⋅−∞=⋅= eRtvvdttdvCti )()()()( )]()([)()( ⋅−∞−∞= etvvvtv

(1)

ESERCIZIO E.1: L’interruttoreSèpostoinAdalungo tempo; all’istante to=0s si porta in B e all’istante t1=6ms si riporta in A. Si desidera determinare: a) l’espressione analitica delle due tensioni vK(t), vC(t) e della corrente iK(t) per −−−−100µsµµµ <t<∞∞ e tracciare poi relativi grafici fra loro ∞∞ correlati; b)l’energia accumulatadalcondensatore agli istanti t=0s, t=6ms e t→→→→∞∞. Sono noti: ∞∞ V1=3V; V2=2V; C=100nF; R1=R2=R3=RF=R=10KΩΩ; RΩΩ K =100ΩΩΩΩ. (Appello 22 luglio 2011)

La rete lineare da esaminare di figura 1 evidenzia la presenza dell’amplificatore operazionale, da ritenersi ideale, posto in reazione negativa dalla resistenza RF, di un bipolo dinamico rappresentato dal condensatore C e di un interruttore S che con le sue commutazioni modifica, nel tempo, la struttura della rete stessa.

L’evoluzione temporale della tensione ai morsetti del condensatore caratterizza il transitorio che accompagna anche le variazioni nel tempo della tensione di uscita vk(t) dell’operazionale.

La tensione ai morsetti del condensatore è una variabile di stato e, quindi, funzione temporalmente continua; poiché la corrente che circola nella resistenza R2, istante per istante e qualunque sia la posizione dell’interruttore S, è la corrente iC(t) del condensatore C, consegue che sia la tensione v⁺(t) = R2·iC(t), sia la tensione di uscita vK(t) e di conseguenza la corrente iK(t) risultano funzioni temporalmente discontinue negli istanti di commutazione dell’interruttore S.

a) Sia –100µµµµs<t<0s. L’interruttore S si trova nella posizione A da lungo tempo, certamente da un tempo maggiore del tempo di assestamento TA; quindi, il condensatore si trova a regime e viene modellato dal bipolo circuito aperto per cui, come mostrato in figura 1a, visto che l’operazionale è in configurazione invertente, risultano validate le posizioni seguenti, afferenti l’intervallo temporale di interesse:

v

C

(t) = 0 V; i

C

(t) = 0 A; v

⁺

(t) = 0 V

2 1 2

1

) ( )

( V

R t R

R v t R

v

_K

= −

^F

⋅ = −

^F

⋅

V t

v

_K

2 2

10 10

10 ) 10

(

₃

3

−

=

⋅ ⋅

− ⋅

=

mA R

t v t

i

_K _K _K

20 100 ) 2

( )

( − = −

=

b) Sia: 0s ≤≤≤≤ t< 6s. L’interruttore S commuta, all’istante t=0s, dalla posizione A alla posizione B e ivi permane per un intervallo di tempo della durata di tO = 6 ms. Il transitorio caratterizzante l’evoluzione temporale della tensione vC(t) e della corrente iC(t) ai morsetti del condensatore C è determinato dalle seguenti relazioni

)τ

)]

(

( )

( [ ) ( )

(

_C _C _C _i ^t ^tⁱ

C

t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅

⁻ ⁻

)τ

)

(

( )

) (

(

^t ^tⁱ

TH i C C

C

e

R t v v

dt t C dv

t

i ∞ − ⋅

⁻ ⁻

=

⋅

=

in cui il significato fisico dei parametri e delle variabili di interesse è di seguito esplicitato:

vC(∞∞∞∞): è la tensione ai morsetti del condensatore al termine del transitorio ottenuta considerando il condensatore stesso modellato dal bipolo circuito aperto;

+ + + +

−

− V2 −

R1

v

K

(t)

− + + + +

RF

R2

RK

V1

C

i_K +

+ + +

−

A B

S

v

_C

(t)

i_C(t) R3

(figura – 1)

+ ++ +

−

−− V2 −

R1

v

K

(t)

− + + + +

RF

R2

RK

C

i_K

A

S

v_C=0 iC(t)

R3

(figura1a: rete valida per -100µµµµs<t<0s) v⁺(t)

(2)

vC(ti): è la tensione ai morsetti del condensatore all’inizio del transitorio e definisce la cosiddetta condizione iniziale;

RTH: definisce la resistenza equivalente di Thevenin sentita dal condensatore durante l’evoluzione caratteristica del transitorio;

ττττ = CRTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica a cui il condensatore è connesso.

