Limiti di funzioni.

Limiti di funzioni.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Intorno di un punto

Un intorno U di x0∈ R `e un intervallo (aperto) del tipo

(x0− δ, x0+ δ) cio`e

U := (x0− δ, x0+ δ) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}.

Definizione

Un intorno U di +∞ `e un intervallo (aperto) del tipo (a, +∞) cio`e

U := (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}.

Definizione

Un intorno U di −∞ `e un intervallo (aperto) del tipo (−∞, a) cio`e

Intorno di un punto

Intorno di un punto

Definizione

La funzione f ha una certa propriet`a definitivamente per x → c se

esiste un intorno U di c tale che la propriet`a vale per ogni x ∈ U,

x 6= c.

Nota.

I x ∈ Ux0 = (x0− δ, x0+ δ) se e solo se |x − x0| < δ.

I x ∈ U+∞= (a, +∞) se e solo se x > a.

Limite di funzione

Con la scrittura

I U−∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di −∞ del

tipo

U−∞,b = (−∞, b)

al variare di b;

I U+∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di +∞ del

tipo

Ua,+∞ = (a, +∞)

al variare di a;

I U_c intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di c del tipo

Uc,δ= (c − δ, c + δ)

Limite di funzione

Ricordiamo che per una successione an era limnan= L se e solo se

per ogni  > 0 esiste N() tale che |an− L| <  per ogni n > N(),

cio`e |an− L| <  definitivamente. Se UL`e un intorno di L, si pu`o

trascrivere come se e solo se per ogni UL intorno di L esiste V+∞

(intorno di +∞) tale che an∈ UL per ogni n ∈ V+∞.

Definizione

Sia R∗= R ∪ {+∞} ∪ {+∞}. Sia f definita (almeno)

definitivamente per x → c. Sia L ∈ R∗. La scrittura

lim

x →cf (x ) = L

significa cheper ogni UL∈ UL intorno di L esiste Vc ∈ Uc intorno

Limite di funzione: c, L ∈ R

Nel caso c, L ∈ R la scrittura lim

x →cf (x ) = L

significa che per ogni

UL = (L − , L + ) = {x ∈ R : |y − L| < }

esiste

Vc= (c − δ(), c + δ()) = {y ∈ R : |y − c| < δ()}

tale che se x ∈ Uc, x 6= c, allora f (x ) ∈ VL. Notiamo che siccome

gli intervalli UL, Vc dipendono solo da  e δ() (oltre che da L e c)

Limite di funzione: c, L ∈ R

Definizione

Siano c, L ∈ R. Con la scrittura lim

x →cf (x ) = L

intendiamo cheper ogni  > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| < 

per ogni x tale che

|x − c| < δ()

Limite di funzione

Figura : Il limite di sin (x ) per x → π/6 = 0.52359 . . . `e 0.5. Descrizione degli intorni Vc (rosso), Uc (magenta), per c = π/6, per  = 0.2. Si

Limite di funzione

Nota.

I Se cambio , allora cambio δ().

I Non si richiede di conoscere f (x ) per x = c.

I Nel fare la verifica, usualmente si cercano i punti x per cui

Limite di funzione: esempio

L’asserto limx →0x2 = 0 significa che per ogni  > 0 esiste δ() > 0

tale che |x2− 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Ma |x2| <  implica − < x2 _{< , ovvero per la non negativit`a di}

x2_{, 0 ≤ x}2_{<  e ci`o accade per −}√_{ < x < +}√_{. Per verificare}

Limite di funzione

Figura : Il limite di x2per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni Vc (rosso),

Uc (magenta), per c = 0, per  = 0.2. Dalla teoria si evince che per tale

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞

Nel caso c ∈ R, L = +∞, la scrittura lim

x →cf (x ) = +∞

indica che per ogni intorno U+∞ di +∞ del tipo

U+∞= (K , +∞) = {y ∈ R : y > K }

esiste Vc intorno di c ∈ R del tipo

Vc = (c − δ(K ), c + δ(k)) = {x ∈ R : |x − c| < δ(K )}

tale che f (x ) ∈ U+∞ per ogni x ∈ Vc con x 6= c. Notiamo che gli

intorni dipendono, oltre che da c, solo da K e δ(K ). In virt`u di questa osservazione possiamo dare una definizione di

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞

Definizione

Siano c, L ∈ R. Con la scrittura lim

x →cf (x ) = +∞

intendiamo cheper ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K ,

per ogni x tale che |x − c| < δ(K ), con x 6= c.

