(v), z = u 2 .

Calcolare l’area di questa superfice relativa al dominio di base

0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2π .

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