5novembre2015 PaolaMannuccieAlviseSommariva Derivate.

(1)

Derivate.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

(2)

Approssimazione

Problema.

Data una funzione f definita in un intorno di x0, ci poniamo il

problema di approssimarla localmente, cio`e in un intorno sufficentemente piccolo di x0, con una retta di equazione

y = ax + b, passante per (x0, f (x0)) e quindi tale che

f (x0) = ax0+ b.

Notazione.

Dicendo che una funzione f `e uguale a o(x − c)intenderemo che

lim x →c

(3)

Nota sugli o

Nota.

Osserviamo che se limx →x0f (x ) = 0, limx →x0g (x ) = 0 allora

avevamo gi`a visto che f = o(g ) se lim

x →x0

f

g = 0.

Con questa vecchia notazione, g (x ) = x − c e x0 = c, scrivevamo

f `e uguale ao(x − c)qualora

lim x →c

f (x ) x − c = 0.

(4)

Approssimazione

Esempio

La funzione sin(x ) − x `e o(x ) (cio`e o(x − 0)).

Svolgimento.

Da limx →0 sin(x )_x = 1 abbiamo che

lim x →0 sin(x ) − x x = limx →0 sin(x ) x − limx →0 x x = 1 − 1 = 0

e quindi sin(x ) − x `e o(x ).

(5)

Approssimazione

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1 0 1 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x 10−3 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 −8

(6)

Retta tangente al grafico di f in (x

0

, f (x

0

))

Definizione

Sia I un intervallo (anche illimitato), e x0 sia interno ad I (cio`e non

sia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x0, f (x0))

y = f (x0) + m(x − x0)

`etangente al grafico di f in (x0, f (x0)) se

f (x ) − [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0).

Usando l’abuso di notazione precedente, che torner`a utile, ci`o si scrive pure

(7)

Approssimazione

Nota.

Potrebbe dar fastidio l’abuso di notazione. Vediamone la ragione. Quando scriviamo

f (x ) − g (x ) = o(x − c)

intendiamo che h(x ) = f (x ) − g (x ) (cio`e f (x ) = g (x ) + h(x )) `e una funzione tale che limx →ch(x )/(x − c) = 0. Quindi, portando

a secondo membro g (x ) con

f (x ) = g (x ) + o(x − c) intendiamo dire

(8)

Retta tangente al grafico di f in (x

0

, f (x

0

))

Nota.

Ricordando la definizione di o(x − x0)

(9)

Derivata

Definizione

La quantit`a

f (x ) − f (x0) x − x0

si chiamarapporto incrementale di f in x relativamente a x0.

Definizione

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, con x0 interno ad I .

Diremo che f `e derivabile in x0 se esiste finito il limite L = lim

x →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

.

(10)

Derivabilit`

a : definizione alternativa

Nota.

Osserviamo che posto x = x0+ h, abbiamo

f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0 f (x0+ h) − f (x0) h .

Per questo motivo spesso si definisce

f0(x0) = lim h→0

f (x0+ h) − f (x0)

(11)

Derivata, esempio 1

Esempio

Mostrare che la derivata prima di sin(x ) in 0 vale 1.

Svolgimento.

Per quanto detto basta sia, per f (x ) = sin(x ) f0(0) = lim h→0 f (0 + h) − f (0) 0 + h − 0 = limh→0 sin(h) − sin(0) h = limh→0 sin(h) h = 1

cosa nota per il limite notevole lim

x →0

sin(x )

(12)

Derivata, esempio non derivabile, 1

Esempio

La funzione√3_{x non `}_{e derivabile in x}

0= 0.

Traccia.

Scrivendo il rapporto incrementale f (0 + h) − f (0) h = 3 √ h h = h −2/3_{→ ±∞}

(13)

Derivata, esempio

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

(14)

Derivata, esempio non derivabile, 2

Un caso in cui la funzione non risulta derivabile, si ha quando

L+= lim h→0+ f (x0+ h) − f (x0) h 6= limh→0− f (x0+ h) − f (x0) h = L−

in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x_h 0).

