Appendice B – Condizioni iniziali di simulazione
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Appendice B
Condizioni iniziali di simulazione
Il calcolo della pressione nelle camere del martinetto, in condizioni di equilibrio ed in assenza di carico esterno sul pistone, è molto importante per fornire al modello Symulink delle condizioni coerenti di inizio integrazione.
Ovviamente, se le facce del pistone fossero tutte simmetriche, le pressioni nelle camere dell’attuatore, in condizioni di equilibrio, sarebbero esattamente pari alla media aritmetica fra la pressione di mandata e la pressione di scarico. In tal caso, lo spool di servovalvola si troverebbe in posizione centrata.
A causa della asimmetria delle facce del pistone, la pressione di equilibrio nelle camere ha un valore diverso dal caso simmetrico, e la posizione di equilibrio dello spool della DDV non è quella centrata.
Per il calcolo si definisce P il valore iniziale di pressione che si avrebbe nel caso *
in cui l’attuatore fosse simmetrico:
2 1 01
* P Ps
P = + ,
quindi, si ricerca il valore P∆ tale per cui la forza sul pistone F , in assenza di carico, sia complessivamente nulla:
(
)
(
)
(
) (
)
0 2 2 1 1 * * * * = ∆ − − ∆ + + ∆ − − ∆ + = P P A P P A P P A P P A F in b in a in b in a P P P asym P 43 42 1 43 42 1 43 42 1 43 42 1Appendice B – Condizioni iniziali di simulazione
108 Si osservi che, in condizioni di equilibrio, la pressione nelle camere del martinetto coincide con quella in uscita dalla DDV, infatti, la velocità del fluido nelle tubazioni è nulla, pertanto sono nulle le perdite di carico nei condotti di collegamento. Conseguentemente, il valore della pressione in uscita dalla servovalvola che garantisce l’equilibrio del pistone coincide con quello di equilibrio nelle camere del martinetto.
Al fine di risalire alla posizione dello spool nella condizione di inizio integrazione, occorre calcolare il guadagno di pressione della servovalvola.
Le aree di trafilamento della DDV in funzione della posizione dello spool, sono fornite dalle seguenti relazioni:
= = = = = = = = ) ( ) ( 42 22 41 21 32 12 31 11 v b v a X A A A A A X A A A A A dove: u X u X C u X w wC X A u X u X C u X w wC X A v v r v r v b v v r v r v a ≤ > + − = − ≥ − < + + = 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) (
Si consideri una condizione di equilibrio, in assenza di carico sul pistone dell’attuatore: la portata entrante nelle quattro camere è nulla. Ne consegue che la pressione nelle stesse camere può essere espressa come di seguito:
= + + = = = + + = = b a b s a b b b a b a s b a a a P A A P A P A P P P A A P A P A P P 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 0 2 2 1
Appendice B – Condizioni iniziali di simulazione
109 Nell’intorno di Xv=0 si può scrivere:
(
)
[
]
[
(
)
]
[
]
(
)
[
]
[
(
)
]
[
]
+ + + + + + − = + + = = + + + − + + + = + + = = 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 v r s r r v a b s a b b b v r s r r v b a s b a a a X C u P C Xv u P C X u A A P A P A P P X C u P C Xv u P C X u A A P A P A P P . Posto :(
)
2(
20 2)
2 1 2 1 2 2 v r s v b a b b a a L X C u P P uX P P P P P P P + + − = − = − − + = ,la derivata di PL rispetto ad Xvè pari a:
(
)
[
]
2 2 2 2 2 2 0 4 v r v r s v L X C u X C u P P u X P + + − + − = ∂ ∂ .Ne consegue che il guadagno di pressione, ovvero la variazione di pressione corrispondente ad uno spostamento unitario dello spool, assume, nell’intorno di
0 = v X , la seguente forma:
(
)
2 2 0 0 4 r s X V L C u P P u X P v + − = ∂ ∂ = .L’andamento di Pa e Pb in funzione della posizione dello spool è riportato nella
Appendice B – Condizioni iniziali di simulazione
110 0
P0
Ps
Guadagno di pressione della DDV
Xv
Pa Pb
Figura B.1 Guadagno di pressione della DDV.
Noti, dunque, il guadagno di pressione della servovalvola e P∆ , è possibile risalire alla corrispondente posizione dello spool.
