Propagazione di onde in un mezzo tridimensionale

Capitolo 4

Propagazione di onde in un mezzo tridimensionale

4.1 Onde progressive in un mezzo linearmente elastico omogeneo

4.1.1 Caso generale

Le onde progressive piane rappresentano una importante classe di soluzioni per le equazioni dell’elastodinamica lineare perch`e pur essendo particolarmente semplici, forniscono apprezz- abili informazioni sulle caratteristiche di propagazione dei corpi elastici. Assegnato un corpo omogeneo B ed un intervallo di tempo [0, t0), un’onda progressiva `e un campo di spostamenti u definito in B × [0, t0) della forma

u(p, t) = a f (m · (p − o) − ct), (4.1) dove f `e una funzione a valori reali di classe C² su (−∞, +∞), con

d²f (s) ds² 6= 0.

I versori a ed m sono detti direzione del moto e direzione di propagazione e la grandezza scalare c rappresenta la velocit`a di propagazione.

Un’onda `e detta longitudinale quando

a × m = 0, e trasversale quando

a · m = 0.

Se il campo di spostamenti ha la forma (4.1), allora

∇u = f⁰a ⊗ m, div u = f⁰a · m, curl u = f⁰a × m,

(4.2)

89

dove

f⁰(p, t) = df (s)

ds |s=(m·(p−o)−ct).

Grazie alle (4.2)2,3, osserviamo che un’onda trasversale `e un particolare moto solenoidale (div u = 0) mentre un’onda longitudinale rappresenta un moto irrotazionale (curl u = 0).

Assegnata la costante α, definiamo il piano

πt= {p | m · (p − o) − ct = α },

il quale `e perpendicolare ad m e si muove con velocit`a c nella direzione m. In ogni is- tante di tempo t fissato, il campo u `e costante in tutti i punti del piano πt e per questo motivo l’onda `e detta progressiva piana. Il piano πtrappresenta il fronte d’onda associato all’ampiezza af (α). Per un corpo elastico B, omogeneo, in cui le forze di volume bⁿⁱ sono nulle, l’equazione del moto (1.22) si scrive:

divC[∇u] = %¨u. (4.3)

Assegnato il campo di spostamenti nella forma (4.1), valgono le uguaglianze divC[∇u] = f⁰⁰C[a ⊗ m]m, e %¨u = %c²f⁰⁰a, cos`ı che la (4.3) diventa:

Ama = c²a, (4.4)

dove Am `e definito tensore acustico associato alla direzione m ed agisce su un qualsiasi vettore a ∈ V in questo modo:

Ama := %⁻¹C[a ⊗ m]m. (4.5)

Per ogni fissata direzione m, un’onda progressiva del tipo (4.1) propaga nel corpo elastico B se `e soddisfatta la (4.4), chiamata condizione di propagazione di Fresnel-Hadamard, la quale dice che per un moto ondoso progressivo il quadrato della velocit`a di propagazione e la direzione del moto sono rispettivamente autovalore ed autovettore del tensore acustico Am. La possibilit`a di propagazione di un’onda in un mezzo elastico, lungo la generica direzione m, `e legata all’esistenza di autovalori reali di Am. Se Am`e definito positivo e simmetrico, si possono avere tre direzioni del moto ai, con i = 1...3, a cui sono associate tre diverse velocit`a di propagazione. In [20] § 70 sono dimostrate le seguenti due proposizioni:

• Am`e simmetrico qualunque sia la direzione m se e solo seC`e simmetrica;

• Am`e definito positivo qualunque sia la direzione m se e solo seC`e fortemente ellittico, ossia se C`e tale cheC[D] · D > 0 qualunque sia D ∈ Lin \ {0}.

Il tensore di elasticit`aColtre ad essere simmetrico possiede le propriet`a di definita positivit`a e di simmetria minore, le quali, insieme, implicano la forte ellitticit`a. Segue che il tensore acustico associato al tensore di elasticit`aC`e simmetrico e definito positivo cos`ı da assicurare la propagazione di onde progressive in tre diverse direzioni. Segnaliamo che il problema agli autovalori (4.4) `e stato studiato in [79] § 71 nell’ambito dell’elasticit`a non lineare.