Definizione

Se L−, L+ sono distinti e finiti, il punto x0 si diceangoloso per f .

Esempio

La funzione |x | ha un punto angoloso in x0= 0.

Traccia.

Si vede subito che 1 = lim h→0+ |h| − 0 h 6= limh→0− |h| − 0 h = limh→0− −h − 0 h = −1.

(15)

Derivata, esempio

−0.10 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

(16)

Derivata, cuspide

Un altro caso in cui la funzione non risulta derivabile, si ha quando

L+= lim h→0+ f (x0+ h) − f (x0) h 6= limh→0− f (x0+ h) − f (x0) h = L−

in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x_h 0).

Definizione

Se uno tra L+ e L− vale +∞ e l’altro −∞, il punto x0 si dice

cuspideper f .

Esempio

(17)

Derivata, derivate sinistre e destre

Definizione

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, derivabile per ogni x∗ interno ad I . Diremo che f `ederivabile in I e con f0 o a volte _dxdf intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata.

Definizione

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0< b. Diremo che f `e

derivabile a destrain x0 se esiste finitoil limite destro

lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 := f+ 0 (x0) Definizione

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0< b. Diremo che f `e

derivabile a sinistrain x0 se esistefinito il limite sinistro

lim x →x₀−

f (x ) − f (x0) x − x0

(18)

Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre e

destre

Teorema

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. La funzione f `e

derivabile in x0 se e solo se

I esistono finite f−0(x0), f+0(x0),

(19)

Derivabilit`

a e continuit`

a

Teorema

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. Sia la funzione f

derivabile in x0. Allora la funzione `e continua in x0.

Dimostrazione. Dalla definizione, f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 ⇔ lim x →x0 f (x ) − f (x0) − f0(x0)(x − x0) x − x0 = 0 ⇔ f (x) − f (x0) − f0(x0)(x − x0) = o(x − x0) ⇔ f (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0)

ed essendo f0(x0)(x − x0) → 0, o(x − x0) → 0 ricaviamo

lim

x →x0

f (x ) = f (x0)

(20)

Derivabilit`

a e continuit`

a

Nota.

Il teorema precedente di che la derivabilità di una funzione si studia solo nei punti in cui f non è continua perchè dove è discontinua sicuramente non è derivabile.

Nota.

(21)

Derivabilite delle funzioni elementari: monomi

Teorema

La derivata dif (x ) = xα`e, internamente al dominio di f ,

(22)

(23)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: monomi

Dal limite notevole

(24)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: sin

Teorema

La derivata dif (x ) = sin(x )`e f0(x ) = cos(x ).

Dimostrazione.

Osserviamo che da sin(x0+ h) = sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)

lim h→0 sin(x0+ h) − sin(x0) h = lim h→0

sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0) − sin(x0)

h

= lim

h→0

sin(x0)(cos(h) − 1) + cos(x0) sin(h)

(25)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: cos, e

x

Come esercizio mostrare che

Teorema

La derivata dif (x ) = cos(x )`e f0(x ) = − sin(x ).

Teorema

La derivata dif (x ) = ex `e f0(x ) = ex.

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0e

(26)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: a

x

Teorema

Per a 6= 1, a derivata dif (x ) = ax `e f0(x ) = axlog(a).

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0a

(27)

Algebra delle derivate

Teorema

Siano f , g : I ⊆ R → R derivabili in x0 interno ad I . Allora

(28)

Algebra delle derivate: tan(x ), cot(x )

Teorema

Sef (x ) = tan(x ) allora, per x 6= (π/2) + kπ, k ∈ Z,

f 0(x ) = 1 + tan2(x ).

Dimostrazione.

Dall’algebra delle derivate sopra esposta e cos2(x ) + sin2(x ) = 1

d dx tan(x ) = d dx sin(x ) cos(x ) = cos2_{(x ) + sin}2_{(x )} cos2_{(x )} = 1 cos2_{(x )} = 1 + tan 2_{(x )} Teorema

Sef (x ) = cot(x ) := (cos(x )/ sin(x )) allora, per x 6= kπ, k ∈ Z,

(29)

Derivazione di funzioni composte

Teorema

Sia I un intervallo e supponiamo che

I _{f : I ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di I ,} I _{g : J ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di J,} I f (I ) ⊆ J.

