(1) Dimostrare che se (X, d) ` e uno spazio metrico ogni palla aperta B

Nei primi esercizi si richiede di dimostrare (consultando eventual- mente testi usati altrove) semplici propriet` a in R

o spazi metrici, la cui dimostrazione ` e praticamente identica a quella dei relativi teoremi per funzioni reali di variabile reale, e che sono inoltre state introdotte nella parte finale del corso di Analisi Matematica 2 di introduzione agli spazi metrici e alla loro topologia.

La dimostrazione dei teoremi importanti ` e stata invece svolta in gran parte a a lezione (utilizzando il fatto che i risultati e le tecniche per le funzioni reali di una variabile reale sono ben consolidati). Come eser- cizio dimostrare oltre ai punti seguenti anche eventuali altre propriet` a enunciate a lezione e non dimostrate in dettaglio.

(1) Dimostrare che se (X, d) ` e uno spazio metrico ogni palla aperta B

(x

) ` e un insieme aperto.

(2) Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare le affermazioni se- guenti

i) Sia {O

}

una collezione arbitraria di insiemi aperti.

Allora O = ∪

O

` e aperto.

ii) Sia O

, . . . O

una collezione finita di insiemi aperti. Allora O

= ∩

O

` e aperto.

iii) Sia {C

}

una collezione di insiemi chiusi. Allora C =

∩

C

` e chiuso.

iv) Sia C

, . . . C

una collezione finita di insiemi chiusi. Allora C

= ∪

C

` e chiuso.

(3) Sia X uno spazio vettoriale dove ` e definito il prodotto scala- re (x, y) tra due elementi x, y ∈ X con la conseguente norma indotta kxk = (x, x)

.

Analizzando la dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy- Schwarz,

| (x, y) | ≤ kxk kyk

e della disuguaglianza triangolare per la norma kx + yk ≤ kxk + kyk

che ne ` e conseguenza, dire quando valgono le uguaglianze

| (x, y) | = kxk kyk , (x, y) = kxk kyk , kx + yk = kxk + kyk

(4) Dimostrare che se x, y sono vettori di R

(o di uno spazio normato)

| kxk − kyk | ≤

( kx − yk

kx + yk ≤ kxk + kyk.

Dedurne che la funzione norma x ∈ R

7→ kxk ∈ R `e continua (e lipschitziana).

1

2

(5) Dimostrare il teorema di composizione per funzioni continue:

se X, Y, Z sono spazi metrici, f : A ⊆ X → Y , g : B ⊆ Y → Z, f (A) ⊆ B, x

∈ A, y

= f (x

), f ` e continua in x

e g ` e continua in y

, allora g ◦ f ` e continua in x

.

(6) Dimostrare che una applicazione f : X → Y tra spazi metrici

`

e continua in (ogni punto di) X se e solo se per ogni aperto A di Y (chiuso C di Y ) la controimmagine f

(A) ` e un aperto di X.

(7) Enunciare e dimostrare il teorema (sui limiti e) sulla continuit` a della somma e del prodotto di funzioni continue f, g : A ⊆ R

→ R. Verificare che la dimostrazione nel caso del prodotto vale anche (utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) nel caso del prodotto scalare di funzioni a valori vettoriali: se f , g : A ⊆ R

→ R

sono continue allora la funzione h(x) = f · g : A → R `e continua.

(8) (Continuit` a di distanza, norma, prodotto interno) Siano {x

}, {y

} successioni in uno spazio metrico X e supponiamo che x

→ x, y

→ y ( n → ∞). Dimostrare che

a) La successione di numeri reali d(x

, y

) converge in R al numero reale d(x, y).

b) Se in particolare ( X, (. , .) ) ` e uno spazio con prodotto interno allora (x

, y

) converge a (x, y).

c) Se (X, k . k ) ` e uno spazio normato allora kx

k converge a kxk.

(9) Siano (X, d

), (Y, d

) spazi metrici e siano x

∈ X e f : X → Y una funzione. Dimostrare che f ` e continua in x

se e solo se da ogni successione x

in X convergente a x

si pu` o estrarre una sottosuccessione x

tale che f (x

) converge a f (x

).

