Calcolo differenziale per funzioni in pi`u variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in pi`

u variabili.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Rapporto incrementale e derivata direzionale

Definizione

Siano f : X ⊆ R

n

→ R, x ∈ X , v ∈ R

n

_{, con kvk = 1. La quantit`}

_a

f (x + tv) − f (x)

t

, t ∈ R\0

si chiama

rapporto incrementale nella direzione v di f in x.

Definizione

Siano f : X ⊆ R

n

_{→ R, x ∈ X , v ∈ R}

n

_{, con kvk = 1. Se la}

funzione

φ

v

(t) = f (x + tv)

`

e definita in un intorno di t = 0 ed `

e derivabile in t = 0 allora

D

v

f (x) := φ

0v

(0) = lim

_t→0

Derivata direzionale destra e sinistra

Analogamente si definiscono le derivate direzionali sinistre e destre.

Definizione

Siano f : X ⊆ Rn_{→ R, x ∈ X , v ∈ R}n_{, con kvk = 1. Se la funzione}

φv(t) = f (x + tv)

`e definita in un intorno di t = 0 ed `e derivabile in t = 0 allora Dv±f (x) := lim

t→0±

f (x + tv) − f (x) t

si dice rispettivamentederivata destra (sinistra) nella direzione v di f in x.

Nota.

Si osservi che

I nel caso n = 1, v = 1, la derivata direzionale coincide con la usuale derivata f0;

Derivata direzionali: esempio

Esempio

Calcolare la derivata di f (x , y ) = e2x +4y_{, lungo la direzione v = (}√_2/2,√_2/2),

Gradiente

Definizione

L’insieme {ek}k=1,...,n, dove ek= ( k z }| { 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) si chiamabase canonica di Rn_.

Definizione

Ogni elemento x ∈ Rn si scrive per certi x1, . . . , xn∈ R comex =Pn_k=1xkek.

Definizione

Siano f : X ⊆ Rn

→ R, x ∈ X , {ek}k=1,...,nla base canonica di Rn. Se esiste la

derivata nella direzione ekdi f in x, tale derivata si dicederivata parziale

rispetto a xkdi f in xe si denota con

Dekf (x), fxk(x), ∂f ∂xk

(x), Dxkf (x), ∂xkf (x), Dkf (x).

Se esistono tutte lefx1(x), . . . , fxn(x), la funzione si dicederivabile in xe il

Caso n = 2

Esempio

Nel caso n = 2, si ha e1= (1, 0), e2= (0, 1) e per x = (x , y ) abbiamo fx(x , y ) = lim t→0 f (x + t, y ) − f (x , y ) t , fy(x , y ) = limt→0 f (x , y + t) − f (x , y ) t ,

che coincidono con le classiche derivate per le funzioni di una variabile x → f (x , y ), y → f (x , y ) rispettivamente.

Nota.

Dal punto di vista pratico, per calcolare le derivate parziali rispetto una variabile, si ritiene l’altra come essere una costante, e si procede come per le derivate in R. Cos`ı sef (x , y ) = 3x + 4y ricaviamo

I fx(x , y ) = Dx(3x + 4y ) = 3Dx(x ) + 4Dx(y ) = 3 · 1 + 4 · 0 = 3;

Caso n = 2

Esempio

Sia f (x , y ) = x2− 3x + 4xy + 5. Allora fx(x , y ) = Dx(x2− 3x + 4xy + 5) = 2x − 3 + 4y ; fy(x , y ) = Dy(x2− 3x + 4xy + 5) = 4x.

Esempio

Sia f (x , y ) = sin(4x + y ). Allora

fx(x , y ) = Dxsin(4x + y ) = Dx(4x + y ) · cos(4x + 1) = 4 · cos(4x + 1);

Derivabilit`

a

Teorema

Siano f , g : X → R derivabile in x0∈ X . Allora `e derivabile in x0∈ X

I la funzioneh = αf + βg per qualche α, β, ed `e

∇(αf + βg )(x0) = α∇f (x0) + β∇g (x0);

I la funzionef · g, ed `e

∇ f · g (x0) = g (x0)∇ f (x0) + f (x0)∇ g (x0);

I il quozientef /g nei punti x ∈ X in cui g (x) 6= 0 ed `e

∇f g(x0) =

g (x0)∇ f (x0) − f (x0)∇ g (x0)

(g (x0))2

Derivabilit`

a

Teorema (Regola della catena)

Siano X ⊆ Rn, I ⊆ R aperti, e supponiamo che sia I _{g : X → R derivabile in x}0∈ X ;

I f : I → R derivabile in g (x0) ∈ I .

Allora f ◦ g `e derivabile in x0∈ X ed `e ∇(f ◦ g )(x0) = f0(g (x0))∇g (x0).

Esempio

SiaF (x , y ) = sin(2x + 4y ).