Nota.

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio

Bisogna mostrare che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che

1

(x −1)2 > K , per ogni x tale che |x − 1| < δ(K ), con x 6= 1. Supponiamo _{(x −1)}1 2 > K . Osserviamo che

Limite di funzione

Figura : Il limite di _{(x −1)}1 2 per x → 1 `e +∞. Descrizione degli intorni Vc

(rosso), Uc (magenta), per c = 1, per K = 20000. Dalla teoria si evince

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura

lim

x →+∞f (x ) = L

intendiamo che per ogni UL∈ UL esiste V+∞∈ U+∞ tale che

f (x ) ∈ UL per ogni x ∈ V+∞.

Notiamo che

I _{per L ∈ R, U ∈ UL} se e solo se del tipo

(L − , L + ) = {x ∈ R : |x − L| < };

I V+∞∈ U+∞ se e solo del tipo

(K (), +∞) = {x ∈ R : x > K ()}.

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

Definizione

Sia L ∈ R. Con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = L

intendiamo cheper ogni  > 0 esiste K () > 0 tale che

|f (x) − L| < , per ogni x tale che x > K.

Nota.

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura

lim

x →+∞f (x ) = −∞

intendiamo che per ogni U−∞∈ U−∞esiste V+∞∈ U+∞ tale che

f (x ) ∈ U−∞ per ogni x ∈ V+∞. Notiamo che

I U−∞∈ U−∞ se e solo se del tipo

(−∞, M) = {x ∈ R : x < M}.

I V+∞∈ U+∞ se e solo del tipo

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

Definizione

Sia L ∈ R. Con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = −∞

intendiamo cheper ogni M esiste K (M) tale che f (x ) < M, per

ogni x tale che x > K (M).

Nota.

I Si sottolinea che K (M) varia con M.

I Siccome siamo interessati al comportamento in un intorno di

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

Limite di funzione: note

Nota.

I se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, con L ∈ R, allora

la retta y = L si chiamaasintoto orizzontale;

I se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, notiamo che il K

della definizione dipende da ;

I se limx →±∞f (x ) = ±∞ notiamo che il K della definizione

dipende da M;

Esercizio

Per esercizio, si svolgano i casi di limiti non spiegati come ad

esempio limx →−∞f (x ) = L con L ∈ R, mostrando che significa

Limite di funzione: esercizio

Esercizio

Dopo aver definito

lim

x →∞f (x ) = +∞

mostrare, utilizzando la definizione, che lim

x →+∞x

Limite di funzione: unicit`

a.

Valgono per funzioni tutti i teoremi gi`a visti sui limiti di successioni.

Teorema

Limite di funzione: permanenza del segno.

Teorema

Se

I limx →cf (x ) = L,

I L > 0

allora f (x ) > 0 definitivamente per x → c.

Teorema

Se f (x ) ≥ 0 definitivamente e lim

x →cf (x ) = L

Limite di funzione: teorema del confronto.

Limite di funzione: infinitesime e limitate.

Mostrare che limx →+∞sin (x )_x = 0.

Esercizio

Limiti destro e sinistro (finiti).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = L, L ∈ R

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale L e cio`e che per ogni  > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x ) − L| <  per ogni x ∈ (c, c + δ()).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = L, L ∈ R

Limiti destro e sinistro (+∞).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e

cio`e che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K per ogni x ∈ (c, c + δ).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e

Limiti destro e sinistro (−∞).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = −∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e

cio`e che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) < K per ogni x ∈ (c, c + δ(K )).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) − +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e

Limiti destro e sinistro e limiti.

La quantit`a limx →0segno(x ) non esiste in quanto

lim

x →0−segno(x ) = −1 6= lim_{x →0}+segno(x ) = 1.

Esempio

La quantit`a limx →01_x non esiste in quanto

Limiti: logaritmi.

