Equilibrio fra pressione di un liquido e molla
Figure 1:
Sia data una condotta a sezione quadrata di lato h0 appoggiata oriz- zontalmente. Da un lato tale condotta `e chiusa, mentre dall’altra ha un pistone mobile collegato al lato chiuso da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile.
All’interno della condotta `e racchiuso un volume VL = h20l0 di acqua.
All’equilibrio, il liquido riempie la condotta fino ad una quota h1 < h0. Determinare la lunghezza x = l1 della molla in questa condizione.
Soluzione 1 - Equilibrio delle forze
All’equilibrio, sul pistone mobile agiscono la forza di richiamo della molla e la forza dovuta alla pressione del liquido.
Per calcolare quest’ultima molla usiamo l’integrale di superficie:
FL= Z
P dS (1)
essendo dS un elemento di superficie e P la pressione che agisce su di esso.
In un liquido, la pressione `e costante a profondit`a uguali. Pertanto con- viene introdurre una coordinata z verticale con origine nella faccia appog-
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giata della conduttura. La pressione ad una quota z vale:
P (z) = ρg(h1− z) (2)
L’elemento di superficie sulla quale agisce questa pressione `e una strisci- olina di base h0 e altezza dz. Quindi:
FL= Z h1
0
ρg(h1− z)h0dz = 1
2ρgh0h21 (3)
Questa forza `e equilibrata dalla tensione della molla:
kl1 = 1
2ρgh0h21 (4)
La relazione fra h1 e l1 `e data dalla conservazione del volume del liquido:
h20l0 = h0h1l1 → h1= l0
l1h0 (5)
Sostituendo in eq.4 si ricava la lunghezza della molla all’equilibrio:
l1=
mg 2kh0VL
1
3
(6)
Soluzione 2 - Minimo del potenziale
Vogliamo ora scrivere il potenziale in funzione della lunghezza x della molla. Il potenziale ha due componenti, quello dovuto alla molla ed il poten- ziale gravitazionale:
U (x) = 1
2kx2+ mgh1
2 = 1
2kx2+ mgh0l0
2x (7)
dove abbiamo usato l’eq.5 per esprimere h1 in funzione di x.
La posizione di equilibrio `e data dal minimo dell’energia potenziale.
dU
dx = kx − mgh0l0
2x2 = 0 (8)
Introducendo il volume del liquido VL = h20l0 si ricava immediatamente la soluzione gi`a trovata in precedenza.
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