Operazioni   Generalità   sulle   matrici   Matrici

Matrici 

Generalità sulle matrici 

In matematica, una matrice è uno schieramento rettangolare di oggetti; le matrici di maggiore interesse  sono costituite da numeri come, per esempio, la seguente: 

1 6

3 4

4 2

s

v t



 

 

 

 

 

 

Una matrice di una sola riga è detta matrice riga, una matrice di una sola colonna è detta matrice colonna. 

Le matrici con lo stesso numero di righe e colonne sono dette matrici quadrate di ordine n, dove n è il  numero di righe. 

Operazioni 

Somma 

E’ possibile sommare due matrici A e B ottenendo una matrice C se e solo se le due matrici hanno lo stesso  numero di righe e di colonne.  

La somma è definita in questo modo. 

 

,

,

, ,

1,..., con 1,...,

m n

i j

i j

i j i j

M A a B b

C A B a b

i m

j n



 

 

 

 

 

    

 

  



Esempio: 

1 2 3 4

1 2

3 4

A

a b B c d

a b

C c d

 

  

 

 

  

 

 

 

      

Prodotto per uno scalare 

 

,

,

1,..., con 1,...,

m n

i j

i j

M A a kA ka

i m

j n



 

 

 

  

 

  



1 2 3 4

5 10

5 15 20

A

A

 

  

 

 

  

 

Prodotto di Matrici 

Per eseguire il prodotto le matrici devono essere conformabili. Ovvero il numero di colonne della prima,  deve essere uguale al numero di righe della seconda. 

 

,

,

,

, , ,

1

1,..., con 1,...,

1,...,

dove l'elemento è definito

m n

i j

j k

i k

n

i k i j j k

j

M

A a

B b

i m

j n

k p

C AB c

c a b





 

  

 

  

 

  

  

 

   

 



Es. 

  1° riga:

      2° riga:

      Risultato

Proprietà del prodotto 

( ) ( )

( )

( )

A BC AB C A B C AB AC

B C A BA CA



  

  

NB. Il prodotto non è commutativo. 

Trasposizione di matrice 

Definisco trasposta una matrice in cui sono scambiate tra loro le righe e le colonne. 

 

,

,

1,..., con 1,...,

m n

i j T

i j

M

A a

A a

i m

j n



 

  

 

  

 

  



1 2 1 3

3 4 2 4

A      A

    

   

Proprietà  

 

 

 

T T T

T T T

T T

A B A B

AB B A aB aB

  





Matrice Identica 

E’ una matrice quadrata che ha tutti ‘1’ sulla diagonale principale e ‘0’ nelle altre celle. 

,

n i j

I   



Dove  _,

1

i j

0

j i j i

 _{ } ^{  }

  

Si dice inversa quella matrice che moltiplicata per la matrice stessa da la matrice identica. 

 

invertibile se '

|

A  A M  AA

 I  A A

Proprietà 

‐ l’inversa è unica 

‐

  ^A

^{ A}

‐

    ^A

^{ A}

‐

 

‐

 





Determinazione dell’Inversa (metodo di Gauss) 

Supponiamo di voler determinare l’inversa della seguente matrice. 

2 1 A  1 1 

  

 

Deve essere valido il prodotto 

AA

 I

1

a b

A c d



 

  

 

2 1 1 0

1 1 0 1

a b c d

     

      

     

Scrivo le 4 equazioni che caratterizzano il prodotto. 

2 1

0

2 0

1 a c a c

b d b d

  

  

   

   



Risolvendo il sistema ho che: 

1 0 1 0 a b c d

 

  

  

  



Quindi 

1

1 0

A

 1 0 

     

Dipendenza Lineare 

E’ possibile trascrivere un qualsiasi sistema lineare sottoforma di matrice nel seguente modo  AX=B 

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

...

n n n n

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

    

    

    

 

   



1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

5

... ... ... ...

... ... ... ...

n n n n

n n n

a b c d

a b c x d

A a b c X y B d

z

a b c d

a b c d

a b c x d

a b c y d

z

a b c d

   

     

     

   

        

   

   

   

    

    

   

     

   

   

   

Dove 

1 2

3

...

n

a a a

a

   

   

   

   

rappresenta un vettore in n dimensioni per la variabile x, e così via per le altre.  

Il sistema ha soluzione se è possibile formare il vettore B dei termini noti tramite combinazione lineare  degli altri 2. Esempio 

1 1 0

2 1 1

x y

     

       

     

Vuol dire che 

1 1 0

2 x  1 y 1

     

 

      

     

Questa equazione vettoriale è verificata se e solo se x e y sono entrambi uguali ad 1. 

Determinante 

Ha senso parlare di determinante solamente con le matrici quadrate.  