Atteso quanto premesso, la rete da esaminare, nell’intervallo di tempo stabilito, viene mostrata in figura 1b. È necessario osservare che la resistenza equivalente di Thevenin RTH

sentita dal condensatore è determinata dalla sola resistenza R2, per cui risulta:

ττττ=C·RTH =C·R2 =10·10³·100·10^-9s, ovvero: ττττ=10⁶·10^-9 = 10^-3 = 1ms Poiché risulta verificata la condizione:

T

_A

= 5ττττ = 5 ms < t

_O

= 6 ms

si evince che nell’intervallo di tempo in cui l’interruttore S permane collegato nella posizione B, il condensatore C ha conseguito il nuovo stato di regime che si identifica nei seguenti valori assunti dalle variabili di interesse: v_C(∞∞∞)∞ =V₁=3V; v_C(t_i)=v_C(0)=0V; i_C(∞∞)∞∞ =0A; t_i=0s.

Il transitorio relativo all’intervallo di tempo di interesse è definito dalle seguenti relazioni:

] [ 3

3 )

0 3 ( 3 )]

( ) ( [ ) ( )

( t v v v t e

⁽ ⁾

e

⁽ ⁰⁾ ¹⁰³

e

¹⁰⁰⁰

V

v

_C

=

_C

∞ −

_C

∞ −

_C _i

⋅

⁻^t⁻^tⁱ ^τ

= − − ⋅

⁻^t⁻ ⁻

= −

⁻ ^⋅^t

] [ 300

10 10 300

0 3 )

( )

) (

( e

⁽ ⁾ ₄

e

¹⁰ ³ ⁶

e

¹⁰⁰⁰

e

¹⁰⁰⁰

A

R

t v t v

i

^t ^t ^t ^t ^t

TH i C C

C

i ^τ ⁻ ⁻ ⁻ ^⋅ ⁻ ^⋅

µ

−

− ⋅ = ⋅ =

=

− ⋅

= ∞

⁻

τ τ

τ C t t

t t TH

i C C

C

e V e

R v R V

R e

t v R v

t i R t

v

⁺ ⁻ ⁻ⁱ

− ⋅

⁻ ⁻

= ⋅

⁻

⋅

=

− ⋅

⋅ ∞

=

⁽ ⁰⁾ ₁

2 2 1

) ( 2

2

) 0 ( )

( )

) ( ( )

(

Ai finidelladeterminazionedellatensionevK(t)equindidellacorrenteiK(t)necessitaosservareche la rete di figura 1b rappresenta un operazionale in configurazione di amplificatore differenziale per il quale vige la seguente relazione costitutiva:

2 1 1

1 2

1 1

1 ) ( )

( 1

)

( V

R e R

R V t R

R v t R R v

t R

v

_K ^F ^F ^F

 ⋅

^t

−

^F

⋅





 

 +

=

 −





 

 +

=

⁺ ⁻ ^τ _,_{da cui:}

K K

K

R

t t v

i ( )

( = )

sostituendo i valori dei parametri noti, si ottiene:

] [ 2 6

2 3

2 2

) 1 1 ( )

( t V

₁

e V

₂

V

₁

e V

₂

e

¹⁰⁰⁰

e

¹⁰⁰⁰

V

v

_K

= + ⋅

⁻^t^τ

− = ⋅

⁻^t^τ

− = ⋅ ⋅

⁻ ^⋅^t

− = ⋅

⁻ ^⋅^t

− ] [ 20 100 60

2 3

2 2

) ) (

(

¹⁰⁰⁰

1000 2

1

e e mA

R

V e

V R

t t v

i

^t

t

K t

K K

K

⋅ ⋅ − = ⋅ −

− =

= ⋅

=

⁻ ^⋅

⋅

−

− τ

In particolare, all’istante t = 0⁺, si evince quanto segue:

] [ 300 ]

300 [ )]

( [ )

0 (

¹⁰⁰⁰

0

lim

lim ⁱ ^t ^e ^mA

i

^t

t C

t

C

= = ⋅

⁻ ^⋅

=

→

→ +

+ +

,e poi: ₁

0

)]

