Scontro auto

Scontro auto

Due auto partono da una distanza d = 1600m muovendosi una verso l’altra con velocit`a v₁ = 50m/s e v₂ = 30m/s.

1. Dopo quanto tempo, ed in quale punto, si scontrano?

2. Come cambia la risposta alla domanda precedente se tutte e due si muovono verso destra (x positive), con l’auto 1 inizialmente alla sinis- tra dell’auto 2?

3. E se si muovessero verso sinistra (x negative)?

Soluzione

Definiamo un asse x orientato verso destra lungo il quale avviene il moto e riscriviamo la condizione sulle velocit`a come una condizione sui moduli:

|v₁| = 50m/s e |v₂| = 30m/s.

Nel primo caso le auto si muovono una verso l’altra, con l’auto 1 che poni- amo convenzionalmente alla sinistra di 2, cio`e x1(t) < x2(t) fino all’istante dell’impatto. Scriviamo quindi le velocit`a come v₁= 50m/s e v₂ = −30m/s.

Possiamo anche scegliere l’origine dell’asse x che fissiamo sulla posizione dell’auto 1 all’istante iniziale. Allora le leggi orarie si scrivono come:

x1(t) = v1t

x₂(t) = v₂t + d (1)

Lo scontro avverr]‘a all’istante τ definito dalla condizione x₁(τ ) = x₂(τ ).

Da cui si ricava:

τ = d

v1− v₂ = 1600m

50m/s + 30m/s = 20s (2)

Il punto di incontro (scontro) `e:

x1(τ ) = x2(τ ) = v1

v₁− v₂d = 1000m (3)

Si noti che prendendo l’origine degli assi nel punto intermedio d/2, il sistema (1) diventa:

x₁(t) = v₁t − d/2

x₂(t) = v₂t + d/2 (4)

1

Applicando la condizione x₁(τ ) = x₂(τ ) si trova lo stesso valore per τ (verificate!), mentre la coordinata del punto di incontro cambia:

x₁(τ ) = x₂(τ ) = v₁+ v₂

v₁− v₂d = 400m (5)

Notare che, come atteso, se |v₁| > |v₂| la collisione avviene a destra dell’origine (x > 0), mentre se |v₁| < |v₂| la collisione avviene a sinistra dell’origine (x < 0),

Se adesso entrambe le auto si muovono verso destra, o verso sinistra, la soluzione trovata in (2) si mantiene valida, quello che cambia `e il segno della velocit`a, che sar`a sempre positiva o sempre negativa rispettivamente per moti verso destra o verso sinistra.

Di conseguenza, per moto verso destra v₁= +50m/s e v₂ = +30m/s:

τ = d

v₁− v₂ = 1600m

50m/s − 30m/s = 80s (6)

mentre per moto verso sinistra v₁= −50m/s e v₂ = −30m/s:

τ = d

v₁− v₂ = 1600m

−50m/s + 30m/s = −80s (7)

Quale `e il significato di τ < 0? Le auto si muovono nella stessa direzione (x negativi) e quella davanti, rispetto alla direzione di moto, si muove pi`u velocemente e quindi si allontana rispetto a quella dietro. Il punto nel quale le auto erano appaiate `e accaduto nel passato, 80s prima che lo zero del cronometro scattasse.

Graficamente, queste tre situazioni sono rappresentate nei grafici seguenti.

Figure 1:

2