10novembre2014 PaolaMannuccieAlviseSommariva Continuit`a

(1)

Continuit`

a

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

(2)

Continuit`

a.

Definizione

Sia I un intervallo aperto, c ∈ I e f : I → R. La funzione f `e

continua in c se esiste

lim

x →cf (x )

e vale f (c).

Definizione

Sia I un intervallo aperto, f : I → R. La funzione f `econtinua in I se e solo se `e continua in ogni c ∈ I .

Definizione

Sia I = [a, b] un intervallo chiuso, f : I → R. La funzione f `e

continua in I se e solo se `e continua in ogni c ∈ I interno,

(3)

Continuit`

a.

Definizione

Si parla di continuit`a in c se e solo se `e definita in c.

Esempio

La funzione f (x ) = 1_x è definita in R\{0} e quindi non si può parlare di continuità in 0.

Esempio

(4)

Continuit`

a: esempio

Esempio Si consideri la funzione segno(x) =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 Si verifica facilmente che

I Da limx →3f (x ) = 1 = f (3), la funzione `e continua in 3.

I Da lim_{x →0}−f (x ) = 1 6= f (0) = 0, la funzione non `e continua

(5)

Continuit`

a: esempio

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

(6)

Continuit`

a: salti.

Definizione Sia f definita in x∗= c. Se I limx →c−f (x ) = L₋, I lim_{x →c}+f (x ) = L₊, I L−6= L+,

allora si dice che f ha unadiscontinuit`a di salto in x = c, e salto uguale a

L+− L−= lim

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Continuit`

a: salti.

Esempio

La funzione segno ha in x = 0 una discontinuit`a di salto, con salto di valore 2. Esempio La funzione f (x ) = 1, x > 0 0, x ≤ 0

ha in x = 0 una discontinuit`a di salto in quanto L+= 1, L−= 0,

con salto di valore 1.

Osserviamo che f non `e continuta in x = 0 ma `e continua da sinistra in quanto

lim

(8)

Continuit`

a: discontinuit`

a .

Nota.

Siano f : X ⊆ R → R, e X sia un intervallo. La discontinuit`e pu`o essere di tre tipi

I f ha unadiscontinuit`a eliminabile in x0 se esiste finito

limx →x0f (x ) ma

lim

x →x0

f (x ) 6= f (x0).

I f ha unadiscontinuit`a di salto (o prima specie) in x0 se

esistono finiti lim_{x →x}+

0 f (x ), limx →x −

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Continuit`

a: discontinuit`

a (eliminabile).

I La funzione f (x ) = 1 x 6= 0, f (0) = 10 ha una discontinuit`a eliminabile in x0 = 0, essendo

lim

x →0f (x ) = 1 6= f (0).

La si pu`o rendere continua ponendo f (0) = 1.

I La funzione f (x ) = |x | x 6= 0, f (0) = 3 ha una discontinuit`a eliminabile in x0 = 0, essendo

lim

x →0f (x ) = 0 6= f (0).

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Continuit`

a: discontinuit`

a (seconda specie).

I La funzione f (x ) = 1/x per x < 0 e f (x ) = 1 per x ≥ 0 ha una discontinuit`a di seconda specie, in quanto

lim_{x →0}−f (x ) = +∞,lim_{x →0}+f (x ) = 1. Essendo il limite sinistro di f infinito non pu`o essere di prima specie (salto), e neppure eliminabile, perche’ in 0 i limiti sinistro e destro non coincidono e quindi non esiste il limite in x0= 0.

I La funzione f (x ) = sin(1/x ) x 6= 0, f (0) = 0 ha in x0= 0 una

(11)

Continuit`

a: esempio

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−3 −1 −0.5 0 0.5 1

(12)

Continuit`

a: discontinuit`

a

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8

(13)

Continuit`

a: esempi.

Teorema

Supponiamo f sia continua in x∗= c. Allora, per qualsiasi k ∈ R, la funzione k · f `e continua in x∗= c

Teorema

Supponiamo f e g siano continue in x∗ = c. Allora sono continue

in x∗ = c pure

I f + g , f − g ,

I f · g ,

I _gf (se g (c) 6= 0).

Traccia.

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Continuit`

a: esempi.

Teorema

Le funzioni elementari:

I polinomi,

I potenze (ad esempio xα con α > 0),

I esponenziali (ad esempio ax con a > 0),

I logaritmi,

I funzioni trigonometriche (ad esempio sin(x ), cos(x )),

(15)

Continuit`

a: esempi.

Lemma Le scritture lim x →cf (x ) = L e lim k→0f (c + k) = L sono equivalenti. Dimostrazione. Applicare la sostituzione x = c + k. Lemma

Vale la seguente formula di addizione

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Continuit`

a: esempi.

Teorema

La funzione sin (x ) `e continua per ogni x ∈ R.

Dimostrazione.

Osserviamo che limx →0cos (x ) = 1. Infatti, essendo cos(x ), sin(x )

cateti di un triangolo rettangolo avente ipotenusa lunga 1 sin(x ) + cos (x ) ≥ 1, x ∈ [0, π/2] | sin(x)| + cos (x) ≥ 1, x ∈ [−π/2, 0] e quindi per x ∈ [−π/2, +π/2] abbiamo

1 − | sin (x )| ≤ cos (x ) ≤ 1

da cui per il teorema del confronto, limx →0cos (x ) = 1 in quanto

(17)

Continuit`

a: esempi.

Dimostriamo che sin (x ) `e continua in un punto arbitrario. Basta mostrare, in virt`u del primo Lemma che

lim

k→0sin (c + k) = sin (c).

In effetti, dal secondo Lemma si ha lim

k→0sin (c + k) = k→0limsin (c) · cos (k) + cos (c) · sin (k)

= sin (c) lim

k→0cos (k) + cos (c) · limk→0sin (k)

(18)

Continuit`

a: monotonia.

Teorema

Sia I un intervallo aperto, x0∈ I , e sia f : I → Rmonotona

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Continuit`

a: monotonia.

Teorema

Sia I un intervallo aperto, x0∈ I , e sia f : I → Rmonotona

decrescente. Allora lim x −x₀− f (x ) = inf {x∈I :x<x0} f (x ) ≥ f (x0) e lim x −x₀+ f (x ) = sup {x∈I :x>x0} f (x ) ≤ f (x0) Nota.

Dai teoremi precedenti si pu`o dimostrare che

I le funzioni monotonehanno al pi`u un insieme numerabile di punti di discontinuit`a.

(20)

Continuit`

a: permanenza del segno.

Teorema

Sia I un intervallo aperto di x0 e sia

I f continua in x0 e definita in I ;

I f (x0) > 0.

Allora esiste un intorno U di x0 tale che f (x ) > 0 per ogni x ∈ U.

Teorema

Sia I un intervallo aperto di x0 e sia

I f continua in x0 e definita in I ;

I f (x0) < 0.

(21)

Continuit`

a: funzione composta.

Teorema

Siano X , Y due intervalli di R.

I _{f : X ⊂ R → R continua in x}₀ ∈ I con Im(f ) ⊆ Y ;

(22)

Continuit`

a: teorema degli zeri.

Molto importanti sono i due seguenti teoremi, detti rispettivamentedegli zerie di Weierstrass.

Teorema

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Siano

I f (a) · f (b) < 0

Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che f (ξ) = 0.

Teorema

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Allora

I esiste M = max_[a,b]f (x );

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Continuit`

a: teorema degli zeri (applicazione).

Esercizio

Mostrare che il grafico della funzione g (x ) = x2 interseca quello della funzione h(x ) = x3 in almeno un punto di [−2, 2].

Svolgimento.

Il grafico della funzione g (x ) = x2 interseca quello della funzione h(x ) = x3 in almeno un punto di [−2, 2], se e solo se esiste un punto per cui g (x ) = h(x ) ovvero per cui g (x ) − h(x ) = 0. La funzione continua F (x ) = g (x ) − h(x ) (sottrazione di funzioni continue!) `e tale che

F (−2) = g (−2) − h(−2) = 4 − (−8) = 12, F (2) = g (2) − h(2) = 4 − 8 = −4,

e quindi per il teorema degli zeri, ha almeno un zero in [−2, 2]. In effetti x2− x3 _{= x}

(24)

(25)

Continuit`

a: teorema dei valori intermedi.