4.1.2 Caso isotropo

Supponiamo ora che il corpo sia isotropo. L’equazione del moto (4.3) si scrive:

µ∆u + (λ + µ)∇ div u = %¨u, (4.6)

la quale, se applichiamo le relazioni

∆u = div ∇u = af⁰⁰,

∇ div u = (a · m)mf⁰⁰, (4.7)

diventa

µa + (λ + µ)(a · m)m = %c²a. (4.8)

Dall’equazione appena scritta ricaviamo che il tensore acustico per un corpo omogeneo ed isotropo vale:

Am= λ + 2µ

% m ⊗ m +µ

%(I − m ⊗ m), (4.9)

e questa rappresentazione `e proprio la decomposizione spettrale di Amcos`ı che (λ+2µ)/% e µ/% sono gli autovalori del tensore acustico e span{m} e {m}^⊥i rispettivi spazi caratteristici.

Concludiamo che, in un materiale isotropo, propagano solo onde progressive longitudinali e trasversali con velocit`a di propagazione rispettivamente pari a

c = c_L = s

λ + 2µ

% , e c = c_T = rµ

% (vid. [20] § 71, [21] e [17]).

Osservazione. In [1] § 2.10, il generico campo di spostamenti per un mezzo elastico, omogeneo ed isotropo `e rappresentato per mezzo della classica decomposizione di Helmoltz (vid. [20] § 7):

u = ∇ϕ + curl ψ, con div ψ = 0 (4.10)

dove ϕ `e un potenziale scalare e ψ un potenziale vettore solenoidale. Se sostituiamo la (4.10) nell’equazione del moto (4.6), otteniamo

∇[(λ + 2µ)∆ϕ − %¨ϕ] + curl[µ∆ψ − % ¨ψ] = 0, (4.11) la quale `e soddisfatta se

∆ϕ = 1 c²_Lϕ,¨

∆ψ = 1 c²_Tψ.¨

(4.12)

Non appena si assegnano a ϕ e ψ le forme di onda progressiva:

ϕ = Φf (m · (p − o) − ct),

ψ = Ψf (m · (p − o) − ct), (4.13)

le (4.12)1 e (4.12)2 diventano le equazioni di propagazione rispettivamente per le onde lon- gitudinali e per quelle trasversali e i due addendi della (4.10) rappresentano il primo l’onda longitudinale ed il secondo quella trasversale. Infatti se ψ = 0, allora lo spostamento diventa

u = ∇ϕ = mΦf

e costituisce un’onda longitudinale che, per soddisfare la (4.12)1, propaga con velocit`a c_L. Se invece ϕ = 0, lo spostamento si riduce alla forma

u = curl ψ = m × ψf,

il quale costituisce un’onda trasversale che propaga con velocit`a c<sub>T</sub> perch`e sia soddisfatta la (4.12)2. ¤

4.2 Onde di Rayleigh-Lamb in un mezzo coerente

In questo paragrafo studiamo la propagazione di particolari onde armoniche, dette onde di Rayleigh-Lamb, in un corpo a forma di piastra, trasversalmente isotropo, coerentemente orientato, nelle condizioni di vibrazione libera. Ci rifaremo a [1] e [43] dove il materiale che costituisce lo strato `e isotropo. Rimandiamo a [70] per lo studio della propagazione di onde di Rayleigh-Lamb in uno strato anisotropo e a [77], [29] e [74] per lo studio in uno strato elettroelastico.