Allora g ◦ f `e derivabile e vale la chain rule

(30)

Derivazione di funzioni composte

Esempio

Calcolare la derivata di

h(x ) = esin(x ).

Esempio

La funzione h(x ) = esin(x ) `e la composta di g (x ) = ex e f (x ) = sin(x ). Quindi dalla chain-rule, visto che g0(x ) = ex e f0(x ) = cos(x ), ricaviamo

(31)

Derivazione della funzione inversa

Teorema

Sia I un intervallo e supponiamo che

(32)

Derivazione della funzione inversa

Traccia.

Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che, derivando ambo i membri di f−1(f (x )) = x

f−1(f (x )) = x

⇒ (f−1)0(f (x )))f0(x ) = d dxf

−1_{(f (x )) =} d

dxx = 1 da cui posto y = f (x ), abbiamo x = f−1(y ) e quindi

(33)

Derivazione della funzione inversa: arcsin

Teorema

Sef (x ) = arcsin(x ) alloraf 0(x ) = √ 1

1−x2.

Traccia.

Posto f (x ) = sin(x ), abbiamo per il precedente teorema, visto che

d

dxsin(x ) = cos(x ), che

d

dx arcsin(y ) =

1

cos(arcsin(y )).

Osserviamo poi che essendo arcsin(y ) ∈ [−π/2, π/2], sicuramente cos(arcsin(y )) ≥ 0 in quanto cos(τ ) ≥ 0 per τ ∈ [−π/2, π/2] e quindi da sin2(x ) + cos2(x ) = 1 abbiamo

cos(arcsin(y )) = q

(34)

Derivazione della funzione inversa: arcsin

Inoltre, poich`e sin2(τ ) := (sin(τ ))2 _{e sin(arcsin(y )) = y ,}

necessariamente

sin2(arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2= y2. Assemblando i risultati

cos(arcsin(y )) = q

1 − sin2(arcsin(y ));

e

sin2(arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2= y2.

(35)

Lista di derivate

Teorema

Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione):

f (x ) f0(x ) nota xα α · xα−1 α ∈ R ex ex ax (log a) · (ax) a > 0 sinh (x ) cosh (x ) cosh (x ) sinh (x ) log (|x |) 1/x

log_a(|x |) (1/x ) log_a(e) a ∈ R+\{0, 1}

(36)

Derivazione della funzione inversa: log

Teorema Mostrare che d dx loga(x ) = 1 x log a Dimostrazione.

Ricordato che log_aax = x , che _dxdax = (log(a)) · ax, dal teorema della funzione inversa e aloga(x )= x ,

(37)

Massimi e minimi relativi

Definizione

Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0∈ I `e un

minimo relativo (o locale)per f se esiste un intorno U di x0 tale

che

f (x ) ≥ f (x0), per ogni x ∈ U.

Definizione

massimo relativo (o locale)per f se esiste un intorno U di x0 tale

che

(38)

Massimi e minimi assoluti

Definizione

minimo assoluto (o globale)per f se

f (x ) ≥ f (x0), per ogni x ∈ I .

Definizione

massimo assoluto (o globale)per f se

f (x ) ≤ f (x0), per ogni x ∈ I .

Nota.

I Se x0 `e un minimo assoluto allora `e anche un minimo relativo.

I Se x0 `e un massimo assoluto allora `e anche un massimo

(39)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Teorema (Fermat)

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .

Allora se x0 `e un punto di minimo relativo o massimo relativo per f

sia ha che f0(x0) = 0.

Svolgimento.

Dalla derivabilit`a deduciamo che lim

x →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

:= f0(x0).

