Operazioni Generalità sulle matrici Matrici

(1)

Matrici

Generalità sulle matrici

In matematica, una matrice è uno schieramento rettangolare di oggetti; le matrici di maggiore interesse sono costituite da numeri come, per esempio, la seguente:

1 6

3 4

4 2

s

v t



 

 

 

Una matrice di una sola riga è detta matrice riga, una matrice di una sola colonna è detta matrice colonna.

Le matrici con lo stesso numero di righe e colonne sono dette matrici quadrate di ordine n, dove n è il numero di righe.

Operazioni

Somma

E’ possibile sommare due matrici A e B ottenendo una matrice C se e solo se le due matrici hanno lo stesso numero di righe e di colonne.

La somma è definita in questo modo.

 

,

, ,

1,..., con 1,...,

m n

i j

i j i j

M A a B b

C A B a b

i m

j n



 

 

 

 

 

    

 

  



Esempio:

1 2 3 4

1 2

3 4

A

a b B c d

a b

C c d

 

  

 

 

  

 

 

 

    

Prodotto per uno scalare

 

,

1,..., con 1,...,

m n

i j

M A a kA ka

i m

j n



 

 

 

  

 

  



1 2 3 4

5 10

5 15 20

A

 

  

 

 

  

 

(2)

Prodotto di Matrici

Per eseguire il prodotto le matrici devono essere conformabili. Ovvero il numero di colonne della prima, deve essere uguale al numero di righe della seconda.

 

,

, , ,

1

1,..., con 1,...,

1,...,

dove l'elemento è definito

m n

i j

j k

i k

n

i k i j j k

j

M

A a

B b

i m

j n

k p

C AB c

c a b





 

  

 

  

 

  

  

 

   

 



Es.

1° riga:

2° riga:

Risultato

(3)

Proprietà del prodotto

( ) ( )

( )

A BC AB C A B C AB AC

B C A BA CA



  

NB. Il prodotto non è commutativo.

Trasposizione di matrice

Definisco trasposta una matrice in cui sono scambiate tra loro le righe e le colonne.

 

,

1,..., con 1,...,

m n

i j T

i j

M

A a

i m

j n



 

  

 

  

 

  



1 2 1 3

3 4 2 4

A      A

T

    

   

Proprietà

 

T T T

T T

A B A B

AB B A aB aB

  



Matrice Identica

E’ una matrice quadrata che ha tutti ‘1’ sulla diagonale principale e ‘0’ nelle altre celle.

,

n i j

I   





Dove _,

1

i j

0 j i j i

 _{ } ^ ^{ }

  

Matrice inversa

Si dice inversa quella matrice che moltiplicata per la matrice stessa da la matrice identica.

 

¹ ¹

invertibile se '

_n

|

_n

A  A M  AA

^

 I  A A

^

(4)

Proprietà

‐ l’inversa è unica

‐

  ^A

^¹ ^¹

^ ^A

‐

    ^A

^¹ ^T

^ ^A

^T ^¹

‐

 

^AB ^¹^^{B A}^¹ ^¹

‐

 

^AB



^{B A}^¹ ^¹



^^{ABB A}^¹ ^¹ ^ÂIA^¹^ ÂA^¹ ^Î

Determinazione dell’Inversa (metodo di Gauss)

Supponiamo di voler determinare l’inversa della seguente matrice.

2 1 A  1 1 

  

 

Deve essere valido il prodotto

AA

^¹

 I

1

a b

A c d



 

  

 

2 1 1 0

1 1 0 1

a b c d

     

      

     

Scrivo le 4 equazioni che caratterizzano il prodotto.

2 1

0 2 0

1 a c a c

b d b d

  

  

   

   



Risolvendo il sistema ho che:

1 0 1 0 a b c d

 

  

  

  



Quindi

1

1 0

A

^

 1 0 

     

(5)

Dipendenza Lineare

E’ possibile trascrivere un qualsiasi sistema lineare sottoforma di matrice nel seguente modo AX=B

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

...

n n n n

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

    

    

    

 

   



1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

5

... ... ... ...

n n n n

n n n

a b c d

a b c x d

A a b c X y B d

z

a b c d

a b c x d

a b c y d

z

a b c d

   

     

     

   

        

   

   

   

    

    

   

     

   

   

Dove

1 2

3

...

n

a a a

a

   

   

   

rappresenta un vettore in n dimensioni per la variabile x, e così via per le altre.

Il sistema ha soluzione se è possibile formare il vettore B dei termini noti tramite combinazione lineare degli altri 2. Esempio

1 1 0

2 1 1

x y

     

       

     

Vuol dire che

1 1 0

2 x  1 y 1

     

 

      

     

Questa equazione vettoriale è verificata se e solo se x e y sono entrambi uguali ad 1.

(6)

Determinante

Ha senso parlare di determinante solamente con le matrici quadrate.