Introduciamo le ipotesi di vibrazione libera. La prima, di tipo geometrico, prevede che il cilindro sia infinitamente esteso: dopo aver istituito il sistema di riferimento cartesiano (o; c1, c2, z), identifichiamo il corpo con il prodotto cartesiano Ξ = πz× I. D’ora in poi intenderemo con il termine strato il dominio tridimensionale Ξ. Aggiungiamo poi l’ulteriore ipotesi che tanto le forze di volume bⁿⁱche le azioni superficiali ˆs^±sulle facce π^±_z = πz×{±ε}

siano nulle. Sotto queste condizioni, le equazioni del moto si scrivono divC[∇u] = %¨u, in Ξ × [0, t0),

±C[∇u]z = 0, su π^±_z × [0, t0). (4.14) Ricerchiamo, ora, soluzioni per il problema (4.14) che abbiano la forma di un’onda armonica fatta nel modo seguente:

u = (w(ζ)z + v(ζ)c1)g(x, t), (4.15)

con

g(x, t) = exp(i(kc1· (x − o) − f t)), (4.16) detta onda di Rayleigh-Lamb (vid. [28]). La funzione g `e chiamata funzione d’onda, i `e l’unit`a immaginaria e k ed f sono il numero d’onda e la frequenza (gli inversi rispettivamente della lunghezza d’onda λ e del periodo T ). L’onda propaga nella direzione c1con velocit`a

c = f /k.

Si noti che la scelta della coppia di versori c1 e c2 nel piano πz `e arbitraria, e dunque la direzione di propagazione `e del pari generica. Si noti anche che il vettore spostamento (4.15)

dipende solo dalle coordinate x1= c1· (x − o) e ζ, e giace in span(c1, z). L’onda (4.15) `e una particolare onda progressiva, che si distingue dalla (4.1) per il fatto di non essere piana:

il vettore delle ampiezze d(ζ) = (w(ζ), v(ζ))^T non `e costante ma dipende dalla coordinata ζ e quindi anche i fronti d’onda sono funzioni di ζ.

4.2.1 Caso trasversalmente isotropo

Supponiamo ora che il materiale che costituisce lo strato Ξ sia trasversalmente isotropo, co- erentemente orientato, caratterizzato dal tensore di elasticit`a (2.61). Dopo aver decomposto il campo di spostamenti nella somma della sua parte piana e trasversale

u = ˆu + uz, ˆu · z = 0, il problema (4.14) si riscrive:

µ^s∆ˆu + (µ + λ)^s∇^sdiv ˆu + τ2s∇ u⁰+ η[(^s∇ u)⁰+ ˆu⁰⁰] = ρ¨ˆu,

τ2(^sdiv ˆu)⁰+ η[^s∆u +^sdiv ˆu⁰] + τ1u⁰⁰= ρ¨u, in Ξ × [0, t0), (4.17) con le condizioni al contorno

τ2sdiv ˆu + τ1u⁰ = 0,

η(^s∇ u + ˆu⁰) = 0, su π^±_z × [0, t₀). (4.18) Dato il campo di spostamenti (4.15), valgono le relazioni differenziali

∇u = [(w⁰z + v⁰c1) ⊗ z + ik(wz + vc1) ⊗ c1]g, div u = (w⁰+ ikv)g,

∆u = [(v⁰⁰− k²v)c1+ (w⁰⁰− k²w)z]g,

∇ div u = [(ikw⁰− k²v)c1+ (w⁰⁰+ ikv⁰)z]g,

¨

u = −f²(wz − vc1)g,

(4.19)

grazie alle quali l’equazione del moto (4.17) si trasforma nella seguente equazione differenziale ordinaria nell’incognita d(ζ) = (w(ζ), v(ζ))^T:

Ad⁰⁰+ ikBd⁰+ (ρf²I − k²C)d = 0, (4.20) dove

A =

µτ1 0

0 η

¶ , B =

µ 0 η + τ2

η + τ2 0

¶ , C =

µη 0

0 2µ + λ

¶

, (4.21)

ed I `e il tensore identit`a 2 × 2. La (4.20) ha una soluzione del tipo:

d(ζ) = d_(p)exp(ipζ), (4.22)

dove la coppia di ampiezze d(p)= (W(p), V(p))^T soddisfa l’equazione algebrica:

Q(p)d_(p)= 0, (4.23)

con

Q(p) = p²A + kpB + k²C − %f²I,

che ammette soluzione non banale soltanto per quei valori di p per i quali

detQ(p) = 0. (4.24)

Quest’ultima rappresenta la seguente equazione del second’ordine in p²: ητ1p⁴+ f1(k, f )p²+ f2(k, f ) = 0,

dove

f1(k, f ) = [τ1(2µ + λ) − τ2(2η + τ2)]k²− %(τ1+ η)f², f2(k, f ) = %²f⁴− %(2µ + λ + η)f²k²+ (2µ + λ)ηk⁴, le cui soluzioni sono

p1,2 = s

−f1(k, f ) ±p

f₁²(k, f ) − 4ητ1f2(k, f )

2ητ1 , p3,4= −p1,2. Segue che la soluzione generale delle (4.20) `e:

d(ζ) = X2 i=1

A⁺_i exp(ipiζ)d_(pi)+ A⁻_i exp(−ipiζ)d_(−pi). (4.25)

Data la particolare struttura del tensore Q(p), dall’equazione lineare (4.23) si ha che d(−pi)=

· W(pi)

−V_(pi)

¸

, i = 1, 2,

e quindi la (4.25) si pu`o riscrivere come combinazione lineare della lista dei vettori ( µW(pi)exp(ipiζ)

V_(pi)exp(ipiζ)

¶ ,

µW(pi)exp(−ipiζ)

−V_(pi)exp(−ipiζ)

¶

: i = 1, 2 )

, (4.26)

i quali costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni. Prima di passare alla determi- nazione dei coefficienti moltiplicativi {A⁺_i , A⁻_i ; i = 1, 2} tramite le condizioni al contorno (4.18), rappresentiamo la (4.25) per mezzo della base alternativa

( µW_(pi)cos(piζ) V(pi)i sin(piζ)

¶ ,

µW_(pi)i sin(piζ) V(pi)cos(piζ)

¶

: i = 1, 2 )

, (4.27)

nel seguente modo:

w(ζ) = X2 i=1

³

A^f_i cos(piζ) + A^m_i i sin(piζ)´ W_(pi),

v(ζ) = X2

i=1

³

A^f_i i sin(piζ) + A^m_i cos(piζ)´ V_(pi),

(4.28)

e per determinare i coefficienti {A^m_i , A^f_i; i = 1, 2} sostituiamo la soluzione (4.28) nelle (4.18). Otteniamo i due sistemi:

X2 i=1

(τ1piW_(pi)+ τ2kV_(pi)) cos(piε)A^m_i = 0, X2

i=1

(ηkW_(pi)+ ηp1V_(pi)) sin(piε)A^m_i = 0.

(4.29)

e X2

i=1

(τ1piW_(pi)+ τ2kV_(pi)) sin(piε)A^f_i = 0, X2

i=1

(ηkW_(pi)+ ηpiV_(pi)) cos(piε)A^f_i = 0,

(4.30)

che coinvolgono rispettivamente i coefficienti {A^m_i , i = 1, 2} e {A^f_i, i = 1, 2}. La combi- nazione lineare (4.28) si divide in due parti. Una prima parte

v^m(ζ) = X2 i=1

A^m_i cos(piζ)V(pi),

w^m(ζ) = X2 i=1

A^m_i i sin(piζ)W(pi),

(4.31)

contribuisce al moto con onde di tipo membranale che sono specularmente simmetriche rispetto al piano medio πz. Questo modo di vibrare `e anche detto longitudinale perch´e lo spostamento medio lungo un’arbitraria fibra trasversale {x} × I `e diretto secondo c1. La seconda parte `e

v^f(ζ) = X2 i=1

A^f_ii sin(piζ)V(pi),

w^f(ζ) = X2 i=1

A^f_i cos(piζ)W(pi),

(4.32)

e costituisce un moto oscillatorio di tipo flessionale caratterizzato da onde specularmente antisimmetriche rispetto al piano medio πz. Questo moto `e anche detto trasversale perch´e lo spostamento medio nello spessore I `e diretto nella direzione z. Se chiamiamo con M_m(k, f ) e Mf(k, f ) le matrici associate ai sistemi (4.29) e (4.30), i cui elementi sono