Si mostra che

Teorema

I limx →0+log_a(x ) = +∞, se a ∈ (0, 1);

I limx →0+log_a(x ) = −∞, se a ∈ (1, +∞);

I limx →x0loga(x ) = loga(x0), se x0 ∈ R;

I limx →+∞loga(x ) = −∞, se a ∈ (0, 1);

Limiti: funzioni trigonometriche.

Si mostra che

Teorema

I limx →x0sin(x ) = sin(x0), se x0 ∈ R;

I limx →x0cos(x ) = cos(x0), se x0∈ R;

I limx →x0tan(x ) = tan(x0), se x0∈ R\{kπ, k ∈ Z}.

Teorema

I limx →−∞arctan(x ) = −π/2;

I limx →x0arctan(x ) = arctan(x0), se x0 ∈ R;

Limiti: continuit`

a .

Nota.

La propriet`a che per x0∈ R si abbia

lim

x →x0

f (x ) = f (x0)

si chiama continuit`a in x0. Per quanto visto sono continue in x0

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Si supponga che c ∈ R∗, L1, L2 ∈ R e che limx →cf (x ) = L1 e

limx →cf (x ) = L2. Allora

I limx →cK · f (x ) = K · L1 per ogni K ∈ R;

I limx →cf (x ) + g (x ) = L1+ L2; I limx →cf (x ) − g (x ) = L1− L2; I limx →cf (x ) · g (x ) = L1· L2; I se L2 6= 0, limx →c f (x )_{g (x )} = L_L1₂, I limx →c(f (x ))g (x ) = L1L2. Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = +∞ allora

I limx →cf (x ) + g (x ) = +∞;

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = −∞ allora

I limx →cf (x ) − g (x ) = +∞;

I limx →c−f (x) + g (x) = −∞;

I limx →cf (x ) · g (x ) = −∞;

Teorema

Se limx →cf (x ) = ±∞ e limx →cg (x ) = L 6= 0 ∈ R allora

lim

x →c

f (x )

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Nota.

Le seguenti forme sono di indecisione

I +∞ − ∞ =?; I ∞_∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; I 0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; I 0 0 =? Nota.

Se L = 0, la formulazione ∞/0 = ∞ · ∞ = ∞ e quindi non `e

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Nota.

Le seguenti forme sono di indecisione

I +∞ − ∞ =?; I ∞_∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; I 0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; I 0 0 =? Nota.

Se L = 0, la formulazione ∞/0 = ∞ · ∞ = ∞ e quindi non `e

Limite di funzione: algebra dei limiti,esempi.

Esempio

Sapendo che limx →−1x = −1, abbiamo

I limx →−1x2 = (limx →−1x ) · (limx →−1x ) = (−1) · (−1) = 1;

I limx →−15x = 5 · (limx →−1x ) = 5 · (−1) = −5;

I limx →−11/x = (limx →−11)/(limx →−1x ) = 1/(−1) = −1;

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Esempio

Mostrare che limx →+∞x2− 3x + 5 = +∞

Svolgimento.

Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non `e restrittivo supporre x > 0)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non `e restrittivo supporre x > 0)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Teorema

Mostrare che se an6= 0 e bm 6= 0 allora

L = lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + n1x + b0 = an bm lim x →±∞x n−m_. Dimostrazione.

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

L’asserto dice che

I se n > m allora L = (±)n−m_{· segno(a}

n/bm))∞;

I se n = m allora L = an/bm;

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Teorema

I Se f `e limitata e g → ±∞ allora f + g → ±∞;

I Se f `e limitata di segno costante e g → ±∞ allora

f · g → segno(f ) · (±∞);

Esempio

I limx →+∞x3+ cos(3x ) = (+∞) + limitata = +∞;

I limx →+∞−x2+ sin2(x ) = (−∞) + limitata = −∞;

I limx →0x · sin(1/x ) = 0 · limitata = 0;

I limx →0xα· sin(1/x) = 0 · limitata = 0 per ogni α > 0;

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Notiamo che non `e chiaro come limite di una somma, poich`e

x2→ +∞ mentre x · sin(x) non ha limite. Tuttavia

lim

x →+∞x

2_{+ x sin(x ) = lim}

Cambio di variabile.