( [ )

0 ( lim ^v ^t ^V

v

t

=

⁺

→ +

+

V e

t v

v

^t

t K

t

K

( 0 ) [ ( )] [ 6

¹⁰⁰⁰

2 ] 6 2 4

0

lim

lim ⁼ ^⋅ ⁻ ⁼ ⁻ ⁼

=

⁻ ^⋅

→

→ +

+ +

mA e

t i

i

^t

t K

t

K

( 0 ) [ ( )] [ 60

¹⁰⁰⁰

20 ] 60 20 40

0

lim

lim ⁼ ^⋅ ⁻ ⁼ ⁻ ⁼

=

⁻ ^⋅

→

→ +

+ +

Mentre a regime (t→→→→∞∞∞∞), ovvero dopo un tempo (tO =6ms) > (TA =5ττττ), si ottiene quanto segue:

+ + + +

−

− V2 −

R1

v

_K

(t)

− + + + +

RF

R2

RK

V1

C

i_K ++

++

−

B S

v

_C

(t)

i_C(t)

(figura 1b - rete valida per 0s≤≤≤≤t<6ms)

(3)

A e

t i i

t

i

^t

t C

O

C

( ) ^≅ ( ^∞ ) ⁼ lim [ ( )] ⁼ lim [ 300 ^⋅

⁻¹⁰⁰⁰^⋅

] ⁼ 0

∞

→

∞

→

V e

t v v

t

v

^t

t C

O

C

( ) ^≅ ( ^∞ ) ⁼ lim [ ( )] ⁼ lim [ 3 ⁻ 3

⁻¹⁰⁰⁰^⋅

] ⁼ 3

∞

→

∞

→

V t

v v

t v

t

O

) ( ) [ ( )] 0

( ^≅ ^∞ ⁼ lim

⁺

⁼

∞

→ +

+

V e

t v v

t

v

^t

t K

O

K

( ) ^≅ ( ^∞ ) ⁼ lim [ ( )] ⁼ lim [ 6 ^⋅

⁻¹⁰⁰⁰^⋅

⁻ 2 ] ⁼ 0 ⁻ 2 ⁼ ⁻ 2

∞

→

∞

→

mA e

t i i

t

i

^t

t K

O

K

( ) ^≅ ( ^∞ ) ⁼ lim [ ( )] ⁼ lim [ 60 ^⋅

⁻¹⁰⁰⁰^⋅

⁻ 20 ] ⁼ 0 ⁻ 20 ⁼ ⁻ 20

∞

→

∞

→

c) Sia: (tO=6ms)≤≤≤≤t<∞∞∞∞. L’interruttore S all’istante tO =6ms commuta di nuovo,dalla posizione B alla posizione A e ivi permane indefinitamente. Si osservi che per t ≥≥≥≥ tO la rete assume la stessa configurazione circuitale mostrata in figura 1a; inoltre, per t→→→→∞∞∞∞ la citata rete ripresenta le stesse proprietà che hanno caratterizzato l’analisi del transitorio esaminato al punto a). Da quanto sopra

asserito consegue che per t→→→→∞∞∞∞ è:

v_C(∞∞∞)∞ =v⁺(∞∞)∞∞ =0V; i_C(∞∞∞∞)=0A v_K(∞∞∞∞)=-(R_F/R₁)·V₂=-2V.

Assume, pertanto, interesse lo studio della rete nel transitorio relativo allo intervallo (tO <t<∞∞). All’istante t∞∞ O

il condensatore viene modellato da un generatore ideale di tensione di valore determinato da:

v_C(t_O⁺) = vC(t_O^-) = vC(t_O) =3V In figura 1c e in figura 1d sono, poi, evidenziate, rispettivamente, la rete valida all’istante t=tO+ e il circuito necessario alla determinazione della nuova resistenza equivalente di Thevenin RTH2 alla quale fare corrispondere la nuova costante di tempo ττττ2 = C·RTH2. L’analisi del circuito di figura 1d, attesa la necessaria applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni, implica quanto segue:

TX TX

TX

R I R I R R I

V =

₃

+

₂

= (

₃

+

₂

)

In ossequio alla definizione di resistenza equivalente di Thevenin si relaziona come segue:

Ω

=

⋅ +

⋅

= +

+ =

=

K R

I R I R R I

R V

TX TX V

TX V TX

TH

( ) ( ) ( 10 10

₃

10 10

₃

) 20

2 2 3

3

1 0

2

La costante di tempo ττττ2 assume il valore

ττττ

2

=C·R

TH2

= 100·10

^-9

·20·10

³

= 2·10

^-3

= 2 ms

+ + + +

−

− V2 −

R1

vK(tO+)

− + + + +

RF

R2

RK

C

iK(tO+)

A S

v_C(t_O⁺) iC(tO+)

R3

(figura1c: rete valida per t= tO+)

v⁺(tO+

)

++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++

++ ++ ı VTX

R1

− + + + +

RF

R2

RK

A S

ITX

R3

(figura1d: rete per il calcolo di RTH2)

+ + + +

−

− V2

R1

vK(t)

− + + + +

RF

R2

RK

C

iK(t)

A S

vC(t) iC(t)

R3

(figura1e: rete valida per tO<t<∞∞∞∞ )

v⁺(t)

(4)

Lo studio del transitorio della rete mostrata in figura 1e, relativo all’intervallo temporale tO <t<∞∞, ∞∞ in riferimento al fatto che l’operazionale realizza la configurazione di amplificatore differenziale, conduce alle relazioni analitiche che di seguito si esplicitano:

] [ 3

) 3 0 ( 0 )]

( )

( [ ) ( )

(

)

2 3

( 500

) 10 2 ( ) ( )

(

V e

e e

t v v

v t v

O

O O

t t

t t t

t O

C C

−

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

∞

−

∞

=

^τ ⁻

] 2 [

3 2

) ) (

2 ( ) ( )

(

⁵⁰⁰⁽ ⁾

2 1

2

v t e V

t R v t R

R v R t R

v

⁺ _C

= −

_C

= −

^C

= −

⁻ ^⋅^t⁻^t^O

− +

=

) 2 (

) 1 (

) ( 1

) ( )

(

₂ ₂

1 2

1

t v t V

v R V R

R t R

R v t R

v

_K ^F ^F ^C

 = − −

_C



 



 −

 

 



 + +

−

 =





 

 + +

−

=

⁺

Sostituendo i valori noti alle rispettive variabili, si perviene alle seguenti scritture:

] [ 3

2 ) ( )

( t V

₂

v t e

⁵⁰⁰⁽ ⁾

V v

_K

= − −

_C

= − − ⋅

⁻ ^⋅^t⁻^t^O

I valori di vK(t) agli estremi dell’intervallo di interesse sono dati da:

V e

t

v

^O

o

t t t

O t

K

( ) = lim [ − 2 − 3 ⋅

⁻⁵⁰⁰^⋅⁽ ⁻ ⁾

] = ( − 2 − 3 ) = − 5

+ →

+

V e

v

^t ^t^O

K

( ∞ ) =

t

lim [ − 2 − 3 ⋅

⁻⁵⁰⁰^⋅⁽ ⁻ ⁾

] = [ − 2 − ( 3 ⋅ 0 )] = − 2

∞

→

Per quanto attiene alla corrente iK(t) relativa alla resistenza RK, l’applicazione della legge di Ohm consente di relazionare come segue

] [ 30

100 20 3 ) 2

( )

) (

(

⁵⁰⁰⁽ ⁾

) ( 500

2

e e mA

R t v V R

t t v

i

^O

O t t

t t

K C K

K

K ⁻ ⁻

−

⋅

−

⋅ =

− + + =

−

=

a cui corrispondono i seguenti valori agli estremi dell’intervallo di interesse:

] [ 50 30

20 )

30 20 ( lim )

( t e

⁵⁰⁰⁽ ⁾

mA

i

^O

O

t t t

O t

K

= − − ⋅

⁻ ⁻

= − − = −

+ →

+

] [ 20 )]

0 30 ( 20 [ ) 30

20 ( lim )

( e

⁵⁰⁰⁽ ⁾

mA

i

^t ^t^O

K

∞ =

t

− − ⋅

⁻ ⁻

= − − ⋅ = −

∞

→

In figura 1f sono riportati i grafici relativi agli andamenti temporali delle due tensioni vC(t) e vK(t) nonché della corrente iK(t).

