2. Definizione di sistema lineare, teorema di Cramer, Teorema di Rouch´e- Capelli e calcolo delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo di Gauss Jordan per il calcolo delle soluzioni. Sistemi Omogenei.

PROGRAMMA del corso di: GEOMETRIA (F0001 - 9 crediti)

CdL I livello in FISICA A.A.2011-2012 - I semestre Prof. Barbara NELLI

1. Matrici, operazioni tra matrici, matrici quadrate, triangolari e simmetriche, trasformazioni elementari di riga. Determinanti. Invertibilit´ a di una matrice, metodo di Gauss per calcolare l’inversa, minori di una matrice, caratteristica di una matrice. Teorema dell’orlato. Rango di una matrice.

2. Definizione di sistema lineare, teorema di Cramer, Teorema di Rouch´e- Capelli e calcolo delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo di Gauss Jordan per il calcolo delle soluzioni. Sistemi Omogenei.

3. Spazi e Sottospazi, combinazioni lineari, indipendenza linear e e basi, dimensione di uno spazio vettoriale, teorema del completamento ad una base.

4. Coordinate. Matrice del cambiamento di base. Somma e intersezione di sottospazi, somme dirette, formula di Grassmann.

5. Definizione di applicazione lineare. Esempi di applicazioni lineari e non.

Nucleo e immagine. Matrice associata ad un’applicazione lineare.

6. Come cambia la matrice associata ad un’applicazione lineare quando cam- biano le basi. Matrici simili. Definizione di autovalori e autovettori di una matrice e di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Molteplicita’ algebrica e geometrica di un autovalore. Autovalori regolari.

7. Diagonalizzazione di una matrice. Prodotto scalare canonico in R

e prodotto vettoriale. Volume del solido generato da tre vettori linearmente in- dipendenti. Forme bilineari e prodotti scalari.

8. Matrice associata ad un prodotto scalare. Matrici congruenti. Esistenza di una base ortogonale. Sottospazio ortogonale. Ortogonalizzazione di Gram- Schmidt.

9. Numeri complessi: definizioni, rappresentazione algebrica e polare. Potenze e radici di un numero complesso.

10. Endomorfismi simmetrici e matrici associate. Definizione di una funzione distanza su uno spazio vettoriale con un prodotto scalare definito positivo. En- domorfismi unitari e matrici associate rispetto ad una base ortonormale. Matrici ortogonali. Caratterizzazione delle matrici di O(2) e O(3).

11. Prodotti hermitiani, matrici hermitiane, endomorfismi hermitiani. Una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori reali. Teorema Spettrale. Ogni ma- trice simmetrica ´e diagonalizzabile. Matrici associate alle riflessioni del piano.

Coniche. Classificazione metrica e classificazione affine.

12. Rette nel piano e nello spazio: equazioni parametriche e cartesiane.

Posizione reciproca, parallelismo e ortogonalit´ a. Rette sghembe. Equazioni

parametriche e cartesiane di un piano in R

. Posizioni reciproche di rette e

piani nello spazio. Vettore normale ad un piano.

13. Curve parametrizzate nel piano e nello spazio. Funzioni iperboliche.

Retta tangente e piano osculatore ad una curva. Ascissa curvilinea o parametro d’arco. Riferimento di Frenet. Formule di Frenet.

14. Esempi di superfici parametrizzate. Definizione di superficie regolare parametrizzata. Curve coordinate. Piano tangente ad una superficie regolare.

Vettore normale unitario ad una superficie regolare. Superfici di rotazione.

Superfici rigate. Superfici grafico di funzioni differenziabil.

Libri di Testo Consigliati:

F. Capocasa, C. Medori: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Santa Croce.

M. Abate, Geometria, McGraw Hill.

S. Abeasis, Algebra lineare e geometria, Zanichelli.

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