Auto e proiettile
Un’auto parte da ferma con accelerazione aA= 12m/s2. Dopo un tempo τ = 4sec un proiettile viene sparato dal punto di partenza verso l’auto con velocit`a vP. Quale `e il valore minimo di vP affinch´e il proiettile raggiunga l’auto? In che istante viene colpita l’auto per questa condizione limite?
Soluzione
Scriviamo la legge oraria s(t) per l’auto (moto uniformemente accelerato) e per il proiettile (moto rettilineo uniforme).
sA(t) = 12aAt2
sP(t) = vP(t − τ ) (1)
Si noti il modo conveniente usato per scrivere la legge oraria del proiettile.
Per il moto rettilineo uniforme si ha s(t) = vt + s0. In questo caso il proiettile si comporta come se fosse stato sparato nello stesso istante in cui parte l’auto (t = 0) ma da una posizione s0 = −vPτ , cio`e con coordinata negativa.
La scrittura s(t) = vP(t − τ ) si pu`o interpretare come una traslazione dell’origine dei tempi: s(t0) = vPt0, con t0 = t − τ . In questa interpretazione, il proiettile parte da s = 0 all’istante t0 = 0.
L’impatto si ha dopo un tempo t1 per il quale sA(t1) = sP(t1).
aAt21 = 2vP(t1− τ ) → aAt21− 2vPt1+ 2vPτ = 0 (2) Questa equazione ha soluzioni reali per ∆ = vP2 − 2vPaAτ ≥ 0. In particolare, la condizione limite `e data da ∆ = 0 da cui si ricava
vP = 2aAτ = 96m/s e
t = 2τ = 8s .
La velocit`a di uscita di un proiettile per pistole di piccolo calibro `e di circa 250m/s per cui la fuga non `e possibile! Tuttavia, dopo 4 secondi, l’auto ha compiuto s = 1/2at2 = 96m e viaggia gi`a a vA= at = 48ms = 173km/h, per cui non `e facile da colpire!!!
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Notare che la soluzione implicitamente scartata dell’equazione 2, vP = 0, si riferisce al proiettile fermo nel punto di partenza dell’auto all’istante t = 0 prima che venga sparato.
Geometricamente, risolvere il problema equivale a trovare le tangenti alla parabola in equazione (1) passanti per il punto di coordinate (t = τ, s = 0), come mostrato in figura.
Figure 1:
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