(Mm)1i(k, f ) = (τ1piW_(pi)+ τ2kV_(pi)) cos(piε), (Mm)2i(k, f ) = (ηkW(pi)+ ηp1V(pi)) sin(piε),

(Mf)1i(k, f ) = (τ1piW_(pi)+ τ2kV_(pi)) sin(piε),

(Mf)2i(k, f ) = (ηkW(pi)+ ηpiV(pi)) cos(piε), i = 1, 2,

(4.33)

allora si hanno soluzioni non banali se sono soddisfatte le seguenti condizioni di propagazione det Mm(k, f ) = 0 e det Mf(k, f ) = 0, (4.34) le quali legano il numero d’onda k alla frequenza f . Il dominio di appartenenza per le coppie (f, k), soluzioni delle equazioni (4.34), `e: per la frequenza f , il semiasse dei numeri reali e positivi IR<sup>+</sup> e per il numero d’onda k, lo spazio dei numeri complessi. In particolare, quando k `e reale, l’onda `e progressiva nella direzione c1, quando k `e immaginario, il moto `e stazionario e decade esponenzialmente nella direzione c1. Se k `e complesso il moto `e un’onda progressiva la cui ampiezza decade nella direzione c1. Osserviamo che le onde che propagano con numeri d’onda uguali e contrarie k e −k sono identiche a meno del verso di propagazione.

Restringiamo lo studio a numeri d’onda positivi e puramente reali o puramente immaginari:

k ∈ IR⁺∪ Im⁺.

In IR⁺× IR⁺, le soluzioni (f, k) delle equazioni (4.34) appartengono ad una serie infinita di curve {ki(f )}^∞_i=0, le quali si distinguono l’una dall’altra grazie alle loro diverse frequenze di cut-off fi (i = 0, 1, 2 ... ), cio`e ai diversi punti in cui intersecano il semiasse delle ascisse (k = 0).

Ciascuna curva ki(f ) `e chiamata ramo di dispersione, intendendo con ci`o che, lungo un ramo, si verifica un fenomeno di dispersione ondosa, perch´e la funzione ci(f ) = f /ki(f ) che fornisce la velocit`a di propagazione relativamente a quel ramo ki(f ) non ha in generale valore costante.

Utiliziamo gli apici m ed f per distinguere le curve {k_i^m(f )}^∞_i=0che soddisfano l’equazione (4.34)1 di tipo membranale dalle curve {k_i^f(f )}^∞_i=0soluzioni della (4.34)2di tipo flessionale.

Introduciamo le seguenti grandezze adimensionali

˜k = εk, f = ε˜ r%

µf, (4.35)

nelle quali ε ed εp

%/µ sono i fattori di scala scelti rispettivamente per la lunghezza e per il tempo. Le condizioni di propagazione (4.34) possono essere riscritte in termini delle grandezze adimensionali (4.35):

det ˜Mm(˜k, ˜f ) = 0 e det ˜Mf(˜k, ˜f ) = 0, (4.36) le quali saranno risolte numericamente nella Sezione 4.4.

4.2.2 Caso isotropo

Se lo strato Ξ `e costituito da materiale isotropo (vid. [1], [43]), le equazioni del moto (4.14) in condizioni di vibrazione libera si scrivono cos`ı:

µ∆u + (λ + µ)∇ div u = %¨u, in Ξ × [0, t0),

2µ sym(∇u)ν + λ(div u)ν = 0. su π^±_z × [0, t0). (4.37) Una volta assegnata alla soluzione la forma (4.15), nell’equazione di campo (4.20) le matrici dei coefficienti diventano:

A =

µ2µ + λ 0

0 µ

¶ , B =

µ 0 µ + λ

µ + λ 0

¶ , C =

µµ 0

0 2µ + λ

¶

, (4.38)

e nella soluzione generale (4.28) i due autovalori p1,2 assumono i valori

p1= s

f²

c²_T − k², p2= s

f²

c²_L − k², (4.39)

e le ampiezze:

(W_(pi), V_(pi)) = µ

− i(µ + λ)kpi

(2µ + λ)p²_i + µf²− %f², 1

¶ ,

o equivalentemente

(W_(pi), V_(pi)) = µ

1, − i(µ + λ)kpi

µp²_i + (2µ + λ)f²− %f²

¶ .