(10) Sia (X, d) uno spazio metrico e siano ∅ 6= E, F ⊆ X. Defi- niamo la funzione d

: X → [0, +∞), distanza da E, come d

(x) = inf

d(x, z), e la distanza tra E e F come d(E, F ) = inf

d(x, y).

a) Dimostrare che d

(x) = 0 se e solo se x ∈ E

b) Dimostrare che la funzione d

` e uniformemente continua (lipschitziana) mostrando che | d

(x) − d

(y) | ≤ d(x, y) per ogni coppia di punti x, y ∈ X.

c) Se C

, C

sono chiusi e disgiunti, dimostrare che la funzione g(x) =

C1(x)+d_C2(x)

` e ben definita, continua, a valori in [0, 1], ed ` e tale che g(x) = 0 se e solo se x ∈ C

, g(x) = 1 se e solo se x ∈ C

.

d) Dimostrare che se K ⊆ X ` e compatto disgiunto da C ⊆ X

chiuso, allora d(K, C) > 0; mostrare con un esempio che tale

propriet` a non vale se K ` e chiuso ma non compatto.

3

(11) Determinare l’ insieme di definizione A, l’ insieme B dove esi- stono le derivate parziali e le derivate parziali f

(x, y), f

(x, y) , ( f

(x, y, z) ) delle seguenti funzioni.

a) f (x, y) = x

+ y

− xy b) f (x, y) = sin(x) cos(y) c) f (x, y, z) = sin(xy) cos(z) d) f (x, y) =

e) f (x, y) = e

f) f (x, y) =

g) f (x, y) = x

y sin(xy) h) f (x, y) = px

+ y

i) f (x, y) = log (y − x

) j) f (x, y) = p4 − x

− y

k) f (x, y) = arccos(x

+ y

− 2) l) f (x, y) = arctan(p1 + x

y

) m) f (x, y) = x

n) f (x, y, z) = z

o) f (x, y, z) = (xy)

p) f (x, y) = (xy)

[ a) A = B = R

, f

(x, y) = 3x

− y , f

(x, y) = 2y − x b) A = B = R

, f

(x, y) = cos(x) cos(y) , f

(x, y) =

− sin(x) sin(y)

c) A = B = R

, f

(x, y) = y cos(xy) cos(z) , f

(x, y) = x cos(xy) cos(z) , f

(x, y) = − sin(xy) sin(z)

d) A = B = [x 6= 1] ( abbreviazione che useremo anche in seguito invece della notazione completa {(x, y) ∈ R

: x 6= 1} ), f

(x, y) =

, f

(x, y) =

e) A = B = R

, f

(x, y) = 3x

y

e

, f

(x, y) = 2x

ye

f) A = B = [y 6= 0] ( abbreviazione che useremo anche in

seguito invece della notazione completa {(x, y) ∈ R

: y 6= 0} ),

f

(x, y) =

, f

(x, y) =

4

g) A = B = R

, f

(x, y) = 2xy sin(xy) + x

y

cos(xy) , f

(x, y) = x

sin(xy) + x

y cos(xy)

h) A = R

, B = [x

+ y

6= 0] = R

\ {(0, 0)}, f

(x, y) =

√

x²+y²

, f

(x, y) = √

x²+y²

i) A = B = [y > x

], f

(x, y) =

, f

(x, y) =

j) A = [x

+ y

≤ 4] = B

((0, 0)), B = [x

+ y

< 4] = B

((0, 0)), f

(x, y) = √

4−x²−y²

, f

(x, y) = √

4−x²−y²

k) A = [1 ≤ x

+ y

≤ 3] = B

\ B

((0, 0)), B = [1 <

x

+ y

< 3] = B

\ B

((0, 0)), f

(x, y) = √

1−(4−x²−y²)²

, f

(x, y) = √

1−(4−x²−y²)²

l) A = B = R

, f

(x, y) =

√

1+x²y⁴

2xy

=

xy⁴ (2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

, f

(x, y) =

√

1+x²y⁴

4x

y

=

(2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

m) A = B = [x > 0], f

(x, y) = yx

, f

(x, y) = x

log(x)

n) A = B = [z > 0], f

(x, y, z) = xyz

, f

(x, y, z) = yz

log(z) , f

(x, y, z) = xz

log(z)

o) A = B = [xy > 0] (unione di primo e terzo quadrante senza gli assi), f

(x, y, z) = yz(xy)

, f

(x, y, z) = xz(xy)

, f

(x, y, z) = (xy)

log(xy)

p) A = B = [xy > 0] (unione di primo e terzo quadrante senza gli assi), f (x, y) = (xy)

= e

, f

(x, y) = (xy)

[y log(xy) + y] , f

(x, y) = (xy)

[x log(xy) + x]

. . .

]