Se x0 `e un minimo relativo, esiste un intorno U ⊆ I tale che

f (x0) ≤ f (x ) per ogni x ∈ U, cio`e

(40)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

In particolare se x > x0 allora x − x0 > 0 e quindi

f (x ) − f (x0)

x − x0

≥ 0 per ogni x ∈ U, x > x₀ e quindi per il teorema di permanenza del segno

lim

x →x₀+

f (x ) − f (x0)

x − x0

≥ 0. Se invece x < x0 allora x − x0 < 0 e quindi

f (x ) − f (x0)

x − x0

≤ 0 per ogni x ∈ U, x < x₀ da cui per il teorema di permanenza del segno

lim

x →x₀−

f (x ) − f (x0)

x − x0

(41)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Siccome la derivata in x0 esiste, necessariamente

0 ≤ lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀− f (x ) − f (x0) x − x0 ≤ 0 e quindi lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀− f (x ) − f (x0) x − x0 = 0.

Con la stessa tecnica si dimostra l’asserto nel caso x0 sia un

(42)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Definizione

I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamano

estremidi f .

Nota.

Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non `e continua o non derivabile!

Definizione

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .

Diremo che x0 `e unpunto critico o stazionario per f se f0(x0) = 0.

Nota.

Non tutti i puntistazionarisonoestremi. La funzione f (x ) = x3 _ha

(43)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura : La funzione x3 _{in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).}

(44)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

Teorema

Sia I un intervallo e f : I → R e supponiamo che x0 sia un minimo

o un massimo relativo per f . Allora vale una delle seguenti:

I x0 `e unpunto critico per f ;

I x0 non è interno a I (è un estremo, anche ±∞ se l’intervallo è

illimitato);

(45)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

−3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

(46)

Teorema di Rolle.

Teorema (Weierstrass)

Sia f : [a, b] → R

I continua in [a, b];

I −∞ < a < b < +∞

Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b].

Teorema (Rolle (1691))

Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo

I f continua in [a, b];

I f derivabile in (a, b);

I f sia tale che f (a) = f (b).

(47)

Teorema di Rolle.

Dimostrazione.

I Se f `e costante in [a, b], il teorema `e ovvio.

I Se f non `e costante, certamente `e continua in quanto persino derivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo

−∞ < a < b < +∞, ha un massimo e minimo in [a, b] e quindi esistono x1, x2∈ [a, b] tali che

f (x1) ≤ f (x ) ≤ f (x2), per ogni x ∈ [a, b].

Siccome f (a) = f (b) e f non `e costante, necessariamente o x1∈ (a, b) o x2∈ (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, o

(48)

Teorema di Rolle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1 −0.5 0 0.5 1

(49)

Teorema di Lagrange.

Teorema (Lagrange (1797))

Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo

I f continua in [a, b];

I f derivabile in (a, b). Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f0(ξ) = f (b) − f (a)

b − a .

Nota.

Si osservi che se f (a) = f (b), dal teorema di Lagrange si deduce il teorema di Rolle, in quanto

f0(ξ) = f (b) − f (a)

(50)

Teorema di Lagrange.

Dimostrazione.

Sia

g (x ) = f (x ) − f (b) − f (a)

b − a (x − a).

La funzione g `e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e f (b)−f (a)_b−a (x − a), e valendo l’algebra delle funzioni continue e derivabili lo `e pure g .

Inoltreg (a) = f (a), g (b) = f (a) in quanto g (a) = f (a) −f (b) − f (a)

b − a (a − a) = f (a)

g (b) = f (b) −f (b) − f (a)

(51)

Teorema di Lagrange.

Quindi, per

g (x ) = f (x ) − f (b) − f (a)

b − a (x − a),

dal teorema di Rolle esiste ξ ∈ (a, b) tale che 0 = g0(ξ) = f0(x ) − f (b) − f (a) b − a d dx(x − a) = f 0_{(x ) −}f (b) − f (a) b − a cio`e per cui

f0(ξ) = f (b) − f (a)

(52)

Teorema di Lagrange.

0 1 2 3 4 5 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : La funzione sin(x ) + cos(x ) in [0, (5/3)π] (in nero), la sua derivata (in rosso) con sovrapposta la retta di equazione

(53)

Teorema di Cauchy.

Teorema (Cauchy)

Siano f , g : [a, b] → R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in (a, b) con g (a) 6= g (b) e g06= 0. Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f0(ξ) g0(ξ) =

f (b) − f (a) g (b) − g (a)

Nota.

