Integrali per sostituzione

(1)

Integrali per sostituzione

• Sostituisco con 𝑡 una funzione 𝑔(𝑥) che si trova all’interno dell’integrale

• Calcolo il valore di 𝑥

• Calcolo il differenziale 𝑑𝑡

• Sostituisco l’integrale 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 con l’integrale 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

• Calcolo l’integrale rispetto a 𝑡

• Sostituisco alla soluzione il valore di 𝑡 assegnato precedentemente

Esempio

a.

1 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥

Riconosco che non è nessuno degli integrali immediati, quindi tentiamo a svolgerlo per sostituzione.

Pongo 𝑥 = 𝑡

Rendo esplicita la 𝑥 e ne calcolo il differenziale:

𝑥 = 𝑡 𝑥 = 𝑡^, 𝑑𝑥 = 2𝑡 ∙ 𝑑𝑡

Passo ora a sostituire tutto all’interno dell’integrale:

1

𝑡^,− 𝑡2𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 2𝑡

𝑡(𝑡 − 1)𝑑𝑡 = 2

𝑡 − 1𝑑𝑡 = 2 1

𝑡 − 1𝑑𝑡 = 2 ln 𝑡 − 1 + 𝐶

Risostituisco al posto della 𝑡 il valore della 𝑥

1

𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 = 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶

b.

𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥 − 5 𝑑𝑥

Pongo 𝑥 − 1 = 𝑡 , da cui ricavando 𝑥 = 𝑡^,+ 1

Calcolo il differenziale

(2)

𝑑𝑥 = 2𝑡 ∙ 𝑑𝑡

pertanto

𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥 − 5 𝑑𝑥 = 𝑡^,+ 1 + 𝑡

𝑡^, + 1 − 52𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 2 𝑡⁴ + 𝑡^,+ 𝑡 𝑡^,− 4 𝑑𝑡

Mi sono ricondotto ad una integrale razionale fratto. Prima di procedere al suo svolgimento sono obbligato ad effettuare la divisione tra polinomi, ottenendo:

2 𝑡⁴+ 𝑡^,+ 𝑡

𝑡^,− 4 𝑑𝑡 = 2 𝑡 + 1 + 5𝑡 + 4

𝑡 − 2 𝑡 + 2 𝑑𝑡

5𝑡 + 4

𝑡 − 2 𝑡 + 2 = 𝐴

𝑡 − 2+ 𝐵

𝑡 + 2= 𝐴 𝑡 + 2 +𝐵 𝑡 − 2

𝑡 − 2 𝑡 + 2 =𝐴𝑡 + 2𝐴+𝐵𝑡 − 2𝐵 𝑡 − 2 𝑡 + 2

=𝑡(𝐴+𝐵) + 2𝐴− 2𝐵 𝑡 − 2 𝑡 + 2

𝐴+𝐵= 5

2𝐴− 2𝐵= 4 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝐴 = 7 2 𝐵= 3 2

2 𝑡 + 1 + 5𝑡 + 4

𝑡 − 2 𝑡 + 2 𝑑𝑡 = 2 𝑡 + 1 𝑑𝑡 + 2

7 2 𝑡 − 2+

3 2 𝑡 + 2𝑑𝑡

= 𝑡^,+ 2𝑡 + 7 ln |𝑡 − 2| + 3 ln |𝑡 + 2| + 𝐶 Ritorno con la variabile 𝑥:

𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥 − 5 𝑑𝑥 = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 − 1 + 7 ln 𝑥 − 1 − 2 + 3 ln 𝑥 − 1 + 2 + 𝐶

Integrali per sostituzione del tipo

In questa tipologia di integrale è conveniente optare per una particolare tipologia di sostituzione.

𝑥 = 𝑎 sin 𝑡

In alternativa possiamo applicare direttamente la formula:

E F𝑎

^,

− 𝑥

^,

𝑑𝑥

(3)

𝑎

^,

− 𝑥

^,

𝑑𝑥 = 1

2 𝑎

^,

arcsin 𝑥 𝑎 + 1

2 𝑥 𝑎

^,

− 𝑥

^,

+ 𝐶

Esempio

16 − 𝑥

^,

𝑑𝑥

Poniamo 𝑥 = 4 sin 𝑡 𝑑𝑥 = 4 cos 𝑡 𝑑𝑡

Sostituiamo all’interno dell’integrale di partenza

16 − 𝑥^,𝑑𝑥 = 16 − 4 sin 𝑡 ^,4 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 16 − 16 sin^,𝑡 4 cos 𝑡 𝑑𝑡

= 16(1 − sin^,𝑡) 4 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 4 cos 𝑡 ∙ 4 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 16 cos^,𝑡 𝑑𝑡

= 16 1 + cos 2𝑡

2 𝑑𝑡 = 16 1 2𝑡 +1

4sin 2𝑡 + 𝐶 = 8𝑡 + 4 sin 2𝑡 + 𝐶

= 8𝑡 + 8 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝐶

Dalla sostituzione effettuata all’inizio deduciamo che 𝑡 = arcsin 𝑥 4,e quindi:

16 − 𝑥^,𝑑𝑥 = 8 arcsin 𝑥 4 + 8 sin(arcsin 𝑥 4) cos(arcsin 𝑥 4) + 𝐶

= 8 arcsin 𝑥 4 + 8 ∙𝑥

4∙ 1 −𝑥^,

16+ 𝐶 = 8 arcsin 𝑥 4 +𝑥

2∙ 16 − 𝑥^,+ 𝐶

1 − sin^,𝑡 = cos^,𝑡

cos𝛼

2= ±O1 + cos 𝛼

2 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 2𝑡 cos^,𝑡 =1 + cos 2𝑡

2

NB:

𝑦 = cos Sarcsin𝑥 4T Ponendo 𝑧 = arcsin 𝑥 4V si ha sin 𝑧 = 𝑥 4V

𝑦 = cos 𝑧 = F1 − sin^,𝑧 = O1 −𝑥^,

16 cosSarcsin𝑥

4^T=^O1 −𝑥^, 16

(4)

Integrali per sostituzione del tipo

In questa tipologia di integrale è conveniente optare per una particolare tipologia di sostituzione.

