Matteo Moda Geometria e algebra lineare
Matrici
Dati m,n interi positivi e K un campo, si definisce matrice A di tipo (m,n) a elementi in K una funzione del tipo
m sono le righe della matrice, n sono le colonne della matrice.
Esempio
Operazioni con le matrici
Somma:Esempio
Proprietà della somma:
1) Associativa: (A + B) + C = A +( B + C) 2) Esiste un neutro: X + 0 = 0 + X = X
Matrice nulla: si definisce matrice nulla una matrice con righe e colonne tutte di zeri
3) Per ogni A esiste un – A tale che: A + (-A) = A – A = 0 4) Commutativa: A + B = B + A
Le prime tre proprietà formano un gruppo che, se inclusa la 4° proprietà si chiama “gruppo commutativo”
Differenza: A – B = A + (-B)
Due matrici si dicono conformabili se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice
Sommatorie:
Prodotto di matrice (righe per colonne):
Proprietà del prodotto (e somma):
Associativa: A(BC)=(AB)C
Distributiva rispetto alla somma: A(B+C)=AB+AC ; (B+C)A=BA+CA
Il prodotto di matrici NON è commutativo:
Prodotto scalare per matrice:
Matrice trasposta: in una matrice trasposta le righe diventa colonne e viceversa
Matteo Moda Geometria e algebra lineare
Proprietà matrice trasposta:
solo se quadrata e simmetrica
Una matrice simmetrica è una matrice quadrata del tipo:
Matrice triangolare:
Alta o superiore:
Bassa o inferiore:
Diagonale:
Matrice scalare:
Matrice unità (identica):
Esempio
con
Matrice inversa:
(per il calcolo vedere la scheda “Matrice Inversa”)
Proprietà della matrice inversa
L’inversa è unica
Matteo Moda Geometria e algebra lineare
(
Se A,B sono invertibili, allora il loro prodotto è invertibile
Il gruppo lineare delle matrice invertibili gode delle seguenti proprietà:
Associativa
Esiste il neutro
Ogni elemento ammette il simmetrico AA’=A’A=I
Il gruppo NON è COMMUTATIVO
Complemento algebrico: Il complemento algebrico di un elemento ai,j appartenente a una matrice M è il determinante della matrice che si ottiene eliminando la riga e la colonna a cui appartiene a moltiplicato per -1 elevato alla somma della n colonna e della n riga a cui appartiene a, cioè:
Determinante: Il determinante di ordine n è la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ciascuno degli elementi della prima colonna per il proprio complemento algebrico,cioè:
Il determinate della matrice identica è = a 1
1 Teorema di Laplace:
Teorema di Binet: