10. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. 1. Sia Z+:= {m ∈ Z|m > 0} e si consideri l’applicazione d : Z+× Z+ −→ R, (m, n) 7→ |m − n|
mn (1) Provare che d `e una metrica su Z+.
(2) Descrivere la topologia τd indotta da d su Z+.
(3) Stabilire se lo spazio topologico (Z+, τd) `e compatto per successioni.
(4) Stabilire se lo spazio metrico (Z+, τd) `e limitato.
(5) Stabilire se lo spazio metrico(Z+, τd) `e completo.
(6) Stabilire se lo spazio metrico (Z+, τd) `e totalmente limitato.
Esercizio 2. Sia la topologia euclidea su R e sia A := {1n|n ∈ N \ {0}}. Si consideri la famiglia
τ := {U ∩ (R \ B)|U ∈ , B ⊂ A}
di sottoinsiemi di R.
(1) Provare che τ `e una topologia su R.
(2) Stabilire se (R, τ ) `e di Hausdorff.
(3) Stabilire se (R, τ ) `e connesso.
(4) Stabilire se (R, τ ) `e compatto.
(5) Stabilire se (R, τ ) `e compatto per successioni.
(6) Stabilire se (R, τ ) `e regolare.
(7) Stabilire se (R, τ ) `e localmente compatto.
Esercizio 3. Uno spazio topologico X si dice localmente compatto se ogni suo punto possiede un intorno compatto.
Dimostrare la seguente proposizione. Ogni n-variet`a topologica `e metrizzabile.
Per la dimostrazione si proceda nel seguente modo: si dimostri che (1) Ogni spazio localmente euclideo `e localmente compatto.
(2) Ogni spazio localmente compatto e di Hausdorff `e T3. (3) Si concluda usando il Teorema di Urysohn.
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