Operazioni con le matrici Matrici

(1)

Matteo Moda Geometria e algebra lineare

Matrici

 Dati m,n interi positivi e K un campo, si definisce matrice A di tipo (m,n) a elementi in K una funzione del tipo

m sono le righe della matrice, n sono le colonne della matrice.

Esempio



Operazioni con le matrici



Somma:

Esempio

 Proprietà della somma:

1) Associativa: (A + B) + C = A +( B + C) 2) Esiste un neutro: X + 0 = 0 + X = X

 Matrice nulla: si definisce matrice nulla una matrice con righe e colonne tutte di zeri

3) Per ogni A esiste un – A tale che: A + (-A) = A – A = 0 4) Commutativa: A + B = B + A

Le prime tre proprietà formano un gruppo che, se inclusa la 4° proprietà si chiama “gruppo commutativo”

 Differenza: A – B = A + (-B)

 Due matrici si dicono conformabili se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice

 Sommatorie:

 Prodotto di matrice (righe per colonne):

 Proprietà del prodotto (e somma):

 Associativa: A(BC)=(AB)C

 Distributiva rispetto alla somma: A(B+C)=AB+AC ; (B+C)A=BA+CA

 Il prodotto di matrici NON è commutativo:

 Prodotto scalare per matrice:

 Matrice trasposta: in una matrice trasposta le righe diventa colonne e viceversa

(2)

 Proprietà matrice trasposta:



 solo se quadrata e simmetrica

 Una matrice simmetrica è una matrice quadrata del tipo:

 Matrice triangolare:

 Alta o superiore:

 Bassa o inferiore:

 Diagonale:

 Matrice scalare:

 Matrice unità (identica):

Esempio

con

 Matrice inversa:

(per il calcolo vedere la scheda “Matrice Inversa”)

 Proprietà della matrice inversa

 L’inversa è unica

(3)



 (

 Se A,B sono invertibili, allora il loro prodotto è invertibile



 Il gruppo lineare delle matrice invertibili gode delle seguenti proprietà:

 Associativa

 Esiste il neutro

 Ogni elemento ammette il simmetrico AA’=A’A=I

 Il gruppo NON è COMMUTATIVO

 Complemento algebrico: Il complemento algebrico di un elemento ai,j appartenente a una matrice M è il determinante della matrice che si ottiene eliminando la riga e la colonna a cui appartiene a moltiplicato per -1 elevato alla somma della n colonna e della n riga a cui appartiene a, cioè:

 Determinante: Il determinante di ordine n è la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ciascuno degli elementi della prima colonna per il proprio complemento algebrico,cioè:

 Il determinate della matrice identica è = a 1

 1 Teorema di Laplace:

 Teorema di Binet:

