1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003 a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.

(1)

Prove di esame del corso di Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2

Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B

1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003 a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.

b) Discutere l’applicazione del Teorema di Rouchè-Capelli al caso di SL omo- genei.

c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:

A =

· 1 2 2 3

¸ , b =

· 1 α

¸

2 - ESERCIZIO DEL 28 GENNAIO 2003

Una società di rating ha costruito la seguente matrice di transizione tra diverse classi di rating:

AAA BBB CCC

AAA 8/10 2/10 1/10 BBB 2/10 7/10 2/10

CCC 0 1/10 7/10

Una banca possiede 100 obbligazioni corporate di rating AAA, 50 di rating BBB e 20 di rating CCC.

a) Determinare la composizione del portafoglio della banca tra un periodo.

b) Per ogni titolo che fa un salto di classe di rating più elevata la banca realizza un guadagno di 100E (se il salto è di due classi 130E), mentre per ogni titolo che viene retrocesso realizza una perdita di 80E. Determinare i profitti/perdite realizzate dalla banca dopo un periodo.

c) Determinare la composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca.

3- ESERCIZIO DEL 10 GIUGNO 2002

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei votanti da un gruppo politico (A, B) ad un altro:

P =

A B

· 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8

¸

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 2

Alle ultime elezioni la distribuzione dei votanti tra le tre coalizioni era stata:

x (0) = £ ₅₀

100 50 100

¤ T

a) Determinare quale partito raggiungerà una maggioranza relativa nelle prossime elezioni.

b) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli auto- valori sono:

λ 1 = 1; λ 2 = 0, 7

c) Determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo.

4 - ESERCIZIO DEL20 FEBBRAIO 2003

• Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva il sistema lineare omo- geneo Ax = 0 dove

A =





1 0 −1

1 −1 −4

2 1 k





• Determinare l’equazione caratteristica e verificare che per i valori di k per cui la matrice A non ha rango pieno, allora λ = 0 è un autovalore.

• Determinare gli autovettori associati a λ = 0.

5 ESERCIZIO n. 1 DEL 27 OTTOBRE 2001

1) Siano A ∈ R ^m,n e V = {x ∈ R ⁿ : Ax = 0}. Dimostrare che V è uno spazio vettoriale.

2) Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a 2 fattori di rischio:

Fattore 1 Fattore 2

Titolo 1 1 -1

Titolo 2 -1 0

Titolo 3 1 1

La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = £

1 1 1 ¤ T

e il prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = £

10 10 10 ¤ T

.

a) Verificare che la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è rispettivamente 1 e 0 e che il valore corrente del portafoglio è 30.

b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al

primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare

per determinare la nuova composizione.

(2)

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 3

c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la com- posizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.

6 ESERCIZIO n. 2 DEL 27 OTTOBRE 2001

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti da un’azienda automobilistica ad un’altra :

P =

F O V



 

9 10 0 0

1 10 8

10 1 10

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹



 

1) Calcolare x (1) sapendo che dalle ultime ricerche di mercato la distribuzione per- centuale dei clienti tra le tre aziende è:

x (0) = £ ₂₀

100 60 100 20

100 ¤ T

2) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 9

10 ; λ ₃ = 7 10 3) Determinare la distribuzione stazionaria del sistema.

4) Diagonalizzare la matrice di transizione, dato che gli autovettori associati a λ ₂ sono:

x _λ

₂

= t ₂ £

−1 0 1 ¤ T

, t ₂ ∈ R\ {0}

e quelli associati a λ 3 sono:

x _λ

₃

= t ₃ £

0 −1 1 ¤ T

, t ₃ ∈ R\ {0}

7 ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio:

F ₁

∆P ₁ 0.2

∆P ₂ -1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ F 1 e ∆P ₂ ' −1 ∗ F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi dei due titoli sono raccolti nel vettore

P ^T = [100, 100].

• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.

Stabilire se un aumento in F ₁ comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio.

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 4

• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.

Impostare il S.L. per determinare la nuova composizione del portafoglio.

• Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente.

8 - ESERCIZIO DEL 24 GIUGNO 2002

Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a 2 fattori di rischio:

Fattore 1 Fattore 2

Titolo 1 0,2 -0,5

Titolo 2 -2 0

Titolo 3 2 -1

La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = £

1 1 1 ¤ T

e il prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = £

10 10 10 ¤ T

.

a) Determinare la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore cor- rente del portafoglio.

b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare per determinare la nuova composizione.

c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la com- posizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.

9 - ESERCIZIO n. 1 DEL 6 DICEMBRE 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto ad un fattore di rischio

∆F ₁

∆P ₁ 0.2

∆P ₂ -1

∆P ₃ 0.5

dove ∆P _i , i=1, 2, 3, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F quella del fattore di rischio.

a) Assegnata una composizione n = [n ₁ , n ₂ , n ₃ ] ^T , scrivere in termini di n ₁ , n ₂ e n ₃ la sensibilità di portafoglio. Dato che si intende immunizzare il portafoglio scrivere l’equazione che deve essere soddisfatta dal vettore n.

b) Dato che il vettore dei prezzi dei tre titoli è descritto dal vettore P =

[15, 10, 5] ^T , il gestore decide di investire nel titolo 2 un ammontare di capitale doppio

rispetto a quello complessivamente investito nel titolo 1 e nel titolo 3. Tenuto conto

della condizione di immunizzazione del punto precedente, scrivere il sistema che deve

(3)

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 5

essere soddisfatto dal vettore n. Quante soluzioni avrebbe questo sistema? Individ- uarle.

c) Date le infinite soluzioni del punto precedente, determinare l’ammontare di cui deve disporre il gestore dato che intende investire nel titolo 3 esattamente 150E.

10 - ESERCIZIO n. 2 DEL 6 DICEMBRE 2002

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti tra tre diverse aziende (A, B e C):

P =

A B C



 

8 10 0 0

2 10

8 10

1 10

0 ²

10 9 10



 

1) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 4 5 ; λ ₃ = 7

10 2) Dato che

x (0) = £

20 60 20 ¤ T

determinare la distribuzione stazionaria del sistema.

3) La dinamica da un periodo all’altro sarebbe data da x (t) = Px (t − 1).

Come si modificherebbe questa equazione se ogni periodo entrassero 3 nuovi clienti nell’azienda A, 2 in quella B e nessuno nella C?

11 - ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio:

F ₁ T itolo 1 0.2 T itolo 2 -0.1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F del fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ ∆F 1 e ∆P ₂ ' −0.1 ∗ ∆F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono raccolti nel vettore P ^T = [100, 100].

• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.

Stabilire se un aumento in F ₁ comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio.

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 6

• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.

1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003 a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.

Prove di esame del corso di Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2

Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B

1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003 a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.

b) Discutere l’applicazione del Teorema di Rouchè-Capelli al caso di SL omo- genei.

c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:

A =

· 1 2 2 3

¸ , b =

· 1 α

¸

2 - ESERCIZIO DEL 28 GENNAIO 2003

Una società di rating ha costruito la seguente matrice di transizione tra diverse classi di rating:

AAA BBB CCC

AAA 8/10 2/10 1/10 BBB 2/10 7/10 2/10

CCC 0 1/10 7/10

Una banca possiede 100 obbligazioni corporate di rating AAA, 50 di rating BBB e 20 di rating CCC.

a) Determinare la composizione del portafoglio della banca tra un periodo.

b) Per ogni titolo che fa un salto di classe di rating più elevata la banca realizza un guadagno di 100E (se il salto è di due classi 130E), mentre per ogni titolo che viene retrocesso realizza una perdita di 80E. Determinare i profitti/perdite realizzate dalla banca dopo un periodo.

c) Determinare la composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca.

3- ESERCIZIO DEL 10 GIUGNO 2002

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei votanti da un gruppo politico (A, B) ad un altro:

P =

A B

A B

· 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8

¸

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 2

Alle ultime elezioni la distribuzione dei votanti tra le tre coalizioni era stata:

x (0) = £ 50

100 50 100

¤ T

a) Determinare quale partito raggiungerà una maggioranza relativa nelle prossime elezioni.

b) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli auto- valori sono:

λ 1 = 1; λ 2 = 0, 7

c) Determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo.

4 - ESERCIZIO DEL20 FEBBRAIO 2003

• Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva il sistema lineare omo- geneo Ax = 0 dove

A =





1 0 −1

1 −1 −4

2 1 k





• Determinare l’equazione caratteristica e verificare che per i valori di k per cui la matrice A non ha rango pieno, allora λ = 0 è un autovalore.

• Determinare gli autovettori associati a λ = 0.

5 ESERCIZIO n. 1 DEL 27 OTTOBRE 2001

1) Siano A ∈ R m,n e V = {x ∈ R n : Ax = 0}. Dimostrare che V è uno spazio vettoriale.

2) Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a 2 fattori di rischio:

Fattore 1 Fattore 2

Titolo 1 1 -1

Titolo 2 -1 0

Titolo 3 1 1

La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = £

1 1 1 ¤ T

e il prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = £

10 10 10 ¤ T

.

a) Verificare che la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è rispettivamente 1 e 0 e che il valore corrente del portafoglio è 30.

b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al

primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare

per determinare la nuova composizione.

MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. 01/02-02/03 3

c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la com- posizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.

6 ESERCIZIO n. 2 DEL 27 OTTOBRE 2001

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti da un’azienda automobilistica ad un’altra :

P =

F O V

F O V



 

9

10 0 0

1 10 8

10 1 10

0 10 2 10 9



 

x (0) = £ ₅₀

1) Siano A ∈ R ^m,n e V = {x ∈ R ⁿ : Ax = 0}. Dimostrare che V è uno spazio vettoriale.

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹

x (0) = £ ₂₀

λ ₁ = 1; λ ₂ = 9

10 ; λ ₃ = 7 10 3) Determinare la distribuzione stazionaria del sistema.

4) Diagonalizzare la matrice di transizione, dato che gli autovettori associati a λ ₂ sono:

x _λ

= t ₂ £

, t ₂ ∈ R\ {0}

x _λ

= t ₃ £

, t ₃ ∈ R\ {0}

F ₁

∆P ₁ 0.2

∆P ₂ -1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ F 1 e ∆P ₂ ' −1 ∗ F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi dei due titoli sono raccolti nel vettore

P ^T = [100, 100].

Stabilire se un aumento in F ₁ comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio.

∆F ₁

∆P ₁ 0.2

∆P ₂ -1

∆P ₃ 0.5

dove ∆P _i , i=1, 2, 3, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F quella del fattore di rischio.

a) Assegnata una composizione n = [n ₁ , n ₂ , n ₃ ] ^T , scrivere in termini di n ₁ , n ₂ e n ₃ la sensibilità di portafoglio. Dato che si intende immunizzare il portafoglio scrivere l’equazione che deve essere soddisfatta dal vettore n.

[15, 10, 5] ^T , il gestore decide di investire nel titolo 2 un ammontare di capitale doppio