La determinazione dell’energia accumulata nel condensatore si effettua ricorrendo alla relazione costitutiva:

t C t

C C

t

C C

t

p t dt v t i t dt C v t d v t C v t

t

W ⁽ ⁾ = ∫

−∞

⁽ ⁾ ⋅ = ∫

−∞

⁽ ⁾ ⋅ ⁽ ⁾ ⋅ = ∫

−∞

⁽ ⁾ ⋅ ^[ ⁽ ^)] = ₂ ¹ ^[

²

⁽ ^)]

−∞

Considerando il condensatore completamente scarico all’istante t →→→→ -∞∞∞∞, si ottiene:

) 2 (

) 1

( t C v

²

t

W = ⋅

_C

Relativamente agli istanti

t = 0 s, t = 6 ms e t → → → → ∞ ∞ ∞ ∞

indicati dalla traccia, la precedente relazione consente di esplicitare quanto segue:

J v

C

W

_C

( 0 ) 0

2 ) 1 0

( = ⋅

²

=

nJ v

C ms

W

_C

100 10 3 450

2 ) 1 6 2 (

) 1 6

( = ⋅

²

= ⋅

⁻⁹ ²

=

J v

C

W

_C

( ) 0

2 ) 1

( ∞ = ⋅

²

∞ =

(5)

(figura – 1f: Andamento temporale delle tensioni vC(t), vK(t) e della corrente iK(t) )

(6)

ESERCIZIO E.2: Inrelazioneai“riferimenti coordinati”delletensioni edellecorrenti,espressi dalleconvenzioni usualialle porte 1 e 2 del “doppio bipolo” mostrato in figura 2, si desidera:

a)determinare i parametri della matrice R relativa allaformulazionecontrollata in corrente infunzione delguadagnoµµµµ; b)determinare per quali valori di “µµµ” la matrice [R] NON esiste; µ c)determinareseperivaloridiµµµµcalcolati al punto b) esiste la matrice [G] della formulazione controllata in tensione. (Appello 22 luglio 2011)

La formulazione controllata in corrente, per il doppio bipolo di figura, è espressa dalla seguente relazione costitutiva:

DBR:

 



+

=

+

=

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

I R I R V

Si tratta, cioè, di determinare la matrice a parametri resistivi R caratteristica del doppio bipolo, mostrato nella figura 2a, equivalente al circuito due porta della traccia.

Primo Metodo: Trasformazione triangolo stella. Per ispezione diretta si evince che le tre resistenze di valore 3R sono fra di loro collegate a “triangolo” al quale è possibile poi sostituire l’equivalente collegamentoa stella; trattandosi di tre resistenze uguali si giustifica, in ossequio alle note formule di trasformazione, la posizione seguente:

R

ST

= R

TR

/3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ R

ST

= (3·R/3) = R

La rete originaria,pereffettodellasuccitata trasformazione, assume la configurazione riportata in figura 2b. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo σσσσ, consente di

relazionare come segue:

I

₁

+ I

₂

= I

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia relativa alla portad’ingresso 1, forniscela scrittura di seguito esplicitata:

1 1

1

V RI RI RI

V − µ = + +

, ovvero:

) (

2

₁ ₁ ₂

1

V RI R I I

V − µ = + +

2 1

1

3 ) 1

( − µ V = RI + RI

,da cuisiha:

2 1

1

( 1 ) ( 1 )

3 R I

R I

V ⋅

+ −

− ⋅

= µ µ

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia relativa alla porta 2, consente la relazione seguente:

) (

2

₂ ₁ ₂

1 2

2 2

1

2

V RI RI RI V V RI R I I

V − µ = + + ⇒ − µ = + +

dalla quale si ottiene:

2 1

1 2

2 1

1

2

V RI 3 RI V V RI 3 RI

V − µ = + ⇒ = µ + +

La sostituzione di V1 con la scrittura in precedenza determinata consente di pervenire alla relazione:

2 1

2

3 ) 1 ( )

1 (

3 R I RI RI

R I

V ⋅ + +

+ −

− ⋅

= µ

µ µ

µ

Effettuando i necessari e dovuti passaggi algebrici si esplicitano le scritture di seguito riportate:

R

µ µ µ

µ V

1

I

₂

3R

V

₂

3R 3R

R

I

₁

V

1

+ + + +

−

− −

−

R12I2 R21I1

V

I

2

V

2

R11 R22

I

₁

V

₁

⁺ ⁺ ⁺ ⁺

− − −

−

+ + + +

−

(figura – 2a)

R

µ µ µ µ V

1

I

₂

R

V

2

R R

R

I

1

V

₁

₊ ₊ ₊ ₊

−

(figura – 2b) I

σ

σ σ

σ

(7)

2 1

2 2

1

2

1 3 3 1

3 3 1

1 3 R R R I

R I R V R

I R R

V µ

µ µ

µ µ µ

µ

−

− + +

−

= +

 ⇒



 



 +

+ −

 

 



 +

= −

La struttura della relazione finale assume, pertanto, la forma seguente:

2 1

2 2

1

2

( 1 )

) 2 3 ( )

1 (

) 2 1 ( 1

2 3 1

2 R I

R I V

R I I R

R

V R ⋅

− + −

− ⋅

= +

⋅ ⇒

− + −

− ⋅

= +

µ µ µ

µ µ

µ

La relazione costitutiva del doppio bipolo originario assegnato dalla traccia assume, per tanto, la forma seguente:

DB:





 



• 

 





 





−

− +

−

= −

 

 



⇒ 

 



 



− ⋅ + −

− ⋅

= +

− ⋅ +

− ⋅

=

2 1 2

1

2 1

2

2 1

1

) 1 (

) 2 3 ( ) 1 (

) 2 1 (

) 1 ( )

1 (

3 ) 1 (

) 2 3 ( )

1 (

) 2 1 (

) 1 ( )

1 (

3 I I R R

R R

V V R I

R I V

R I R I

V

µ µ µ

µ

µ µ

µ µ µ

µ

µ µ

Il confronto con la relazione costitutiva DBR della formulazione controllata in corrente consente di esplicitare le seguenti posizioni:

) 1 (

) 2 3 ( )

1 (

) 2 1 ( )

1 ( )

1 (

3

22 21

12

11

µ

µ µ

µ −

= −

−

= +

= −

= − R

R R R R

R R

R

Si conclude che per µµµµ=1 tutti gli elementi della matrice [R] afferente la formulazione controllata in corrente assumono il valore Rij→→→→∞; pertanto, per µµµµ=1 NON ESISTE la matrice R.

Al fine di dare una coerente risposta al quesito c) proposto dalla traccia, risulta necessario calcolare il determinante della matrice della formulazione controllata in corrente; a tale riguardo si ottiene:

2 2

) 1 (

) 2 1 ( )

1 (

) 2 3 ( 3 1

) 2 1 ( 1

1 ) 2 3 ( 1

) 3

det( µ

µ µ

µ −

− +

−

= −

−

⋅ +

− −

−

⋅ −

= − R R R R R R

R

, ovvero:

) 1 (

8 )

1 (

) 1 ( 8 )

1 (

8 8

) 1 (

2 6

) 9 det(

2 2

2

2 2

µ µ µ µ

µ µ

= −

−

= −

−

= −

−

= R − R R R R R R R

R

Consegue che il valore µµµµ=1 implica che det(R)→→→→∞∞∞∞ e che, comunque, risulta det(R) ≠≠ 0 ∀≠≠ ∀∀µ∀µµµ∈∈∈∈ℜℜℜℜ.

Quanto di anzi dedotto consente di supporre che per µµµ = 1 esiste la matrice G della formulazione µ controllata in tensione. Verifichiamo quanto ipotizzato. La matrice trasposta RT e la matrice dei complementi algebrici assumono rispettivamente la forma di seguito riportata:

 





 





−

− +

− −

−

=

 





 





−

− +

= −

) 1 (

3 )

1 (

) 2 1 (

) 1 ( )

1 (

) 2 3 (

) 1 (

) 2 3 ( ) 1 (

) 1 (

) 2 1 ( ) 1 (

3 µ µ

µ

µ µ

µ

µ µ µ

R R

R R R

R R

R

_T _ca_T

Pertanto, la matrice G è univocamente determinata dalla relazione seguente:

 





 





−

− +

− −

−

− ⋅

=

 





 





−

− +

− −

−

⋅

=

) 1 (

3 )

