Capitolo 3
Matrici
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia
Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare
Definizione (Matrice)
Una matrice A ∈ MR(k, n) è una tabella rettangolare di numeri, detti entrate, di k righe e n colonne:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
ak1 ak2 · · · akn
oppure, in forma più sintetica:
A = (aij) ; i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n
Definizione (Somma di matrici) Date le matrici A, B ∈ MR(k, n):
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
ak1 ak2 · · · akn
, B =
b11 b12 · · · b1n
b21 ... ··· b2n
... ... ... ...
bk1 bk2 · · · bkn
la matrice A + B è definita come:
A + B =
a11+ b11 a12+ b12 · · · a1n+ b1n
a21+ b21 ... · · · a2n+ b2n
... ... ... ...
Definizione (Moltiplicazione matrice-scalare) Data le matrice A ∈ MR(k, n) e lo scalare λ ∈ R:
A =
a11 a12 · · · a1n a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
ak1 ak2 · · · akn
, λ ∈ R
il prodotto λA è la matrice definita come:
λA ==
λa11 λa12 · · · λa1n
λa21 ... ··· λa2n
... ... ... ...
λak1 λak2 · · · λakn
Definizione (Moltiplicazione matrice-vettore)
Data le matrice A ∈ MR(k, n) e il vettore X ∈ Rn, il prodotto tra la matrice A e il vettore X è il vettore così definito:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
ak1 ak2 · · · akn
, X =
x1
...
xn
AX =A1 | A2 | · · · | An·
x1
...
xn
= x1A1+ x2A2+ · · · + xnAn
Definizione (Prodotto tra matrici)
Date le matrici A ∈ MR(k, n)e B ∈ MR(n, h), la matrice prodotto AB è la matrice così definita:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
ak1 ak2 · · · akn
, B =
b11 b12 · · · b1h
b21 ... ··· b2h
... ... ... ...
bn1 bn2 · · · bnh
k×nA · B
n×h=
→AB
k×h
AB =AB1 | AB2| · · · | ABh
Definizione (Prodotto tra matrici)
In forma meno analitica possiamo scrivere tale prodotto nella seguente forma:
AB =
(a11b11+ · · · a1nbn1) · · · (a11b1h+ · · · + a1nbnh) (a21b11+ · · · + a2nbn1) · · · (a21b1h+ · · · + a2nbnh)
... ... ...
(ak1b11+ · · · + aknbn1) · · · (ak1b1h+ · · · + aknbnh)
NB:E’ possibile fare il prodotto AB sono se il numero di colonne della matrice A coincide con il numero di righe della matrice B!
Definizione (Matrice trasposta)
Data la matrice A ∈ MR(k, n), la sua trasposta è la matrice così definita:
•se A è un vettore riga, AT è semplicemente il vettore A messo per colonna;
•se A è un vettore colonna, AT è semplicemente il vettore A messo per riga;
•in generale la matrice AT è la matrice le cui colonne sono le righe di A trasposte:
AT =(A1)T | (A2)T | · · · | (Ak)T
Definizione (Matrice reale simmetrica)
Data la matrice A ∈ MR(k, n), essa è detta essere una matrice reale simmetricase:
A = AT
Algoritmo - Calcolo del determinante
Data la matrice quadrata A ∈ MR(n), il determinante della matrice A può essere calcolato nei modi seguenti a seconda del valore di n:
• n = 2:
A = a b c d
!
=⇒ det (A) = ad − bc
• n = 3 =⇒Regola di Sarrus :
A =
a b c d e f g h i
Algoritmo - Calcolo del determinante
|A| =
a b c a b
d e f d e
g h i g h = (aei+bfg+cdh) − (bdi +afh+ceg)
Algoritmo - Calcolo del determinante n ≥ 3 =⇒Teorema di Laplace:
per righe:
det (A) =
n
X
i =1
(−1)i +jaijdet A[i ,j]
per colonne:
det (A) =
n
X
j=1
(−1)i +jaijdet A[i ,j]
Esempio (Sviluppo del determinante lungo la prima colonna)
|A| =
a b c d e f g h i
= a
e f h i
− d
b c h i
+ g
b c e f
Calcolo del determinante
A ∈ MR(n) è una matrice triangolare (superiore, inferiore o diagonale):
det (A) =
n
Y
i =1
aij
Esempio (Determinante di una matrice triangolare)
|A| =
8 3 1 0 1 1 0 0 3
= 8 × 1 × 3 = 24
Osservazione (Una cosa utile...)