(54)

Teorema di Cauchy.

Si verifica facilmente che

h(x ) = f (x )(g (b) − g (a)) − g (x )(f (b) − f (a)) `e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e g . Inoltre, da h(x ) = f (x )(g (b) − g (a)) − g (x )(f (b) − f (a)),

h(a) = f (a)(g (b) − g (a)) − g (a)(f (b) − f (a)) = f (a)g (b) − g (a)f (b),

(55)

Teorema di Cauchy.

Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ ∈ (a, b) tale che 0 = h0(ξ) = f0(ξ)(g (b) − g (a)) − g0(ξ)(f (b) − f (a))

cio`e per cui

f0(ξ)(g (b) − g (a)) = g0(ξ)(f (b) − f (a))

e dunque essendo g0(x ) 6= 0 per ogni x ∈ I e g (b) 6= g (a), necessariamente g0(ξ) 6= 0, g (b) − g (a) 6= 0 e

f0(ξ) g0(ξ) =

(56)

Derivate prime e monotonia.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo e

I _{f : I → R}

I f sia derivabile in I Allora

I f crescentein I se e solo se f0(x ) ≥ 0per ogni x ∈ I .

I f decrescente in I se e solo se f0(x ) ≤ 0per ogni x ∈ I .

I f strettamente crescentein I , se f0(x ) > 0per ogni x ∈ I .

I f strettamente decrescente in I , se f0(x ) < 0 per ogni x ∈ I .

Nota.

(57)

Derivate prime e monotonia.

Dimostrazione. (⇒)

Siano x1, x2 ∈ I , x1 < x2, arbitrariamente scelti. Per il teorema di

Lagrange esiste ξ ∈ (x1, x2) tale che

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1).

Se

I f0(x ) > 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo `e in ξ, ed essendo x1 < x2

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1) > 0

e vista l’arbitrariet`a della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamo

(58)

Derivate prime e monotonia.

I f0(x ) < 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo `e in ξ, ed essendo x1 < x2

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1) < 0

e vista l’arbitrariet`a della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamo

che f `e strettamente decrescente.

(59)

Derivate prime e monotonia.

Dimostrazione facoltativa. (⇐) Viceversa, se I se f `e crescente in I , allora f (x ) − f (x0) x − x0 ≥ 0, x, x₀ ∈ I in quanto I se x > x0 allora f (x ) > f (x0) e quindi x − x0> 0, f (x ) − f (x0) > 0; I se x < x0 allora f (x ) < f (x0) e quindi x − x0< 0, f (x ) − f (x0) < 0.

e quindi per il teorema di permanenza del segno f0(x0) = limx →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

(60)

Derivate prime e monotonia.

I se f `e decrescente in I , allora f (x ) − f (x0) x − x0 ≤ 0, x, x₀ ∈ I in quanto I se x > x0 allora f (x ) < f (x0) e quindi x − x0> 0, f (x ) − f (x0) < 0; I se x < x0 allora f (x ) > f (x0) e quindi x − x0< 0, f (x ) − f (x0) > 0.

e quindi per il teorema di permanenza del segno f0(x0) = limx →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

(61)

Derivate prime e monotonia.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo e

I _{f : I → R}

I f sia derivabile in I Allora

I f crescentein I , se f0(x ) ≥ 0per ogni x ∈ I (eccetto per un insieme numerabile di punti).

I f decrescente in I , sef0(x ) ≤ 0per ogni x ∈ I (eccetto per un insieme numerabile di punti).

I f strettamente crescentein I , se f0(x ) > 0per ogni x ∈ I (eccetto per un insieme numerabile di punti). .

(62)

Derivate prime e monotonia, esempio.

Esempio

La funzione f (x ) = x3 `e strettamente crescente in R.

Svolgimento.

Da f0(x ) = 3x2 ≥ 0 `_{e crescente in R.}

Osserviamo che per ogni x 6= 0 `e strettamente crescente, in quanto f0(x ) = 3x2 _{> 0 per x 6= 0. Quindi siccome f}0_{(x ) non `}_e

(63)

Derivate prime e monotonia, esempio.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo e f : I → R. Allora

I se f `e strettamente monotona allora f `e invertibile;

I se f è continua allora è invertibile se e soltanto se è strettamente monotona.