Data una matrice A a _{i j}_, di ordine n vale la seguente proprietà.

Il complemento algebrico dell’elemento a_{i j}, detA

 

1 ^{i j}^

Possiamo quindi definire il determinante in questo modo (sviluppo di Laplace)

1 1

1

det '

n

i i

i

A a a





dove 1 è la prima colonna della matrice.

Calcolo del determinante

Se n = 1 il determinante della matrice è lo stesso elemento contenuto.

Se n = 2

det det a b a b

A ad bc

c d c d

 

     

 

Ovvero il determinante è dato dalla differenza del prodotto tra gli elementi della diagonale principale e quelli dell’altra diagonale.

Se n > = 3

Si sviluppa il determinante su una riga utilizzando il teorema di Laplace.

     

 

1 1 1 2 1 3

det 1 1 1

a b c

e f d f d e

d e f a b c

h i g i g h

g h i

a ei hf b di fg c dh eg aei ahf bdi bfg cdh ceg aei bfg cdh ahf bdi ceg

  

 

        

 

 

      

      

     

Se n = 3 è possibile applicare il teorema di Sarrus, che prevede di calcolare i prodotti sulle tre diagonali in questo modo:

a b c a b d e f d e g h i g h

aei bfg cdh ahf bdi ceg

 

 

 

     

Prendendo col segno positivo i prodotti sulle diagonali parallele alla diagonale principale e col segno negativo quelli dell’altra diagonale. Vale solo per le matrici 3x3.

(7)

Proprietà del determinante

‐ Se scambio tra di loro due righe della matrice, il determinante cambia di segno

‐ Se moltiplico una riga della matrice per uno scalare k allora il determinante viene moltiplicato per k

‐ Se sommo una riga ad un'altra il determinante non cambia di segno

‐ Date due matrici A e B e la matrice prodotto C vale

det AB  det A  det B

‐ detaI_n aⁿ

‐

det I

_n

 1

Teoremi sul determinante 1° Teorema di Laplace

Data

A  M

n

   ^con i  ^{1, _,} n

Allora

1 1

det ' '

n n

ik ik ki ki

k k

A a a a a

 









(Vedi calcolo determinante matrici maggiori di ordine 3 per l’applicazione) 2° Teorema di Laplace

Data

A  M

n

  K ^con i  ^{1, _, e} n j  ^{1, _,} n i   j 

1 1

0 ' ' det

n n

ik jk kj kj ij

k k

a a a a



A

 











Ovvero date

'

^T

ij ij ji

A      a A a          a

Definisco la seguente matrice

1

* '

n ik kj k

A a a



 

     

Vale quindi la seguente proprietà

* det

A A  A I

(8)

Metodo alternativo per la determinazione dell’inversa Se vale

* det

A A  A I Allora

* 1

det A

T

A A





Calcolo quindi l’inversa della matrice

det

a b A c d

A ad bc

 

  

 

 

Calcolo la matrice A star

*

d c

A b a

  

     

Traspongo la matrice

*T

d b

A c a

  

     

Divido per il determinante e ottengo l’inversa

1

d b

ad bc ad bc

A c a

ad bc ad bc



  

   

  

  

   

 

(9)

Rango

Il rango di una matrice è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

Definizioni:

Sia

A

_{m n}_ una matrice a valori in campo K. Posso definire il rango come:

‐ Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti

‐ Il massimo numero di righe linearmente indipendenti

‐ La dimensione del sottospazio di K^m generato dalle colonne di A

‐ La dimensione del sottospazio di Kⁿ generato dalle righe di A

‐ La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare L_A da Kⁿ in Kⁿ seguente:

‐ Il massimo ordine di un minore invertibile di A Proprietà:

Il rango di A può essere al massimo uguale al numero delle sue righe o colonne:

   

^A ^{m n}^,





Il rango di A è uguale al rango della sua trasposta.

    ^A

^T

^{m n} ^,

 

Se AB è una matrice prodotto allora il rango della matrice è minore del rango di entrambi.

^  

^AB ^

^  

^A ^

^  

^B

Teorema nullità più rango

In una matrice il rango della matrice più la nullità della matrice è uguale al numero di colonne della matrice.

La nullità è l’insieme dei vettori che mandano la matrice nello 0 e si trova moltiplicando la matrice di n righe per un vettore di n incognite e ponendo il risultato di ogni equazione uguale a 0.

(10)

Matrici ortogonali

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice quadrata a valori reali che può essere definita in vari modi diversi, tutti equivalenti:

 Una matrice invertibile la cui trasposta coincide con la sua inversa;

 Una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo;

 Una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

T T

AA  A A  I

n

Le righe e le colonne della matrice sono basi dello spazio e sono legate tra loro attraverso il prodotto scalare.

Il più classico esempio di matrice ortogonale è la matrice identica:

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

 

 

  

 

 

Che determina lo spazio formato dai tre vettori:

 

1

2

3

1, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1 e

e e