Per determinare qual è il segno che bisogna dare a ciascun coefficiente quando si calcola il determinante, cioè sapere per ogni coefficiente qual è il risultato di (−1)i +j, si può usare la seguente tabella (qui nel caso di una matrice 4 × 4):
"matrice dei segni" =
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +
Teorema (Teorema di Binet)
Il determinante del prodotto di due matrici A, B ∈ MR(n) è dato dal prodotto dei determinanti:
det (AB) = det (A) det (B)
Definizione (Matrice invertibile)
Data le matrice A ∈ MR(n), essa è invertibile se esite la matrice A−1 tale che:
AA−1 = In, ovvero se:
det (A) 6= 0
Esistono due metodi principali per determinare l’inversa di una matrice invertibile.
Algoritmo - Metodo 1 Data la matrice A ∈ GL (n, R):
A =
a11 a12 · · · a1n a21 ... ··· a2n
... ... ... ...
an1 an2 · · · ann
si considera la base di Rn i cui vettori sono le colonne della matrice A:
BA =
a11 a21 ...
,
a12 a22 ...
, · · · ,
a1n a2n ...
Algoritmo - Metodo 1
Si determinano quindi le coordinate dei vettori della base canonica di Rn, BC = [e1, e2, . . . , en], rispetto alla base BA:
[e1]B
A =⇒
1 0...
0
= λ1
a11 a21
...
an1
+ · · · + λn
a1n a2n
...
ann
[e2]B
A =⇒
0 1...
0
= λ1
a11
a21 ...
an1
+ · · · + λn
a1n
a2n ...
ann
... ... ...
Algoritmo - Metodo 1
[en]B
A =⇒
0 0...
1
= λ1
a11
a21 ...
an1
+ · · · + λn
a1n
a2n ...
ann
La matrice A−1 è quindi la matrice che ha come colonne le coordinate dei vettori della base canonica di Rn rispetto alla base costituita dalle colonne di A, cioè BA:
A−1 =[e1]B
A, [e2]B
A, . . . , [en]B
A
Algoritmo - Metodo 2 (Formula di Cramer) La matrice A−1 è la matrice così definita:
A−1 = 1
det (A)(αij) dove:
αij = (−1)i +j · A[j,i ]
Osservazione (Inversa di una matrice 2 × 2)
Se A ∈ GL (2, R), allora la formula di Cramer dà il seguente risultato:
A−1 = 1 ad − bc
d −b
−c a
!
Definizione (Rango di una matrice)
Data la matrice A ∈ MR(k, n), il rango di A è la dimensione del sottospazio di Rk generato dalle colonne di A:
rg (A) = dimSpanA1, A2, . . . , An
In particolare si ha che:
rg (A) ≤ min (k, n)
Quindi vale quanto affermato nella seguente tabella:
Definizione (Rango di una matrice) Caso 1: n ≤ k : il rango massimo è n.
rg (A) = n ⇐⇒le colonne di A sono linearmente indipendenti (generano un sottospazio di Rk di dimensione n).
Caso 2: k ≤ n : il rango massimo è k.
rg (A) = k ⇐⇒le colonne di A sono un sistema di generatori di Rk. Caso 3: k = n : il rango massimo è n.
rg (A) = n ⇐⇒le colonne di A sono una base di Rn
Definizione (Sottomatrice, minore, orlato) Sia A una matrice di ordine k × n.
•Una sottomatrice di A è una matrice A0 che è possibile ottenere cancellando righe e colonne di A.
•Il determinante di ogni sottomatrice quadrata di A viene chiamato minore della matrice A.
•Diremo che un minore ∆ è di ordine h se è il determinante di una sottomatrice h × h.
•Data una sottomatrice A0 ⊂ A di ordine r, un orlato di A0 è una sottomatrice A” di ordine r + 1 tale che A0⊂ A” ⊂ A. Esistono due metodi per calcolare il rango: il primo viene usato nelle matrici le cui entrate sono numeri puri; il secondo viene usato quando si ha a che fare con matrici parametriche.