Da Fx(x , y ) = 2 cos(2x + 4y ), Fy(x , y ) = 4 cos(2x + 4y ), abbiamo

∇F (x, y ) = (2 cos(2x + 4y ), 4 cos(2x + 4y )). Dalla regola della catena, per

g (x , y ) = 2x + 4y , f (t) = sin(t), ∇g (x , y ) = (2, 4), f0(t) = cos(t) ricaviamo similmente, visto che α · (x , y ) = (α · x , α · y ),

Caso n = 2

Nel caso X intervallo aperto, se la funzione `e derivabile in x0allora `e continua

in x0. Ci chiediamose f `e derivabile in x0∈ Rnallora f `e continua in x0? La

risposta `e negativa.

Esempio

Sia f (x , y ) =  0, se x · y = 0 1, altrimenti. Osserviamo che

I la funzionenon `e continua in (0, 0), visto che lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) non

esiste in quanto

I lungo laretta y = 0si ha f (x , y ) = 0 e quindi

limx →0f (x , y ) = limx →0f (x , 0) =0;

I lungo laretta y = x si ha f (x , x ) = 1 per x 6= 0 e quindi

Caso n = 2

I per quanto riguarda la derivata parziale in x fx(0, 0) = lim t→0 f (t, 0) − f (0, 0) t = limt→0 0 t = 0, I per quanto riguarda la derivata parziale in y

Calcolo differenziale per funzioni in pi`

u variabili

Esempio

Determinare le derivate parziali della funzione f (x , y , z) = 3x + 5y sin(z).

Svolgimento.

Si vede facilmente che

I fx(x , y , z) = fx(3x ) + fx(5y sin(z)) = 3fx(x ) + 0 = 3;

I fy(x , y , z) = fy(3x ) + fy(5y sin(z)) = 0 + 5 sin(z) · fy(y ) = 5 sin(z);

I fz(x , y , z) = fz(3x ) + fz(5y sin(z)) = 0 + 5y · fz(sin(z)) = 5y cos(z).

Esercizio

Differenziabilit`

a

Nel caso di un intervallo aperto X ⊆ R, una funzione f : X → R `e derivabile in x0∈ X con derivata m = f0(x0) se e solo se

f (x ) = f (x0) + m · (x − x0) + o(x − x0).

Generalizziamo queste idee al caso in cui sia X ⊆ Rn_aperto.

Definizione

Sia X ⊆ Rnaperto e f : X → R. La funzione f si dicedifferenziabile in x0∈ X

se esiste a ∈ Rn_{tale che}

f (x) = f (x0) + (a, x − x0) + o(kx − x0kRn)

per x → x0, dove (·, ·) `e il prodotto scalare di Rn.

Nota.

Ricordiamo che se x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), allora

Differenziabilit`

a

Nota.

I concetti di differenziabilit`a e derivabilit`a coincidono se n = 1. Non sono invece equivalenti nel caso n > 1 in cui la nozione di differenziabilit`a `e pi`u forte.

Teorema

Sia X ⊆ Rnaperto e f : X → R. Se la funzione f `e differenziabile in x0∈ X ,

allora

I f `econtinuain x0;

I esistono le derivate parziali di f in x0e

f (x) = f (x0) + (∇f (x0), x − x0) + o(kx − x0kRn).

I per ogni vettore v tale che kvkRn = 1, esiste la derivata direzionale

Dvf (x0) ed `e

Dvf (x0) = (∇f (x0), v).

Teorema

Differenziabilit`

a

Nota.

Si osservi che una funzione derivabile in X ⊆ Rnnon `e necessariamente continua, mentre una funzione differenziabile lo `e.

Nota.

Si supponga che f abbia derivate in ogni direzione v (con kvk = 1). Se f non `e differenziabile, non si pu`o dire che per ogni vettore v tale che kvkRn= 1, sia Dvf (x0) = (∇f (x0), v).

Nota.

Sia f : X ⊆ R2 → R. Il grafico di f (x)= f (x0) + (∇f (x0), x − x0) =f (x0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

rappresenta ilpiano tangenteal grafico di f in (x0, y0, f (x0, y0)). Il piano

Piano tangente

Esempio

Calcolare il piano tangente alla funzionef (x , y ) = 3x2_{+ 4xy + 5y, nel punto}

(3, 1).

Svolgimento.

Osserviamo che

fx(x , y ) = 6x + 4y , fy(x , y ) = 4x + 5.

Le due funzioni fx, fy sono polinomi in due variabili e quindi continue in R2. Di

conseguenza f `e differenziabile in (3, 1) in quanto possiede derivate parziali continue in un intorno del punto (3, 1).

