Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I del 21/06/2018 Corso di laurea in INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA
Docente: Christian Casalvieri
NOME ... COGNOME ...
MATRICOLA ...
Esame da 6 CFU Esame da 9 CFU Esercizi
(1) (6 punti ) - Determinare il dominio naturale D, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e gli eventuali asintoti della funzione f : D → R cos`ı definita:
f (x) = x − log e2x+ 1 e disegnarne un grafico qualitativo.
(2) (6 punti ) - Calcolare il seguente integrale:
Z 16 1
e4
√x−√4
√ x
x dx.
(3) (6 punti ) - Determinare i valori di x ∈ R per i quali converge la seguente serie:
∞
X
k=1
x2k 5kkx−1.
(4) (riservato all’esame da 9 CFU) (6 punti ) - Determinare il valore del parametro α ∈ R in modo tale che la funzione:
f (x) =
√3
x + 1 + 23sin(x2+ x) x < 0 5|x − 2| + α(x − 3)2 x ≥ 0
sia continua in tutto R. Per tale valore di α determinare e classificare gli eventuali punti di non derivabilit`a di f .
Domande teoriche
(a) (3 punti ) - Enunciare il teorema di Fermat. Dire, motivando la risposta, se `e possibile applicarlo alla funzione f (x) = −x3.
(b) (3 punti ) - Costruire l’esempio di una funzione continua nel suo dominio, che sia dispari e tale che abbia un punto di massimo assoluto in x0 = −π2 con f −π2 = π2. (c) (riservata all’esame da 9 CFU) (2 punti ) - Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 43 della funzione f (x) = 4 sin (x34) cos (x4).
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