Infine le condizioni di propagazione (4.34) si riducono nelle seguenti due equazioni tan(p1ε)

tan(p2ε) = − 4k²p1p2

(p²₁− k²)², tan(p1ε)

tan(p2ε) = −(p²₁− k²)² 4k²p1p2

,

(4.40)

rispettivamente per i modi di vibrare longitudinali e trasversali, le quali sono dette equazioni di frequenza di Rayleigh-Lamb. Le (4.40), in termini delle grandezze adimensionali (4.35) diventano:

tan( ˜f²− ˜k²)^1/2

tan(^f_κ^˜22 − ˜k²)^1/2 = −4˜k²(^f_κ^˜22 − ˜k²)^1/2( ˜f²− ˜k²)^1/2 ( ˜f²− 2˜k²)^1/2 , tan( ˜f²− ˜k²)^1/2

tan(^f_κ^˜22 − ˜k²)^1/2 = − ( ˜f²− 2˜k²)^1/2

4˜k²(^f_κ^˜22 − ˜k²)^1/2( ˜f²− ˜k²)^1/2,

(4.41)

dove

κ = c_L c_T =

s λ + 2µ

µ .

In [41] viene fatto un’interessante studio asintotico dell’equazione di dispersione (4.41)2per i modi flessionali mentre in [15] e [14], l’equazione (4.41)1`e utilizzata per verificare, tramite la propagazione di onde membranali, la presenza di difetti (intagli verticali simmetrici rispetto al piano medio) nello strato. Infine segnaliamo gli articoli [2] e [3], dove il problema di vibrazione libera per una piastra, rispettivamente, isotropa e trasversalmente isotropa `e risolto assumendo che la funzione g(x, t) non abbia la forma (4.16) ma, pi`u in generale, sia la soluzione di un’equazione di membrana.

4.2.3 Frequenze ed oscillazioni al cut-off

In questo paragrafo calcoleremo le cosiddette frequenze di cut-off, le frequenze in corrispon- denza delle quali le onde propagano con numeri d’onda k che tendono a zero. Al cut-off la propagazione ondosa, da progressiva che era per frequenze superiori, diventa stazionaria, con ampiezze decadenti esponenzialmente.

La relazione di dispersione (4.36)1 relativa ai moti simmetrici, per ˜k → 0, si riduce alle due condizioni

cos µrµ

τ1

f˜

¶

= 0, sin µrµ

ηf˜

¶

= 0, (4.42)

soddisfatte dalle frequenze di cut-off membranali f˜_n^d= nπ

2 rτ1

µ, n = 1, 3, 5..., f˜_n^e= nπ

2 rη

µ, n = 0, 2, 4...,

(4.43)

in corrispondenza delle quali il moto (4.15) si riduce ad una funzione della sola coordinata ζ e del tempo t:

u = u(ζ, t),

detto campo di vibrazioni semplici. Alle frequenze ˜f_n^d, lo strato esibisce oscillazioni di tipo dilatazionale in cui

u · c1= 0, u · z 6= 0, mentre per ˜f = ˜f_n^e, le oscillazioni sono di tipo isocoro, ossia

u · c16= 0, u · z = 0,

e gli apici d ed e con cui indichiamo i due gruppi di frequenze stanno per “dilatational” e

“equivoluminal”.

Analogamente, per ˜k → 0, l’equazione di dispersione (4.36)2 per i moti antisimmetrici si riduce alle condizioni:

sin µrµ

τ1

f˜

¶

= 0, cos µrµ

ηf˜

¶

= 0, (4.44)

soddisfatte dalle frequenze di cut-off flessionali f˜_n^d= nπ

2 rτ1

µ, n = 0, 2, 4..., f˜_n^e= nπ

2 rη

µ, n = 1, 3, 5....