Teorema

Siano f , g due funzioni tali che `e definita f ◦ g e supponiamo che

Cambio di variabile.

Nota.

Questo importante teorema ci permette di effettuare la sostituzione t = g (x ) ed invece di calcolare il limite

Cambio di variabile: esempio 1.

Notiamo che relativamente al teorema di sostituzione, g (x ) = (x − 1), f (x ) = x2, x0= 1 e che da

limx →x0g (x ) = limx →1(x − 1) = 0, abbiamo t0 = 0. Quindi si tratta di calcolare esclusivamente

lim

t→t0

f (x ) = lim

Cambio di variabile: esempio 2.

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi

lim

x →+∞a

1/x _{= lim}

t→0+a

Cambio di variabile: esempio 3.

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi

lim

Limite di funzione: limiti notevoli.

Vale il seguente limite notevole lim x →±∞  1 +1 x x = e (2) Corollario

Vale il seguente limite notevole lim x →±∞  1 +α x x = eα Dimostrazione.

Ragioniamo per sostituzione, e poniamo t = x_α, cio`e x = αt. Dal

limite notevole (2) e dal fatto che se limx →cf (x ) = L1,

limx →cg (x ) = L2, con L1, L2 ∈ R allora limx →c(f (x ))g (x )= L1L2

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole lim

x →0

log (1 + x )

x = 1

Dimostrazione facoltativa.

Limite di funzione: limiti notevoli.

Nota.

Nella precedente dimostrazione, abbiamo prima osservato che

I limx →0(1 +_y1)y = e,

I limx →elog(x ) = 1,

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole lim

x →0

ex_{− 1}

x = 1 (3)

Svolgimento.

Posto y = ex− 1 (e quindi x = log(y + 1)), se x → 0, allora

Limite di funzione: esercizi svolti, 1.

lim x →0 3x− 1 x = x →0lim ex log (3)− 1 x · log (3) log (3) = lim y →0 ey_{− 1}

Limite di funzione: limiti notevoli.

Limite di funzione: limiti notevoli.

I Se α = 0, il risultato `e di facile verifica.

I Se α 6= 0, osserviamo che

(1 + x )α− 1

x =

eα log (1+x )− 1 x

Limite di funzione: limiti notevoli.

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Per x ∈ (0, π/2) si ha

sin x ≤ x ≤ tan (x ).

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Le aree del disco unitario della precedente figura, sono

I area OCH =1₂sin(x ),

I area settore circolare OCH=1₂x ,

I area OBH=1₂tan(x ).

Essendo per x ∈ (0, π/2), l’area del triangolo rettangolo OCH minore dell’ area del settore circolare OCH che a sua volta `e minore del l’area del triangolo rettangolo OBH, abbiamo

(1/2) sin(x ) ≤ (1/2)x ≤ (1/2) tan(x ) ⇒ sin x ≤ x ≤ tan (x ).

Teorema

Vale il limite notevole lim

x →0

sin (x )

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Osservando che sin (x )_x `e pari, basta mostrare che limx →0+ sin (x )_x = 1. Ma dal lemma, per x ∈ (0, π/2),

sin x ≤ x ≤ tan (x ) = sin (x ) cos (x ). e dividendo i membri per sin x abbiamo

1 ≤ x

sin (x ) ≤ cos (x) da cui passando ai reciproci

1 cos (x ) ≤

sin (x )

x ≤ 1,

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Vale il limite notevole lim x →0 1 − cos (x ) x2 = 1/2. Dimostrazione. Osserviamo che 1 − cos (x ) x2 = 1 − cos (x ) x2 1 + cos (x ) 1 + cos (x ) = 1 − cos 2_{(x )} x2_{(1 + cos (x ))} = sin2(x ) x2 1 1 + cos (x ) (4)

Da limx →0 sin (x )_x = 1 si ha limx →0sin

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

Vale il limite notevole lim x →0 tan (x ) x = 1. Dimostrazione facoltativa. Da lim x →0 tan (x ) x = limx →0 sin (x ) x · cos (x ) = limx →0 sin (x ) x x →0lim 1 cos(x ) e dal limite notevole limx →0 sin (x )_x = 1, essendo limx →0_{cos(x )}1 , si

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Vale il limite notevole lim

x →0

arcsin (x )

x = 1.

