• Rango di una matrice.

Geometria Lingotto.

LeLing8: Rango e Teorema di Rouch´ e-Capelli.

A ¯ rgomenti svolti:

• Rango di una matrice.

• Teorema di Rouch´e-Capelli.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 11 .

Rango di una matrice

Abbiamo visto che un sistema lineare non-omogeneo (A|B) rappresenta il problema di es- primere la colonna B come combinazione lineare delle colonne della matrice A. Dunque il sistema (A|B) e’ compatibile se e solo se C A = L(A 1 , · · · , A n ) = L(A 1 , · · · , A n , B).

Ricordiamo che associati a una matrice M ∈ M ^n,m sono due sottospazi molto im- portanti denotati con R M e C M , definiti cos´ı :

R _M := L(R ₁ , R ₂ , · · · , R _n ) , C _M := L(C ₁ , C ₂ , · · · , C _m )

R _M e’ un sottospazio di R _m , cioe’ dello spazio vettoriale di tutte le righe con m elementi, percio’ R _M si chiama il sottospazio righe di M .

Osservare che C _M e’ un sottospazio di C _n , cioe’ dello spazio vettoriale delle colonne con n elementi, percio’ C _M si chiama il sottospazio colonne di M .

Definition 0.1. Sia M una matrice. Il rango riga ρ _R (M ) e’ la dimensione dello spazio delle righe R _M , cioe’ ρ _R (M ) := dim(R _M ). In modo analogo il rango colonna ρ _C (M ) e’

la dimensione dello spazio delle colonne C _M ,cioe’ ρ _C (M ) := dim(C _M ) .

Proposizione 0.2. Un sistema (A|B) e’ compatibile se e solo se ρ _C (A) = ρ _C (A|B).

Dimostrazione. Un sistema e’ compatibile se e solo se C _A = L(A ₁ , · · · , A _n ) = L(A ₁ , · · · , A _n , B) = C _(A|B) . Allora il sistema e’ compatibile se e solo se ρ _C (A) = ρ(A|B).

2

Ecco il Teorema del rango:

Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing8 1 Geometria

0.1 Calcolo del rango Geometria Lingotto.

Teorema 0.3. Il rango riga e’ uguale al rango colonna:

ρ _R (M ) = ρ _C (M )

Siccome e’ possibile dare una dimostrazione molto facile dopo essersi familiarizzati con il calcolo di matrici, e’ meglio rinviare la dimostrazione.

0.1 Calcolo del rango

Data una matrice A e’ facile calcolare il rango ρ(A). Semplicemente si pensa A come la matrice di un sistema omogeneo e si applica la tappa di Gauss. Terminata la tappa di Gauss il rango di ρ(A) e’ il numero di righe non nulle.

Esempio 0.4. Ecco come si calcola il rango della matrice A =





1 5 1 2 1 1 3 6 2



:





1 5 1 2 1 1 3 6 2





R

−2R

⇒





1 5 1

0 −9 −1

3 6 2





R

−3R

⇒





1 5 1

0 −9 −1 0 −9 −1





R

/−9

⇒





1 5 1

0 1 1/9 0 −9 −1





e finalmente otteniamo





1 5 1

0 1 1/9

0 0 0



 eseguendo R ₃ + 9R ₂ . Dunque il rango di A e’

2.

Notare che nell’esempio precedente non e’ necesario terminare la tappa di Gauss. In- fatti il rango della matrice





1 5 1

0 −9 −1 0 −9 −1



 e’ due, siccome possiamo trascurare l’ultima riga che e’ uguale alla penultima.

La tappa di Gauss permette di calcolare il rango poiche’ le operazioni elementari non modificano il rango della matrice, cioe’ due matrici equivalenti per righe hanno lo stesso rango. Dunque la tappa di Gauss semplicemente ci procura una matrice il cui rango e’ facile di calcolare tramite il racconto delle righe linealmente independenti, cioe’

quelle non nulle.

Teorema di Rouch´ e-Capelli

Dopo il teorema del rango, ecco il Teorema di Rouch´ e-Capelli:

Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing8 2 Geometria

0.1 Calcolo del rango Geometria Lingotto.

Teorema 0.5. (Rouch´ e-Capelli) Sia A una matrice con m righe e n colonne.

(i) Il sistema lineare (A|B) e’ compatibile se e soltanto se si ha:

ρ(A) = ρ(A|B) .

(ii) Inoltre, se il sistema (A|B) e’ compatibile allora il numero di incognite libere e’

n − ρ(A). Si usa anche dire in questo caso che il sistema ha ∞ ^n−ρ(A) soluzioni.

Dimostrazione. La parte (i) e’ conseguenza del Teorema del rango e della Propo- sizione 0.2. Invece la parte (ii) e’ conseguenza del fatto che tutte le soluzioni si ottengono tramite il sistema omogeneo associato, cioe’ quello la cui matrice e’ A, e dal metodo di Gauss-Jordan risulta che il numero n − ρ(A) e’ il numero di colonne associate alle incog- nite libere. 2

Esempio 0.6. Consideriamo il sistema S =



 



 



x + 2y + 3z + 4w = 0 4x + 6y + 7z + 8w = 0 5x + 8y + 10z + 12w = 0 10x + 16y + 20z + 24w = 0

. Ecco le

soluzioni:









2z + 4w

− ⁵ ₂ z − 4w z w









Dunque il rango della matrice A e’ 2 = 4 − ρ(A), cioe’ 2. Allora il sistema ha ∞ ² soluzioni.

Ecco un altro esempio.

Esempio 0.7. La matrice A =





1 5 1 2 2 1 1 1 3 6 2 1



 e’ equivalente alla matrice A =





1 0 4/9 0 0 1 1/9 0

0 0 0 1



.

Dunque ρ(A) = 3 e il sistema omogeneo rappresentato da A ha ∞ ¹ soluzioni.

Osservazione importante: Se un sottospazio W e’ definito come le soluzioni di un sistema omogeneo la cui matrice A ha n colonne allora dim(W) = n − ρ(A).

Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing8 3 Geometria