Teorema

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Siano

I inf[a,b](f ) = inf(f (x ), x ∈ [a, b]);

I sup_[a,b](f ) = sup(f (x ), x ∈ [a, b]);

Allora per ogni y ∈ (inf_[a,b](f ), sup_[a,b](f )), esiste c ∈ [a, b] tale che f (c) = y .

Nota.

I se f `e inferiormente limitata allora inf_[a,b](f ) ∈ R;

I se f non `e inferiormente limitata allora inf[a,b](f ) = −∞;

I se f `e superiormente limitata allora inf[a,b](f ) ∈ R;

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Continuit`

a: teorema dei valori intermedi, esempio.

Esempio

Mostrare che la funzione f (x ) = x + ex assume in (0, 1) tutti i valori tra (1, 2) (non inclusi gli estremi!!).

Esempio

La funzione x + ex essendo somma di due monotone crescenti

continue `e monotona crescente e continua. Quindi

I inf_[a,b](f ) = inf(f (x ), x ∈ [a, b]) = f (0) = 1;

(27)

Continuit`

a: alcuni teoremi.

Valgono i seguenti teoremi. Il primo `e detto di connessione, il secondo dellafunzione inversa.

Teorema

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Allora

f ([a, b]) := {y ∈ R : y = f (x), per qualche x ∈ [a, b]} `e un intervallo.

Teorema

Siano f : X → R, f continua in X e invertibile. Se

I X `e un intervallo oppure,

I X `e un insieme chiuso e limitato, allora f−1 : f (X ) → X `e continua.

Nota.

(28)

Continuit`

a: esempio

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 0 1 2 3 4 5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 0 2 4 6 8 10

(29)

Continuit`

a: esempio 1.

Esempio

La funzione

f (x ) = 1 x ha per dominio l’insieme

dom(f ) = R\{0}.

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continua, in quanto

I 1 `e continua,

(30)

Continuit`

a: esempio 2.

Esempio La funzione f (x ) = x 5_{+ 3x}2_{+ x − 1} x4_{− 1}

ha per dominio l’insieme

dom(f ) = R\{±1}

in quanto x4− 1 = 0 esclusivamente per x = ±1.

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continua, in quanto

I x5+ 3x2+ x − 1 `e continua,

I x4− 1 `e continua (ma non nulla!).

(31)

Continuit`

a: esempio 3.

Esempio

Siano Pn, Qm rispettivamente due polinomi di grado n e m. Sia

Zero(Qm) = {x ∈ R : Qm(x ) = 0}.

Ricordiamo che i polinomi sono funzioni continue. La funzione f (x ) = Pn(x )

Qm(x )

ha per dominio l’insiemedom(f ) = R\Zero(Qm) in quanto

Qm(x ) = 0 esclusivamente per x ∈ Zero(Qm).

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continue, in quanto

I Pn`e continua,

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Continuit`

a: esempio 4.

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x ) = log(cos4(x ) + sin4(x )) Osserviamo che siccome non esiste x∗ per cui cos(x∗) = sin(x∗) = 0, necessariamente

cos4(x ) + sin4(x ) > 0

per ogni x ∈ R e quindidom(f ) = R.

La funzione f (x ) `e la composta delle funzioni

I g (x ) = cos4(x ) + sin4(x ) continua con Im(g ) ⊆ R+\{0}.

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Continuit`

a: esempio 5.

Esempio Consideriamo la funzione f (x ) = 2 − x2, se x ≤ 1 x , se x > 1. Osserviamo che

I per x < 1 la funzione `e continua in quanto localmente coincide col polinomio 2 − x2;

I per x > 1 la funzione `e continua in quanto localmente coincide col polinomio x ;

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Continuit`

a: esercizi.

Esercizio

Stabilire se sono continue le seguenti funzioni

I f (x ) =     

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