Esempio

La funzione f (x ) = x3− 1 : R → R `e continua, strettamente monotona (lo `e x3 _{e quindi anche x}3_{− 1). Quindi `}_{e invertibile. In}

(64)

Derivate prime e monotonia, esercizio.

Esempio

Data f (x ) = x + sin (x ),

I dimostrare che f `e invertibile;

(65)

Asintoti orizzontali.

Definizione

La retta y = y0 `e unasintoto orizzontale per f a +∞ se

limx →+∞f (x ) = y0.

Definizione

La retta y = y0 `e unasintoto orizzontale per f a −∞ se

(66)

Asintoti verticali.

Definizione

La retta x = x0 `e unasintoto verticale per f a sinistra di x0 se lim_{x →x}−

0 f (x ) = +∞ o limx →x −

0 f (x ) = −∞.

Definizione

La retta x = x0 `e unasintoto verticale per f a destra di x0 se lim_{x →x}+

0 f (x ) = +∞ o limx →x +

(67)

Asintoti obliqui.

Definizione

La retta y = mx + q (m 6= 0) `e inasintoto obliquo per f a +∞ se

lim x →+∞ f (x ) x = m e lim x →+∞f (x ) − mx = q. Definizione

La retta y = mx + q (m 6= 0) `e inasintoto obliquo per f a −∞ se

(68)

Asintoti.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10−5 −5 0 5 10x 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 1.5 2 2.5 3

Figura : Il grafico di tre curve e loro asintoti. In alto, 1/x (in blue) e y = 0 (in verde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 0 a +∞. In centro, (x + 1)/x (in blue) e y = 1 (in verde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 1 a +∞. In basso,√x2_{+ 1 (in blue) e y = x (in verde). La curva}

(69)

Asintoti, esempio.

Esempio

Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x ) =√x2_{+ 1.}

Svolgimento.

Si osservi che la funzione `e continua in [0, +∞) e quindi non ha asintoti verticali. Inoltre

lim

x →+∞

p

x2_{+ 1 = +∞}

e quindi `e possibile abbia un asintoto obliquo a +∞. Non ha asintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste un asintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito

m = lim

x →+∞

√ x2_{+ 1}

(70)

Asintoti, esempio.

Raccogliendo x , m = lim x →+∞ √ x2_{+ 1} x =x →+∞lim xp1 + (1/x2₎ x = 1. Ora, razionalizzando q = lim x →+∞ p x2_{+ 1 − x =} _lim x →+∞( p x2_{+ 1 − x )} √ x2_{+ 1 + x} √ x2_{+ 1 + x} = lim x →+∞ x2_{+ 1 − x}2 √ x2_{+ 1 + x} =x →+∞lim 1 √ x2_{+ 1 + x} = 0.

(71)

Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione

(72)

Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione

Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che

I f(k−1) esista,

I f(k−1) sia derivabile in I , per k ≥ 2.

(73)

Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

(74)

Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

(75)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Definizione

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `econvessase per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1 − t)x + ty ) ≤ (1 − t)f (x ) + tf (y ).

Definizione

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `econcava se per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

(76)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Definizione

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `estrettamente convessase per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1 − t)x + ty ) < (1 − t)f (x ) + tf (y ).

Definizione

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `estrettamente concavase per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

(77)

Funzioni convesse e funzioni concave.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 6 8 −3 −2 −1 0 1 2 3 −8 −6 −4 −2 0 2

(78)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso. Se f `e concava o convessa, allora f `e continua in I .

Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso.

I Se f `e convessa, allora

I f `e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ;

I la funzione f0, ove definita, `emonotona crescente.