1 (

) 2 1 (

) 1 ( )

1 (

) 2 3 ( 8

1 ) 1 (

3 )

1 (

) 2 1 (

) 1 ( )

1 (

) 2 3 ( ) det(

1

2

µ µ

µ

µ µ

µ

µ µ

µ

R R

R R R

R R

G R

da cui, operando le necessarie semplificazioni algebriche, si ottiene:

 

 





−

⋅ −



→

 



 



 +

−

⋅ −

=

 







 







− +

− −

− ⋅

=

₌

3 3

1 1 8

1 3

) 2 1 (

1 ) 2 3 ( 8

1 8

3 8

) 2 1

( 8

1 8

) 2 3 ( 8

1

2

R

1

R

R R

G R

_µ

µ µ µ

µ µ

Dunque, per µµµµ=1 ESISTE la matrice G. Si noti che det(G)=0 il checonferma che per µµµµ=1 NON

(8)

ESISTE la matrice R della formulazione controllata in corrente.

Secondo Metodo: Esecuzione delle Prove Semplici. È la procedura che attiene alla definizione dei parametri stessi, cioè alla loro relazione costitutiva; infatti la determinazione dei parametri Rij si effettua a coppie imponendo il funzionamento a vuoto prima della porta d’uscita e successivamente della porta di ingresso.

Calcolo di R11 e di R21. Giova ricordare che:

A I A

I

R V I

R V

1 0 21 2 1 0

11 1

2

2= =

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni relativa alla maglia della porta di ingresso consente di relazionare come segue:

1 1 1

1

V [ 3 R ( 3 R 3 R )] I RI

V − µ = + ⋅ +

1 1

1

3 6

6 ) 3

1 ( I RI

R R

R

V R  +



 



 +

= ⋅

− µ

, ovvero:

1 1 2

1

( 18 9 )

) 1

( − µ V = R R ⋅ I + RI

, da cui:

) 1 (

3 1

) 1 (

3 )

1 ( 2 3

) 1 (

1 1 1 0

11 1 1 1

1 1 1

2

µ µ

= −

− ⋅

=

⇒ =

= − + ⇒

=

−

=

R I

RI I

R V V RI

RI RI V

A I

L’applicazione della legge del partitore resistivo di corrente consente di determinare la corrente IP; infatti, essendo I2 = 0A la corrente I1 si riparte fra la resistenza 3R connessa in parallelo con la serie delle due resistenze di valore 3R ciascuna. Si ottiene, pertanto, come evidenziato in figura 2c:

1 1

1

3 1 9

3 3

3 I I I

R I R

R I R R

I

_P

R ⋅ ⇒

_P

= ⋅ ⇒

_P

=

+

= +

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita si ottiene la scrittura:

1 1

2 1

1 2 2

1

2

V 3 RI RI V V ( 3 R 3 ) I V V RI

V − µ =

_P

+ ⇒ − µ = ⇒ − µ =

Esprimendo ora la tensioneV1in funzione della corrente I1, ricorrendoalla relazione in precedenza determinata, si ottiene quanto segue:

1 2

1 1

2

( 1 )

3 )

1 (

) 1 ( 3

) 1 (

3 R R R I

V R I

V R RI

R I

V ⋅

−

= +

⋅ ⇒

−

= +

= ⇒

− ⋅

− µ

µ µ

µ µ µ

µ µ

Si conclude, pertanto, con la scrittura di seguito riportata:

) 1 (

) 2 1 ( )

1 (

) 2 1 ( )

1 (

2

1 0 21 2 1

2 1

2

µ

µ µ

µ

−

= +

⇒ =

− ⋅

= +

− ⇒

= +

=

R I

R V R I

V R I

V R

A I

Calcolo di R12 e di R22. Giova ricordare che:

A I A

I

R V I

R V

2 0 22 2 2 0

12 1

1

1= =

=

La rete da esaminare è mostrata in figura 2d.

Si osservi che il calcolo della corrente I* può effettuarsi, dato che è I1=0A, applicando la regola del partitore resistivo di corrente, atteso chelacorrente I*circola nella serie delle due resistenze di valore 3R ciascuna, e l’equivalente è connessa, a sua volta, in parallelo con la resistenza di valore 3R.

