3⋅5 = 5 ⋅3 = 15

OPERAZIONI, PROBLEMI ED ESPRESSIONI COMPLESSE

4. LA MOLTIPLICAZIONE

E’ un’operazione di addizione avente gli addendi uguali. La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme dei numeri N, cioè l’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione perché è un’operazione che può essere sempre effettuata.

I termini della moltiplicazione sono:

• Proprietà

COMMUTATIVA - cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Es: 3⋅ 5 = 5 ⋅ 3 = 15

ASSOCIATIVA - il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto.

Es: 3⋅ 5 ⋅ 6 = 15 ⋅ 6 = 90

DISSOCIATIVA - il prodotto di due o più fattori non cambia se al posto di uno di essi si sostituiscono alcuni fattori il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.

Es: 12⋅ 5 = 4 ⋅ 3⋅ 5 = 60

DISTRIBUTIVA - il prodotto di un numero per una somma (o una differenza) si può ottenere facendo le moltiplicazioni parziali dei termini della somma (o della differenza) per tale numero e poi addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.

Es: 3 2

(

)

• Calcolo in colonna

Si moltiplicano tra loro le cifre partendo da destra e s’incolonnano i risultati parziali per essere sommati, spostando di un ordine a ogni riga di calcolo le cifre da incolonnare.

La virgola e gli zeri vengono eliminati durante il calcolo e riposizionati nel risultato finale.

Es: 22, 34⋅ 570 = 12733,8

• Calcolo rapido con utilizzo delle proprietà

Si cerca di ottenere il maggior numero di addendi che terminano per 0 o 5 in modo da facilitare il calcolo mentale.

Es: 5⋅ 2 ⋅ 6 = 10 ⋅ 6 = 60

• Calcolo per multipli di 10; 100; 1000

Si calcolano solo le cifre diverse da zero e gli zeri vengono riportati nel risultato, spostando se necessario la virgola verso destra

Es: 5, 7⋅ 20000 = 114000,0

5. LA DIVISIONE

E’ un’operazione che permette di associare due numeri separandole suddividendo il primo in quantità uguali quanto sono indicate dal secondo. La divisione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri N, cioè l’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di divisione perché è un’operazione che non può essere svolta quando il primo termine non è un multiplo del secondo.

I termini dell’addizione sono

• Proprietà

I NVARIANTIVA - il quoziente tra due numeri non cambia se a entrambi si moltiplica o divide una stessa quantità, diversa da zero

Es: 15 : 3= 15 ⋅ 2

( )

( )

DISTRIBUTIVA - il quoziente di un numero per una somma (o una differenza) si può ottenere facendo le divisioni parziali dei termini della somma (o della differenza) per tale numero e poi addizionare (o sottrarre) i quozienti ottenuti.

Es:

(

)

( )

( )

• Calcolo in colonna

Si riportano i resti parziali incolonnandoli sotto al dividendo in modo da effettuare le sottrazioni necessarie alle successive divisioni.

Es: senza resto 4257, 2 : 58= 73,4

con resto (si continua fino 2 o 3 decimali)

2794, 25 : 3, 7 = 755,2027

• Calcolo rapido con utilizzo delle proprietà

Si cerca di ottenere un divisore multiplo di 10 in modo da facilitare la divisione Es: 18 : 5= 18 ⋅ 2

( )

( )

• Calcolo per divisori di 10; 100; 1000

Si calcolano solo le cifre diverse da zero spostando la virgola verso sinistra Es: 26 : 2000= 0,013

6. ESPRESSIONI ARITMETICHE COPLESSE

Le regole di procedimento generali sono:

• REGOLA DELLE OPERAZIONI

Si risolvono le operazioni con questa sequenza:

1. le potenze e le proprietà; (se sono presenti)

2. le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui si trovano;

3. le somme e le sottrazioni nell’ordine in cui si trovano;

• REGOLA DELLE PARENTESI

Si risolvono le parentesi con questa sequenza:

1. Tonde 2. Quadre 3. Graffe

ES:

45 − 18 + 2 ⋅ 7 { _⎡⎣ ( ) ⋅ 2 : 32 : 8 ( ) _{⎤⎦ :5 + 20} } ^{− 10 ⋅ 2 ( ) =}

= 45 − 18 + 14 ⋅ 2 : 4 { [ ] ^{: 5 + 20} } ^{− 20 =}

= 45 − 18 + 28 : 4 { [ ] ^{: 5 + 20} } ^{− 20 =}

= 45 − 18 + 7 { [ ] ^{: 5 + 20} } ^{− 20 =}

= 45 − 25 : 5 + 20 { } ^{− 20 =}

= 45 − 5 + 20 { } ^{− 20 =}

= 45 − 25 − 20 =

= 20 − 20 =

= 0

7. PROBLEMI CON 4 OPERAZIONI

Il problema presenta le stesse impostazioni dei problemi semplici, aumentano solo la quantità di operazioni, che possono essere risolte in un’unica espressione:

• FASE D’ANALISI - lettura e comprensione del testo.

• FASE DI FORMALIZZAZIONE - traduzione dei dati e delle incognite in termini matematici con impostazione risolutiva

• FASE DELL’ALGORITMO - impostazione, elaborazione e calcolo. L’algoritmo è la serie di operazioni matematiche che mi permettono di risolvere il problema.

• FASE DI RISOLUZIONE - la risposta scritta viene omessa. Si devono cerchiare i risultati ottenuti risolvendo le incognite e barrare i punti di domanda risolti.

PROBLEMA: Una signora ha acquistato 4 gonne a 23 € l’una, 1 camicia a 48 € e un paio di pantaloni; se paga con 4 biglietti da 50 € riceve di resto 28 €. Le è stato anche fatto uno sconto di 5 €; qual è il prezzo dei pantaloni?

DISEGNO DATI INCOGNITA (solo geometrico) G = 23 € x 4 ? = P C = 48 € x 1

B = 50 € x 4 S = 5 € R = 28 €

ALGORITMO

• Calcolare il totale delle gonne

• Calcolare il totale dei vestiti

• Calcolare il prezzo dei pantaloni sottraendo il totale dei vestiti, dello sconto e del resto.

RISOLVO

INDICAZIONE CALCOLO

P = B ⋅ 4 { ( ) − R − G ⋅ 4 _⎡⎣ ( ) ^{+ C} _⎤⎦ } ^{+ S}

P = 50 ⋅ 4 { ( ) − 28 − 23⋅ 4 _⎡⎣ ( ) ^{+ 48} _⎤⎦ } ^{+ 5 =}

= 200 − 28 − 92 + 48 { [ ] } ^{+ 5 =}

= 200 − 28 − 140 { } + 5 =

= 172 − 140 { } ^{+ 5 =}

= 32 + 7 =

= 37€