Dimostrazione.

Posto y = arcsin(x ), abbiamo x = sin(y ) e che se x → 0 allora y → 0. Quindi lim x →0 arcsin (x ) x = limy →0 y sin (y ) = limy →0  sin(y ) y −1 = 1 Nota.

I limiti notevoli finora visti dicono chesin (x ) ∼ x,tan (x ) ∼ x,

Limite di funzione: potenze.

Mancano da studiare i limite di funzioni del tipo f (x )g (x ). Al variare dei limiti di f , g , si possono incontrare per il calcolo di

lim

x →x0

f (x )g (x )

indeterminazioni del tipo

00, 1±∞, ±∞0. Da lim x →x0 f (x )g (x ) = lim x →x0 elog(f (x )g (x )) = lim x →x0 eg (x ) log(f (x ))

Limite di funzione: potenze, esempio 1.

Per quanto visto

lim

x →+∞e x log(x )_.

Visto che x log(x ) → +∞ deduciamo che lim

x →+∞x

Limite di funzione: ordini di convergenza.

Una funzione f si diceinfinitesima in x0 se e solo se

lim

x →x0

f (x ) = 0.

Definizione

Siano f , g due funzioni infinitesime in x0.

I se limx →x0

f (x )

g (x ) = 0 allora f `e di ordine superiore rispetto a g

(e si scrive f (x ) = o(g (x )) per x → x0);

I se limx →x0

f (x )

g (x ) = ±∞ allora g `e di ordine superiore rispetto a

f (e si scrive g (x ) = o(f (x )) per x → x0);

I se limx →x0

f (x )

g (x ) = L ∈ R allora f , g hanno lo stesso ordine; se

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 1.

e dal limite notevole

lim

x →0

sin (x )

x = 1

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 2.

Mostrare che 1 − cos(x ) = o(x ) per x → 0, cio`e

limx →0 1−cos(x )_x = 0. Svolgimento. Sappiamo che lim x →01 − cos (x ) = 0, lim x →0x = 0.

Dal limite notevole limx →01−cos(x )_x2 = 1/2 abbiamo

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.

Esempio

Mostrare che tan(x ) ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Per definizione, basta mostrare che lim

x →0

tan(x )

x = 1

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.

Mostrare che arctan(x ) ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Per definizione, basta mostrare che lim

x →0

arctan(x )

x = 1.

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

L’asserto limx →0sin (x ) = 0 significa che per ogni  > 0 esiste

δ() > 0 tale che | sin (x ) − 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0.

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

Ricordiamo ora che arcsin `e dispari e quindi si ha

arcsin (−x ) = − arcsin (x ) per x ∈ [−π/2, π/2]. Quindi affinch`e − < sin (x) < , almeno in un intorno di 0 contenuto in

[−π/2, π/2], basta − arcsin () = arcsin (−) < x < arcsin () cio`e |x| < arcsin ().

Limite di funzione

Figura : Il limite di sin (x ) per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni Vc

(rosso), Uc (magenta), per c = 0, per  = 0.2. Dalla teoria si evince che

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 2

Mostrare che non valelimx →0x2 = 1.

Svolgimento.

Per assurdo supponiamo sia limx →0x2= 1, cio`e che per ogni  > 0

esiste δ() > 0 tale che |x2− 1| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Supponiamo inoltre sia  < 1. Ma |x2_{− 1| <  implica − < x}2_{− 1 <  cio`e 1 −  < x}2_{< 1 +  e}

quindi dalla monotonia della radice quadrata che o p

(1 − ) < x <p(1 + ) o

−p(1 + ) < x < −p(1 − )

che non `e un intorno di 0 in quanto non contiene nemmeno 0

Limite di funzione: esercizio 3

Come detto mostrare che per ogni  > 0 esiste K tale che se x < K allora |f (x ) − L| < . Nel nostro caso diventa per ogni  > 0 esiste

K tale che se x < K allora |21/x_{− 1| < . La tesi sta per}

− < 21/x− 1 <  ⇔ 1 −  < 21/x < 1 + 

Limite di funzione: esercizio 3

I Se  ≥ 1, allora

1 −  < 21/x < 1 +  `

e ovviamente verificata per x < 0 in quanto 1 −  < 0 < 21/x < 1 < 1 + .