Si ottiene, pertanto, la relazione seguente:

R

µ µ µ µ V

1

I2=0 3R

V

2

3R 3R

R

I

1

V

1

+ + + +

− −

(figura – 2c) IP

R

µ µ µ

µ V

₁

I

2

3R

V

2

3R 3R

R

V

₁

⁺ ⁺ ⁺ ⁺

− −

I1=0

I*

(figura – 2d)

(9)

2 2

2

3 * 1 9

3 3

* 3 I I I

R I R R I

R R

I R ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

+

= +

Sempre per ispezione diretta della rete di figura 2d, si evince che il calcolo dalla corrente I*, data la natura del collegamento delle tre resistenze di valore 3R sopra esplicitato, può determinarsi con la relazione seguente:

2 2

2

) 6 3 3 * 9 * 3

( 3

* ) 3 3

( R + R I = R ⋅ I − I ⇒ RI = RI − RI ⇒ RI = RI

ovvero, parimenti, con la scrittura di seguito esplicitata:

2 2

2

6 * ( 18 9 ) 6 * 2

)]

3 3 ( 3 [

* ) 3 3

( R + R I = R R + R ⋅ I ⇒ RI = R R I ⇒ RI = RI

Ciò premesso, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso consente di relazionare come segue:

2 1

1 1

1

V 3 RI * RI ( 1 ) V 3 R ( I 3 ) ( 1 ) V RI

V − µ = + ⇒ − µ ⋅ = ⋅ ⇒ − µ ⋅ =

, da cui:

) 1 ( 1 )

1 ( )

1 (

₂ ₀ ² ₂

12 1 2

1

µ µ

µ ⋅ ⋅ = −

= −

⇒ =

− ⋅

=

R I I

R I

R V R I

V

A I

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita fornisce la relazione che di seguito si riporta:

2 2

1 2 2

1

2

V [ 3 R ( 3 R 3 R ) ] RI V V 2 RI RI

V − µ = + + ⇒ − µ = +

Il ricorso all’utilizzo della relazione che intercorre fra la tensione V1 e la corrente I2, determinata nel precedente calcolo del parametro R12, consente di esplicitare la seguente scrittura:

2 2

2

( 1 )

) 1 ( 3 3

) 1 3 (

) 1

( R R I

V I

R R V

I RI

V R ⋅

−

= +

⋅ ⇒

 

 



 +

= −

= ⇒

−

− ⋅

µ µ µ

µ

Completando i necessari passaggi algebrici si perviene alla relazione conclusiva:

2 2

2

( 1 )

) 2 3 ( )

1 (

3 3 R I

V R I

R

V R ⋅

−

⋅

= −

⋅ ⇒

−

= +

µ µ µ

µ µ

da cui consegue che:

) 1 (

) 2 3 ( 1 )

1 (

) 2 3 (

2 2 2 0

22 2

1

µ

µ µ

µ

−

= −

⋅

− ⋅

⋅

= −

=

R I I

R I

R V

A I

La procedura delle prove semplici conferma, pertanto, la validità delle relazioni che determinano i quattro parametri resistivi e che, per completezza, si riportano di seguito:

) 1 (

) 2 3 ( )

1 (

) 2 1 ( )

1 ( )

1 (

3

22 21

12

11

µ

µ µ

µ −

= −

−

= +

= −

= − R

R R R R

R R

R

Terzo Metodo: Procedura per Ispezione diretta. La procedura attiene la determinazione delle due funzioni costitutive V1 =ƒƒƒƒ1(I1, I2) e V2 =ƒƒƒƒ2(I1, I2) dall’analisi diretta delle proprietà strutturali della rete da esaminare e che di seguito si mostra mediante la figura 2e.

L’applicazione alla maglia d’ingresso della legge di Kirchhoff delle tensioni consente di relazionare come segue:

1 1

1

V 3 RI RI

V − µ =

_A

+

, da cui:

R RI I

_A

V

3 ) 1

( −

₁

−

₁

= µ

Se si reitera l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia esterna che coinvolge le due sorgenti indipendenti di corrente ed il lato interessato dalla corrente IC, si perviene alla scrittura seguente:

R

µ µ µ

µV

1

I

2

3R

V

2

3R 3R

R

I

₁

V

₁

+ + + +

−

IC

IA IB

(figura-2e)