𝑡 = 𝑥 +

𝑥² ± 𝑎²

Esempio 1

2 + 𝑥

^,

𝑑𝑥

Poniamo 𝑡 = 𝑥 + 𝑥^,+ 2 → 𝑡 − 𝑥 = 𝑥^,+ 2 → 𝑡^,+ 𝑥^,− 2𝑡𝑥 = 𝑥^,+ 2 → 𝑥 = 𝑡^,− 2 2𝑡 Calcolo il suo differenziale

𝑑𝑥 =2𝑡 2𝑡 − (𝑡^,− 2)2

4𝑡^, =4𝑡^,− 2𝑡^,+ 4

4𝑡^, =2𝑡^,+ 4

4𝑡^, =𝑡^,+ 2 2𝑡^, ∙ 𝑑𝑡 Sostituisco quello che ho trovato:

1

2 + 𝑥^,𝑑𝑥 = 1

2 + 𝑡^,− 2 2𝑡

,

𝑡^,+ 2

2𝑡^, 𝑑𝑡 = 2𝑡

𝑡^,+ 2∙𝑡^,+ 2

2𝑡^, 𝑑𝑡 = 1

𝑡𝑑𝑡 = ln |𝑡| + 𝐶

= ln |𝑥 + 𝑥^, + 2| + 𝐶

Integrali per sostituzione con le formule parametriche

In tutti quei casi in cui non riesco a ricondurmi ad un integrale immediato e la funzione integranda contiene soltanto funzione seno o coseno, si ricorre alle formule parametriche:

sin 𝑥 = 2𝑡

1 + 𝑡^, , cos 𝑥 =1 − 𝑡^,

1 + 𝑡^, 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = tg𝑥

2 , 𝑥 = 2 arctg 𝑡 , 𝑑𝑥 = 2 1 + 𝑡^,𝑑𝑡

Esempio

1 4 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 𝑑𝑥

Sostituendo le formule parametriche scritte precedentemente, otteniamo:

E F𝑥

^,

± 𝑎

^,

𝑑𝑥 𝑜 E 1

F𝑥

^,

± 𝑎

^,

𝑑𝑥

(5)

1

4 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥𝑑𝑥 = 1

4 2𝑡1 + 𝑡^,+ 3 1 − 𝑡1 + 𝑡^,^,

∙ 2

1 + 𝑡^,𝑑𝑡 = 1 8𝑡 + 3 − 3𝑡^,

1 + 𝑡^,

2 1 + 𝑡^,𝑑𝑡

= 2

−3𝑡^,+ 8𝑡 + 3𝑑𝑡 = −2 1

3𝑡^,− 8𝑡 − 3𝑑𝑡 = −2 1

(3𝑡 + 1)(𝑡 − 3)𝑑𝑡 Mi sono ricondotto ad un integrale razionale fratto, scompongo la frazione in frazioni semplici.

1

(3𝑡 + 1)(𝑡 − 3)= 𝐴

3𝑡 + 1+ 𝐵

𝑡 − 3= 𝐴+ 3𝐵 𝑡 + −3𝐴+𝐵 3𝑡 + 1 𝑡 − 3

𝐴+ 3𝐵= 0

−3𝐴+𝐵 = 1 𝐴 = − 3 10 𝐵 = 1

10 Quindi possiamo riscrivere l’integrale come:

−2 1

3𝑡 + 1 𝑡 − 3 𝑑𝑡 = −2 − 3 10 3𝑡 + 1𝑑𝑡 +

1 10

𝑡 − 3𝑑𝑡 = 1

5ln 3𝑡 + 1 −1

5ln 𝑡 − 3 + 𝐶

=1

5ln 3𝑡 + 1 𝑡 − 3 + 𝐶

Sapendo che 𝑡 = tg 𝑥 2

1

4 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥𝑑𝑥 =1

5ln 3 tg 𝑥 2 + 1 tg 𝑥 2 − 3 + 𝐶

(6)

TIPOLOGIE INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

TIPOLOGIA SOSTITUZIONE ESEMPIO

Sostituzione semplice LIBERA 1

𝑥 − 3𝑥𝑑𝑥

Sostituzione con formule parametriche

FUNZIONE INTEGRANDA CONTIENE SOLO SENO O COSENO

sin 𝑥 = 2𝑡

1 + 𝑡^, , cos 𝑥 =1 − 𝑡^,

1 + 𝑡^, 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = tg𝑥 2 𝑥 = 2 arctg 𝑡 , 𝑑𝑥 = 2

1 + 𝑡^,𝑑𝑡

1 𝑥 − 3𝑥𝑑𝑥

Funzioni irrazionali del tipo 𝑎^,− 𝑥^,𝑑𝑥

𝑥 = 𝑎 sin 𝑡 oppure 𝑎^,− 𝑥^,𝑑𝑥 =1

2𝑎^,arcsin𝑥 𝑎+1

2𝑥 𝑎^,− 𝑥^,+ 𝐶

81 − 𝑥^,𝑑𝑥

Funzioni irrazionali del tipo

𝑥^,± 𝑎^,𝑑𝑥 𝑜 ^\

𝑥²±𝑎²𝑑𝑥

𝑡 = 𝑥 + 𝑥^,± 𝑎^, 1

𝑥^,− 16𝑑𝑥