Limite di funzione: esercizio 3

I Se  < 1 vogliamo

− < 21/x− 1 <  ⇔ 1 −  < 21/x < 1 + .

Se x < 0 allora certamente 21/x _{< 1 < 1 + . Basta mostrare}

che per un certo K < 0 si ha che se x < K allora

1 −  < 21/x. Dalla monotonia crescente di log₂(x ), osservato che log₂(1 − ) < 0, x < 0 basta

log₂(1 − ) < log₂2x1 = 1

x ⇔ x < 1 log₂(1 − )

e quindi posto K = _log 1

Limiti destro e sinistro e limiti: esercizio 1.

indendiamo che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1_x < K per ogni x ∈ (−δ(K ), 0).

In effetti, affinch`e 1<sub>x</sub> < K basta <sub>K</sub>1 < x (attenzione, K < 0) che `e verificata per x ∈ (−δ(K ), 0) con δ(K ) =_K1

Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo)

Traccia.

Dopo un po’ di conti essendo x + 3

x + 4 = 1 −

1 x + 4

si ricava, raccogliendo opportunamente e moltiplicando sopra e sotto per (−1/(x + 4)),  x + 3 x + 4 x 2+7_{2x +1} = e x 2(1+7/x 2) x (2+1/x ) log(1−1/(x +4)) −1/(x+4) (−1/(x +4))

e per algebra di limiti e limiti notevoli si ha che il limite dell’esponente vale −1/2 e quindi il limite vale

Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo).

per x ∈ [104_{, 10}6_{] (in verde) e la funzione}

Limite di funzione: esercizio 2. Medio (facoltativo).

L’unico caso complicato `e quello per α > 0. Distinguere i casi α2− 1 6= 0 (quindi α = 1) da quelli in cui α2_{− 1 = 0. Si ottiene}

che per

I se α ≤ 0 allora L = −∞;

I se α ∈ (0, 1) allora L = −∞;

I se α > 1 allora L = +∞;

Limite di funzione: esercizio 3. Facile (facoltativo).

Usare il limite notevole lim

x →0

(1 + x )α− 1

Limite di funzione: esercizio 4. Facile (facoltativo).

Moltiplicare e dividere per x e quindi ricordare il limite notevole lim

x →0

(1 + x )α− 1

Limite di funzione: esercizio 5. Facile (facoltativo).

Limite di funzione: esercizio 6. Facile (facoltativo).

Dall’esercizio precedente sappiamo che limx →+∞

√

1 + x2_{− x = 0}+ _{quindi log(}√_{1 + x}2_{− x) → −∞ e da}

x3/2→ +∞ ricaviamo che l’esponente

Limite di funzione: esercizio 7. Facile (facoltativo).

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Mostrare che, razionalizzando oppurtanamente,

lim x →+∞ √ x − r x2_{+ 1} x = 0. Esercizio

Mostrare che, razionalizzando oppurtunamente, lim

x →−∞

3 p

x2_{+ 1 −}√_2x2 _{= −∞.}

Suggerimento: nella razionalizzazione moltiplicare sopra e sotto per 3

q

(x2_{+ 1)}2₊q3

(x2_{+ 1)(2x}2_{) +}q3 (2x2₎2_.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Utilizzando opportune sostituzioni, calcolare

I limx →0sin(3x )_x

I lim_{x →π}+ √sin(x )

x −π

I limx →+∞x π₂ − arctan(x)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Suggerimento: a3− b3 _{= (a − b)(a}2_{+ ab + b}2_{) e usare limite}

notevole. Esercizio Mostrare che lim x →3 2x − 6 sin (πx ) = −2/π.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Suggerimento: t = tan (x ) e usare un limite notevole.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Calcolare attraverso le sostituzioni t = 1/x , y = arccos(t) e u = (π/2) − y

lim