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di Kronecker)
Sia A una matrice di ordine k × n. Sia A0 una sottomatrice di A di ordine r con determinante non nullo. Se tutti gli orlati di A0 hanno determinante nullo allora rg (A) = r.
Utilizzando tale criterio possiamo calcolare il rango di una matrice A nel seguente modo:
1)Si fissa una sottomatrice A(1) di ordine 1 (ovvero un’entrata) non nulla.
2)Si considerano tutti gli orlati di tale sottomatrice. Se i corrispondenti minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A è 1. Altrimenti si fissa un’orlato A(2) (quindi di dimensione 2 × 2) con determinante diverso da 0.
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di Kronecker)
3)Si considerano tutti gli orlati di A(2). Se i corrispondenti minori sono tutti nulli, si deduce che il rango di A è 2.
Altrimenti si fissa un orlato A(3) (quindi di dimensione 3 × 3 con determinante diverso da 0.
4)Si considerano tutti gli orlati di A(3). Se i corrispondenti minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A è 3.
Altrimenti si fissa un orlato A(4) con determinante non nullo.
5)Si ripete ricorsivamente la procedura esposta sopra fino ad arrivare al calcolo del rango (vedi un esempio a pag. 229-230 del libro).
Algoritmo - Metodo 2 (per matrici parametriche) 1)Si prende la sottomatrice più grande possibile e se ne calcola il minore in funzione dei parametri contenuti nella matrice;
2)Si pone il minore calcolato uguale a 0 e si determina quindi per quali valori di h tale minore è nullo: per tutti i valori di h diversi da quelli trovati, si può affermare che il rango della matrice è massimo e pari al numero di righe e colonne della sottomatrice a cui il minore appartiene;
3)Per i valori di h che rendono nullo il minore precedentemente calcolato, si procede sostituendo tali valori all’interno della matrice, verificando quindi con il Metodo di Kronecker qual è il rango della matrice per ciascun valore di h sostituito nella matrice (vedi un esempio a pag. 231 del libro).
Osservazione (Numero di minori estraibili da una matrice) Il numero di minori di ordine p estraibili da una matrice di ordine k × n è:
n° minori = k p
! n p
!
=
k!
p! (k − p)!
n!
p! (n − p)!
Osservazione (Numero degli orlati di una matrice)
Sia A ∈ MR(k, n). Data una sottomatrice A0 ⊂ Adi ordine h < k, n, si possono costruire un numero di orlati pari a:
n° orlati di A0 = (k − h) (n − h)
Problema (Effettuare un cambiamento di base)
Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n, consideriamo due basi distinte in V : B = {u1, . . . , un}, D = {w1, . . . , wn}.
Dato un vettore v ∈ V , vogliamo calcolare le sue coordinate rispetto alle due basi: [v]B e [v]D.
Supponendo di conoscere le coordinate dei vettori della base D rispetto alla base B , ∃ un modo per effettuare il cambio di coordinate nei due sensi:
Algoritmo - Da coordinate in D a coordinate in B Supponiamo di conoscere le coordinate del vettore v rispetto alla base D, cioè [v]D = (µ1, . . . , µn). allora si ha che:
[v ]B =
x1
x2 ...
xn
= µ1[w1]B+ µ2[w2]B+ · · · + µn[wn]B
Tale relazione può essere riscritta come:
[v ]B = A · [v ]D = ([w1]B | · · · | [wn]B) ·
µ1 µ2
...
µn
, (1)
dove la matrice A = M è detta matrice di cambiamento di
Algoritmo - Da coordinate in B a coordinate in D Dall’equazione (1) della slide precedente possiamo facilmente ricavare che le coordinate del vettore v rispetto alla base D sono date da:
[v ]D= A−1· [v]B,
dove la matrice A−1 è detta matrice di cambiamento di base da B a D.
Osservazione
Nel caso in cui invece di conoscere le coordinate dei vettori della base D rispetto alla base B accadesse l’opposto, ovvero nel caso in cui conoscessimo le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base D, il discorso non cambia: basta solamente rileggere quanto precedentemente scritto invertendo B con D.