(4.45)

In questo caso, le oscillazioni flessionali con frequenze scelte tra i valori (4.45)1 sono di tipo dilatazionale (u · c1 = 0), mentre quelle caratterizzate dalle frequenze (4.45)2 sono isocore (u · z = 0).

I moti dilatazionali ed isocori sono anche chiamati rispettivamente di “stretching” e di

“thickness-shear”.

Dalle (4.43) e (4.45) notiamo che f˜_n+1^d

f˜_n^d = f˜_n+1^f f˜n^f

=

µn + 1 n

¶₂

, n = 1, 2, ...,

e cio`e, che i rapporti tra due frequenze di cut-off adiacenti di tipo equivoluminale o di- latazionale non dipendono dai coefficienti costitutivi del materiale e quindi sono caratteristici di tutta la classe dei materiali trasversalmente isotropi. Diversamente il rapporto

f˜_n^d f˜n^f

=τ₁ η

dipende solo dai due coefficienti costitutivi τ1 e η ed `e indipendente dall’indice n.

Osservazione 1. Calcoliamo le frequenze di cut-off nel caso in cui il materiale sia isotropo. Per ˜k → 0, l’equazione (4.41)1 relativa ai moti simmetrici si riduce alle due condizioni

sin

³f˜

´

= 0, cos Ãf˜

κ

!

= 0, (4.46)

soddisfatte dalle frequenze

f˜_n^d= κπ

2n, n = 1, 3, 5..., f˜_n^e= π

2n, n = 0, 2, 4....

(4.47)

Alle frequenze ˜f_n^ded ˜f_n^e, le oscillazioni sono rispettivamente di tipo dilatazionale (u · c1= 0) ed isocoro (u · z = 0). In modo analogo, per ˜k → 0, l’equazione di dispersione (4.41)2 per i moti antisimmetrici si riduce alle condizioni:

sin Ãf˜

κ

!

= 0, cos³ f˜´

= 0, (4.48)

soddisfatte dalle frequenze di cut-off f˜_n^d= κπ

2n, n = 0, 2, 4..., f˜_n^f =π

2n, n = 1, 3, 5....

(4.49)

In questo caso, le oscillazioni flessionali con frequenza pari ad uno dei valori (4.49)1 sono di tipo dilatazionale (u · c1 = 0), mentre quelle caratterizzate dalle frequenze (4.49)2 sono isocore (u · z = 0). ¤

Osservazione 2. Le relazioni (4.43) e (4.45) possono essere usate per caratterizzare lo strato dal punto di vista costitutivo, infatti, una volta determinate sperimentalmente le frequenze di cut-off f_n^d e f_n^e, con n = 1, 2, ..., relative ad oscillazioni rispettivamente dilatazionali e flessionali, `e possibile conoscere i valori dei coefficienti costitutivi τ1ed η tramite le formule

τ1 = %³ ε nπ

´₂

f_n^d, n = 1, 2, ...,

η = %³ ε nπ

´2

f_n^f, n = 1, 2, ...,

(4.50)

nelle quali i secondi membri sono totalmente noti. ¤

4.3 Onde di Rayleigh-Lamb in un mezzo incoerente

Supponiamo ora che la risposta dello strato Ξ sia trasversalmente isotropa, incoerente. Se usiamo la rappresentazione (3.10) per esprimere il tensore di elasticit`a, le equazioni del moto (4.14) diventano

a₁₁uˆ_1,11+ d₁₂uˆ_2,12+ d₁₃u⁰_,1+ c₁(u_,11+ ˆu⁰_1,1) +¹₂a₁₂(ˆu_1,22+ ˆu_2,12)+

+¹₂c4(u,22+ ˆu⁰_2,2) +¹₂a13(u⁰_,1+ ˆu⁰⁰₁) + c1uˆ⁰_1,1+ c3u⁰⁰+ c2uˆ⁰_2,2= −%¨ˆu1,

1

2a12(ˆu1,12+ ˆu2,11) +¹₂c4(u,12+ ˆu⁰_2,1) + a22ˆu2,22+ d12uˆ1,12+ d23u⁰_,2+ +c₂(u_,12+ ˆu⁰_1,2) +¹₂a₂₃(u⁰_,2+ ˆu⁰⁰₂) +¹₂c₄(ˆu⁰_1,2+ ˆu⁰_2,1) = −%¨ˆu₂,

