• Non ci sono risultati.

1. Sia X uno spazio topologico. Con le usuali notazioni, dimostrare che X ` e di Hausdorff ⇐⇒ {x} = \

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "1. Sia X uno spazio topologico. Con le usuali notazioni, dimostrare che X ` e di Hausdorff ⇐⇒ {x} = \"

Copied!
1
0
0

Testo completo

(1)

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 3

17 Ottobre 2013

1. Sia X uno spazio topologico. Con le usuali notazioni, dimostrare che X ` e di Hausdorff ⇐⇒ {x} = \

U ∈ N (x)

U per ogni x ∈ X.

2. Sia f : X → Y un’applicazione aperta fra spazi topologici e sia D ⊂ Y un sottoinsieme denso in Y . Provare che f

−1

(D) ` e denso in X.

3. ` E vero che ogni spazio metrico completo ` e separabile?

4. Sia X uno spazio topologico e sia A ⊂ X un sottoinsieme aperto. Mostrare che se X

` e separabile allora A, dotato della topologia di sottospazio, ` e separabile.

5. Sia X uno spazio metrico e sia (x

n

)

n∈N

una successione di Cauchy in X. Provare che se (x

n

)

n∈N

ha un’estratta convergente allora (x

n

)

n∈N

` e convergente.

6. Sia {x

1

, . . . , x

n

} un sottoinsieme finito di uno spazio di Hausdorff X. Mostrare che per ogni i = 1, . . . , n si pu` o trovare un intorno U

i

di x

i

in X in modo tale che gli insiemi U

1

, . . . , U

n

siano a due a due disgiunti.

7. Siano Y e Z due sottospazi completi di uno spazio metrico X. Dimostrare che Y ∪ Z

` e un sottospazio completo di X.

8. Sia X un insieme finito. Provare che la sola topologia di Hausdorff su X ` e la topologia discreta.

9. Siano X e Y spazi topologici e sia f : X → Y un’applicazione continua, suriettiva e aperta. Mostrare che se X ` e 2-numerabile allora Y ` e 2-numerabile.

10. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X e sia χ

S

: X → R la funzione caratteristica di S, ossia l’applicazione data da

χ

S

(x) :=

1 se x ∈ S, 0 se x / ∈ S.

Dimostrare che χ

S

` e continua in x

0

∈ X se e solo se x

0

∈ Fr /

X

(S).

Riferimenti

Documenti correlati

[r]

[r]

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata.. Corso di Laurea

Secondo esonero di Geometria 3 (Prof. Tovena) 17 febbraio 2012 Giustificare le risposte con chiarezza.. 1) Sia X lo spazio topologico dato da R 2 con la

1) Sia B un sottoinsieme chiuso in uno spazio topologico X. Dimostra o esibisci un controesempio per ciascuna delle seguenti affermazioni:. 1.a) La frontiera di B `e contenuta

c) se l’unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi ammette punto interno allora uno degli elementi dell’unione ha punto interno. Mostrare inoltre che, se X gode di

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata.. Corso di Laurea

Generalizzare l’Esercizio 9: Sia (X, d) uno spazio metrico infinito e sia M la topologia metrica indotta dalla distanza d.. Sia X uno