Data una matrice A a _{i j,} di ordine n vale la seguente proprietà. 

Il complemento algebrico dell’elemento a_{i j}, detA

 

Possiamo quindi definire il determinante in questo modo (sviluppo di Laplace)  

1 1

1

det '

n

i i

i

A a a







Calcolo del determinante 

Se n = 1 il determinante della matrice è lo stesso elemento contenuto. 

Se n = 2  

det det a b a b

A ad bc

c d c d

 

     

 

Ovvero il determinante è dato dalla differenza del prodotto tra gli elementi della diagonale principale e  quelli dell’altra diagonale. 

Se n > = 3 

Si sviluppa il determinante su una riga utilizzando il teorema di Laplace. 

     

     

 

1 1 1 2 1 3

det 1 1 1

a b c

e f d f d e

d e f a b c

h i g i g h

g h i

a ei hf b di fg c dh eg aei ahf bdi bfg cdh ceg aei bfg cdh ahf bdi ceg

  

 

        

 

 

 

      

      

     

Se n = 3 è possibile applicare il teorema di Sarrus, che prevede di calcolare i prodotti sulle tre diagonali in  questo modo: 

a b c a b d e f d e g h i g h

aei bfg cdh ahf bdi ceg

 

 

 

 

 

     

Prendendo col segno positivo i prodotti sulle diagonali parallele alla diagonale principale e col segno  negativo quelli dell’altra diagonale. Vale solo per le matrici 3x3. 

Proprietà del determinante 

‐ Se scambio tra di loro due righe della matrice, il determinante cambia di segno 

‐ Se moltiplico una riga della matrice per uno scalare k allora il determinante viene moltiplicato per k 

‐ Se sommo una riga ad un'altra il determinante non cambia di segno 

‐ Date due matrici A e B e la matrice prodotto C vale 

det AB  det A  det B

‐ detaI_n aⁿ 

‐

det I

 1

Teoremi sul determinante  1° Teorema di Laplace 

Data 

A  M

   ^con i  ^{1, _,} n

1 1

det ' '

n n

ik ik ki ki

k k

A a a a a

 







(Vedi calcolo determinante matrici maggiori di ordine 3 per l’applicazione)  2° Teorema di Laplace 

Data 

A  M

  K ^con i  ^{1, _, e} n j  ^{1, _,} n i   j 

1 1

0 ' ' det

n n

ik jk kj kj ij

k k

a a a a



 







Ovvero date 

'

ij ij ji

A      a A a          a

1

* '

n ik kj k

A a a



 

     

Vale quindi la seguente proprietà 

* det

A A  A I  

Metodo alternativo per la determinazione dell’inversa  Se vale 

* det

A A  A I   Allora 

* 1

det A

A A





Calcolo quindi l’inversa della matrice 

det

a b A c d

A ad bc

 

  

 

 

Calcolo la matrice A star 

*

d c

A b a

  

     

Traspongo la matrice 

*T

d b

A c a

  

     

Divido per il determinante e ottengo l’inversa 

1

d b

ad bc ad bc

A c a

ad bc ad bc



  

   

  

  

   

 

Rango 

Il rango di una matrice è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti. 

Definizioni: 

Sia 

A

‐ Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti 

‐ Il massimo numero di righe linearmente indipendenti 

‐ La dimensione del sottospazio di K^m generato dalle colonne di A 

‐ La dimensione del sottospazio di Kⁿ generato dalle righe di A 

‐ La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare L_A da Kⁿ in Kⁿ seguente: 

‐ Il massimo ordine di un minore invertibile di A  Proprietà: 

Il rango di A può essere al massimo uguale al numero delle sue righe o colonne: 

   



Il rango di A è uguale al rango della sua trasposta. 

    ^A

^{m n ,}

 

Se AB è una matrice prodotto allora il rango della matrice è minore del rango di entrambi. 

^  

^  

^  

Teorema nullità più rango 

In una matrice il rango della matrice più la nullità della matrice è uguale al numero di colonne della matrice. 

La nullità è l’insieme dei vettori che mandano la matrice nello 0 e si trova moltiplicando la matrice di n righe  per un vettore di n incognite e ponendo il risultato di ogni equazione uguale a 0. 

Matrici ortogonali 

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice quadrata a  valori reali che può essere definita in vari modi diversi, tutti equivalenti: 

 Una matrice invertibile la cui trasposta coincide con la sua inversa; 

 Una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo; 

 Una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali. 

T T

AA  A A  I

Le righe e le colonne della matrice sono basi dello spazio e sono legate tra loro attraverso il prodotto  scalare.  

Il più classico esempio di matrice ortogonale è la matrice identica: 

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

 

 

  

 

 

Che determina lo spazio formato dai tre vettori: 

 

 

 

1

2

3

1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1 e

e e