I Se f `e concava, allora

I f `e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ;

(79)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Teorema

Sia f : I → R, con I aperto. Si supponga f0, f00 : I → R. Allora:

I f `e convessa se e solo se

f00(x ) ≥ 0, per ogni x ∈ I ;

I f `e strettamente convessa se e solo se

f00(x ) > 0, per ogni x ∈ I ;

I f `e concava se e solo se

f00(x ) ≤ 0, per ogni x ∈ I ;

I f `e strettamente concavase e solo se

(80)

Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

Definizione

Sia f : (a, b) → R. Un punto x0∈ (a, b) si dice di flessoper f se

I f0(x0) ∈ R∗

I per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x0, la funzione f

cambia concavit`a.

Definizione

(81)

Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5

Figura : La funzione x5 _{in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).}

(82)

Funzioni convesse e funzioni concave: nota.

Teorema

Se f : (a, b) → R è strettamente convessa e derivabile in (a, b) allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un minimo globale.

Teorema

(83)

Funzioni convesse e funzioni concave: esempio.

Esempio

La funzione f (x ) = ex è derivabile due volte ed è f(2)(x ) = ex > 0. Quindi è strettamente convessa in R.

Esempio

La funzione f (x ) = log(x ) `e derivabile due volte ed `e

f(2)(x ) = −(1/x2) < 0. Quindi `e strettamente concava nel suo insieme di definizione R+_\0.

Esempio

(84)

Teorema di de l’Hopital.

Teorema (de l’Hopital (1696))

Siano f , g : I ⊆ R → R, con I = (a, b) intervallo aperto. Si supponga che

I f , g siano entrambe derivabili in I ;

I valga una delle seguenti

1. limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = 0;

2. limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = −∞;

3. limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = +∞;

(85)

Teorema di de l’Hopital.

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo esclusivamente il caso limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = 0.

(86)

Teorema di de l’Hopital.

Osserviamo che ˆ f (x ) ˆ g (x ) = ˆ f (x ) − 0 ˆ g (x ) − 0 = ˆ f (x ) − ˆf (a) ˆ g (x ) − ˆg (x ).

Fissato x ∈ [a, b), si ha che ˆf (x ), ˆg (x ) sono continue in [a, x ] e derivabili in (a, x ).

(87)

Teorema di de l’Hopital.

Quindi lim x →a+ f (x ) g (x ) = x →alim+ ˆ f (x ) ˆ g (x ) = lim x →a+ ˆ f (x ) − ˆf (a) ˆ

g (x ) − ˆg (a) = limx →a+

ˆ f0(ξ(x )) ˆ

g0(ξ(x )). (1)

Osserviamo ora che se x → a+, pure ξ(x ) → a+ poich`e ξ(x ) ∈ (a, x ). Inoltre limt→a+

ˆ f0(t) ˆ g0_(t) = limt→a+ f 0_(t) g0_(t). Posto

t = ξ(x ), si ha quindi che t → a+ da cui

lim x →a+ f (x ) g (x ) = x →alim+ ˆ f0(ξ(x )) ˆ g0_{(ξ(x ))} = lim_t→a+ ˆ f0(t) ˆ g0_(t) = lim_t→a+ f0(t) g0_(t).

(88)

Teorema di de l’Hopital, esempio.

Esempio Calcolare lim x →0 1 − cos2(x ) x Svolgimento.

(89)

Esercizi

(90)

Derivata, esercizio

Esercizio

Mostrare che la derivata prima di log(x ) in x0> 0 vale 1/x0.

Traccia. Ricordiamo che lim y →0 log(1 + y ) y → 1.

(91)

Derivazione: esercizi

Esercizio Calcolare le derivate di I f (x ) = asin (x ); I f (x ) = cos_xx +13₊₂

I f (x ) = sin(x )+e_x2_{cos(x )}1/x + log(x );

I f (x ) = xx (nota che f0(x ) 6= x · xx −1)!!

(92)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

I La funzione f (x ) =_{p|x| `e ovunque derivabile nel suo}1

dominio?