Di conseguenza esiste il piano tangente e da

I f (3, 1) = 3 · 32+ 4 · 3 · 1 + 5 · 1 = 27 + 12 + 5 = 44 I fx(3, 1) = 6 · 3 + 4 · 1 = 22;

I fy(3, 1) = 4 · 3 + 5 = 17;

Differenziabilit`

a

Teorema

Siano f , g : X → R differenziabili in x0∈ X . Allora `e differenziabile in x0∈ X

I la funzioneh = αf + βg per qualche α, β, ed `e

∇(αf + βg )(x0) = α∇f (x0) + β∇g (x0);

I la funzionef · g, ed `e

∇ f · g (x0) = g (x0)∇ f (x0) + f (x0)∇ g (x0);

I il quozientef /g nei punti x ∈ X in cui g (x) 6= 0 ed `e

∇f g(x0) =

g (x0)∇ f (x0) − f (x0)∇ g (x0)

(g (x0))2

Differenziabilit`

a

Teorema

Siano X ⊆ Rn

, I ⊆ R aperti, e supponiamo che I _{g : X → R differenziabile in x}0∈ X ;

I _{f : I → R differenziabile in g (x}0) ∈ I .

Allora la funzione f ◦ g `e differenziabile in x0∈ X ed `e

∇(f ◦ g )(x0) = f 0

Teorema del differenziale totale

Teorema (del differenziale totale)

Sia X ⊆ Rnaperto, x ∈ X . Se

I esiste unintorno U di xnel quale f `ederivabile;

I se lederivate parziali fx1, . . . , fxn sono continuenel punto x;

allora f `edifferenziabilein x.

Definizione

Siano X ⊆ Rnaperto, f : X → R ed E ⊆ X . La f si dice I derivabile in E se `e derivabile in ogni x ∈ E . I differenziabile in E se `e differenziabile in ogni x ∈ E .

Definizione

Siano X ⊆ Rnaperto, f : X → R ed E ⊆ X . Se f `e derivabile in E e se le n derivate parziali fxk con k = 1, . . . , n sono continue in E , allora f si dice di

classe C1 in E e si scrive f ∈ C1(E ).

Corollario

Siano X ⊆ Rn

Derivate di ordine superiore

Definizione

Siano I _{f : X → R, con X ⊆ R}n aperto; I _{v, w ∈ R}n_{, tali che kvk} Rn= kwkRn = 1. Allora Dw, v2 := Dw(Dvf (x)) cio`e Dw, v2 = lim t→0 Dvf (x + tv) − Dvf (x) t .

Definizione

Sia f : X → R, con X ⊆ Rn aperto. Sia {ej}j =1,...,n la base canonica di Rn.

Allora D2

ejek`e laderivata parziale del secondo ordine(lungo le direzioni ej, ek). Tale quantit`a a volte si indica con

fx,x (x),

∂2f (x)

Derivate di ordine superiore: esempio

Esempio

Si calcolino le derivate del secondo ordine dif (x , y ) = 3exy2+ x sin(y − 3).

Svolgimento.

Osserviamo che I Dxf (x , y ) = Dx(3exy 2 + x sin(y − 3)) = 3y2_exy2_{+ sin(y − 3);} I Dyf (x , y ) = Dy(3exy 2

+ x sin(y − 3)) = 6xyexy2_{+ x cos(y − 3).}

Le derivate parziali sono continue nell’intorno di un punto qualsiasi, e la funzione `e derivabile ovunque. Le suddette derivate sono differenziabili, in quanto combinazione o composizione di funzioni differenziabili. Possiamo calcolare le derivate successive.

I Dx ,xf (x , y ) = Dx(3y2exy 2

+ sin(y − 3)) = 3y4_exy2_;

I Dy ,xf (x , y ) = Dy(3y2exy 2

+ sin(y − 3)) = (6y + 6xy3)exy2+ cos(y − 3); I Dx ,yf (x , y ) = Dx(6xyexy

2

+ x cos(y − 3)) = (6y + 6xy3)exy2+ cos(y − 3). I Dy ,yf (x , y ) = Dy(6xyexy

2

Derivate di ordine superiore: Teorema di Schwarz

Definizione

Una funzione f : X → R, con X ⊆ Rn _{aperto, x ∈ X , si dicedue volte}

differenziabile in x, se

I `e differenziabile in un intorno di x,

I le derivate parziali fxk, k = 1, . . . , n, sono differenziabili in x.

Teorema (di Schwarz)

Siano

I _{f : X → R, con X ⊆ R}n

aperto; I x ∈ X ;

I f differenziabile due volte in x. Allorafxi,xj(x) = fxj,xi(x).per ogni i 6= j .

Teorema (di Schwarz, variante)

Derivate di ordine superiore: matrice hessiana

Definizione

Sia

I f : X → R, con X ⊆ R2_aperto;

I x ∈ X ;

I f possieda tutte le derivate parziali in x. La tabella Hf(x) =  fx1,x1(x) fx1,x2(x) fx2,x1(x) fx2,x2(x)  si chiamamatrice Hessianadi f in x.

Nota.

Se le due derivate miste fxi,xj, fxj,xi, i 6= j esistonoin un intorno di x0e sono

Derivate di ordine superiore: matrice hessiana

Esempio

Si calcoli la matrice hessiana di