1

2a13(u,11+ ˆu⁰_1,1) + c1uˆ1,11+ c3u⁰_,1+ c2uˆ2,12+¹₂a23(u,22+ ˆu⁰_2,2)+

+¹₂c4(ˆu1,22+ ˆu2,12) + a33u⁰⁰+ d13uˆ⁰_1,1+ d23uˆ⁰_2,2+ c3(u⁰_,1+ ˆu⁰⁰₁) = −%¨u,

(4.51)

definite in Ξ × [0, t0), con le condizioni al contorno su π^±_z × [0, t0)

1

2a13(u,1+ ˆu⁰₁) + c1uˆ1,1+ c3u⁰+ c2uˆ2,2 = 0,

1

2a23(u,2+ ˆu⁰₂) +¹₂c4(ˆu1,2+ ˆu2,1) = 0, a33u⁰+ d13uˆ1,1+ d23ˆu2,2+ c3(u,1+ ˆu⁰₁) = 0,

(4.52)

dove ˆuα `e la α-esima componente del campo di spostamenti ˆu nel piano πz e (· ),α `e la derivata parziale fatta rispetto ad xα.

Consideriamo la soluzione in forma d’onda armonica piana (4.15). Osserviamo che tale moto avviene nel piano span(c1, z) nel quale giace l’asse di trasversa isotropia c. Se sostitu- iamo la (4.15) nelle equazioni di campo (4.51), otteniamo la seguente equazione differenziale ordinaria nell’incognita d(ζ) = (w(ζ), v(ζ))^T:

Ad⁰⁰+ ikBd⁰+ (ρf²I − k²C)d = 0, (4.53) dove

A =

µa33 c3

c3 1 2a13

¶ , B =

µ 2c3 d13+¹₂a13

d13+¹₂a13 2c1

¶ , C =

µ₁

2a13 c1

c1 a11

¶

, (4.54) ed I `e il tensore identit`a 2×2. Il primo ed il secondo membro della (4.51)₂sono identicamente nulli. L’equazione (4.53) ha una soluzione del tipo:

d(ζ) = d(p)exp(ipζ), (4.55)

dove la coppia di ampiezze d(p)= (W(p), V(p)) soddisfa l’equazione algebrica:

Q(p)d(p) = 0, con Q(p) = p²A + kpB + k²C − %f²I, (4.56) e non `e identicamente nulla soltanto per quei valori di p per i quali

detQ(p) = 0. (4.57)

Il primo membro di quest’ultima equazione `e il seguente polinomio:

f4p⁴+ f3(k)p³+ f2(k, f )p²+ f1(k, f )p + f0(k, f ) (4.58) dove

f4 = ¹₂a33a13+ c²₃,

f₃(k) = 2[(d₁₃+ a₁₃)c₃+ a₃₃c₁]k,

f2(k, f ) = [(d13+¹₂a13)²+¹₄a²₁₃+ 6c3c1+ a33a11]k²− (a33+¹₂a13)%f², f1(k, f ) = [2c1(d13+¹₂a13) + a13c1+ 2c3a11]k³− 2(c1+ c3)%f²k, f0(k, f ) = (¹₂a13k²− %f²)(a11k²− %f²) + c²₁k⁴.

La (4.57) ammette quattro radici pi(k, f ), i = 1, ... 4, a cui corrispondono quattro coppie di ampiezze d_(pi)soluzioni dell’equazione

Q(pi)d(pi)= 0.