I La funzione f (x ) =p|x| `e ovunque derivabile?3

I Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che

I se f (x ) = 1/ sin(x ) allora f0(x ) = − cos(x )/ sin2(x );

I f (x ) = 3x2+ ex· sin(x) + (1/log (x)) allora

f0(x ) = 6x + ex · sin(x) + ex_{· cos(x) − 1/(x(log(x))}2_);

I f (x ) = sin(x2) allora f0(x ) = 2x · cos(x2);

I f (x ) = e−x allora f0(x ) = −e−x;

I _{f (x ) = sinh(x ) = (e}x_{− e}−x_{)/2 allora}

f0_{(x ) = cosh(x ) = (e}x_{+ e}−x_)/2;

I f (x ) = cosh(x ) = (ex _{+ e}−x_{)/2 allora}

f0(x ) = sinh(x ) = (ex_{− e}−x_)/2;

I f (x ) = 2 log(cos(x2_{)) allora f}0_{(x ) =}−4x sin(x2₎

(93)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che

I f (x ) = xx allora f0(x ) = xx · (log(x) + 1) (sugg. f (x )g(x ) = eg (x ) log(f (x )));

I f (x ) = (sin(x ))sin(x )+ sin(sin(x )) allora f0(x ) =

(sin(x ))sin(x )· (cos(x) log(sin(x)) + cos(x)) + cos(sin(x)) cos(x);

I f (x ) = arccos(x ) allora f0(x ) = −1/(1 − x2)1/2 se x ∈ (−1, 1);

I f (x ) = arctan(x ) allora f0(x ) = 1/(1 + x2)1/2;

I g (x ) = sinh(x ), la sua inversa `e f (y ) = settsenh(y ) e allora f0(y ) = 1/p1 + y2 _{(sugg. se y = sinh(x ) allora}

cosh(x ) =p1 + y2_);

(94)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

Mostrare che | sin(x )| `e continua ma non `e derivabile in x = kπ, per k ∈ Z.

Esercizio

Dire in quali punti sono continue e/o derivabili le seguenti funzioni

(95)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Esercizi.

Esercizio

Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di f (x ) =

x2− 1, se x ≤ 1

(x − 1) sin(_{x −1}1 ), se x > 1

Esercizio

Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di

f (x ) =

(96)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Esercizi.

Esercizio

(97)

Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

Esercizio

Calcolare i possibili asintoti di

(98)

Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Figura : In alto. La funzione log(|ex− 4|) − arctan(ex_{− 5) − log(4) in}

(99)

Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l’Hopital.

Esercizio

Usando il Teorema de L’Hopital, calcolare

I limx →0sin(x )/x ; I limx →0+ e −1/x2 x = 0; I limx →0(ex− 1)/x; I limx →0e x 3/(x 4+x )_−cos(x) sin(x )(tan(x ))

I limx →0sin(x )+cos(x )−e

(100)

Studi di funzione, esercizio 1.

Esercizio Sia f (x ) = x 2_{+ x + 1} 2x − 1 . Determinare I il dominio di f ;

I determinare dove f `e continua;

I determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);

I determinare dove f `e derivabile e calcolare f0;

(101)

Studi di funzione, esercizio 2.

Esercizio Sia f (x ) = log x + 4 (x + 1)2 . Determinare I il dominio di f ;

(102)

Studi di funzione, esercizio 3.

Esercizio Sia f (x ) = x + 2 x e − 1 (x +2)_. Determinare I il dominio di f ;

(103)

Studio di funzione: esercizio 4.

Esercizio Sia f (x ) = arcsin(x2− 4|x| + 3). Si determini I il dominio di f ; I dove `e positiva

I determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.

(104)

Studio di funzione: esercizio 5.

Esercizio Sia f (x ) = x log(x ). Si determini I il dominio di f ; I dove `e positiva

(105)

Studio di funzione: esercizio 6.

Esercizio Sia f (x ) = 3−1/| sin(x)|. Si determini I il dominio di f ; I dove `e positiva

(106)

Studio di funzione: esercizio 7.

Esercizio Sia f (x ) = log(ex+ e−x) + x . Si determini I il dominio di f ; I dove `e positiva

(107)

Studio di funzione: esercizio 8.

Esercizio Sia f (x ) = arcsin |x − 1| x + 3 . Si determini I il dominio di f ; I dove `e positiva

(108)

Esercizi di ricapitolazione. Studi di funzione

Esercizio

Studiare le seguenti funzioni, al variare di α > 0, β ∈ R