Il modello termico del transitorio e del relativo stato di
tensione nelle sfere catalitiche
Nella presente appendice si riporta il modello di ordine ridotto sviluppato per la determi-nazione della temperatura e dello stato di tensione termico in funzione del raggio della sfera e del tempo.
H.1
La conduzione non stazionaria di calore nella sfera catalitica
Il problema della conduzione non stazionaria di calore nella sfera catalitica è stato risolto sotto le seguenti ipotesi:
• flusso di calore sferico ed unidimensionale; • temperatura uniforme iniziale Ti;
• conducibilità termica k e diffusività termica α costanti; • raggio della sfera R;
L’equazione per la conduzione non stazionaria di calore in coordinate sferiche e le relative condizioni iniziali ed al contorno sono:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 α ∂T ∂t = 1 r2 ∂ ∂r r2∂T ∂r T (r, 0) = Ti ∂T ∂r r=0 = 0 T |r=R= Td= 0 (H.1)
Ipotizzando una soluzione a variabili separabili T (r, t) = ρ(r) ϑ(t) e sostituendola nell’ equazione di conduzione si ottiene ρ+ 2 rρ ϑ = 1 αρ ϑ ⇒ 1 ρ ρ+2 r ρ ϑ = 1 α ϑ ϑ = −λ 2= costante (H.2)
Si ottengono così due equazioni differenziali che possono risolversi separatamente:
ϑ+ λ2α ϑ =0 (H.3)
ρ+2 rρ
+ λ2ρ =0 (H.4)
L’equazione in ϑ ammette una soluzione del tipo:
ϑ(t) = e−λ2α t (H.5)
L’equazione in ρ con la relativa condizione al contorno rappresenta un problema di Sturm-Liouville del secondo ordine e può ricondursi alla forma generale:
ρ+ p(r) ρ+q(r) + λ2s(r) ρ = 0 (H.6) dove i coefficienti valgono p(r) = 2/r, q(r) = 0 e s(r) = 1. Con le seguenti trasformazioni:
u(r) = eRp(r) dr = e2 lnr= r v(r) = q(r) u(r) = 0
w(r) = s(r) u(r) = r2
l’equazione H.6 può porsi nella forma canonica
u ρ +v + λ2w ρ = 0 (H.7) Due qualunque autofunzioni ρj(r) e ρh(r) soddisfano la condizione di ortogonalità
R 0 w ρhρkdr = R 0 r2ρhρkdr = 0 per j = k (H.8)
Con la sostituzione ρ = F (r)/r l’equazione e la relativa soluzione sono:
ρ = F (r) r ⇒ 1 r F+ λ2F = 0 ⇒ ρ(r) = 1 re ±i λ r (H.9)
La soluzione a variabili separabili per la temperatura si ottiene combinando le soluzioni in ϑ e ρ:
T (r, t) = ρ(r) ϑ(t) = 1
r (A sin (λ r) + B cos (λ r)) e
−λ2α t
(H.10) Imponendo a questo punto le condizioni al contorno
∂T ∂r r=0 = 0 ⇒ B = 0 T |r=R= Td= 0 ⇒ sin (λ R) R = 0 ⇒ λ = λj = j π R j ∈ N si può scrivere T − Td= +∞ j=1 Ajρje−λ 2 jα t = +∞ j=1 Aj sin (λr jr)e−λ 2 jα t (H.11)
Imponendo la condizione iniziale e le condizioni d’ortogonalità
Ti− Td= +∞ j=1 Aj sin (λjr) r e −λ2 jα t (Ti− Td) R 0 r sin (λhr) dr = +∞ j=1 Aj R 0 sin (λjr) sin (λjr) dr = Ah R 0 sin2(λhr) dr dove R 0 r sin (λhr) dr = 1 λ2h [sin (λhr) − λhr cos (λhr)] R 0 = − (−1)h λR h R 0 sin2(λhr) dr = 12 R 0 [1 − cos (2 λhr)] dr = 12 r −sin (2 λ2 λhR) h R 0 = R 2 si risolve per Ah e si ottiene finalmente, dopo aver sostituito l’espressione di λj,
Ah= − (−1)h 2 λh (H.12) T − Td= −2 (Ti− Td) +∞ j=1 (−1)j sin (j π r/R) j π r/R e −(j π/R)2α t (H.13) Il problema della conduzione non stazionaria del calore può essere risolto anche con la con-dizione al contorno di trasferimento convettivo di calore uniforme con coefficiente h e temperatura del fluido Td= 0. Le condizioni al contorno divengono:
∂T ∂r r=0 = 0 ⇒ B = 0 −k ∂T ∂r r=R = h (T |r=R− Td) = h T |r=R⇒ tan (λ R) = λ R 1 − h R/k ⇒ λ = λj j ∈ N
L’andamento della temperatura può essere trovato procedendo analogamente a prima. Il calcolo tuttavia non è stato compiuto per la difficoltà nello stimare il coefficiente di scambio convettivo
H.2
Lo stato di tensione termico
La determinazione dello stato di tensione termico è stata fatta sotto le seguenti ipotesi:
• temperatura iniziale uniforme Ti;
• variazione di temperatura T (r) − Ti sferica unidimensionale;
• campo di tensione sferico con tensione radiale σre tensioni tangenziali uguali σϑ= σϕ= σt;
• raggio della sfera catalitica R;
• coefficiente di espansione termica αT costante.
L’equilibrio in direzione radiale di un volume elementare di spessore dr e lati r dϑ e r dϕ fornisce:
dσrr2dϑ dϕ dr = 2 (r dϑ dr) σϕ 1 2dϕ + 2 (r dϕ dr) σϑ12dϑ (H.14) da cui dσrr2 dr = r (σϑ+ σϕ) = 2 r σt (H.15)
Le deformazioni in direzione radiale e tangenziale possono esprimersi
εr= dudrr = αT (T − Ti) +E1 (σr− 2 ν σt) (H.16)
εϑ= εϕ= εt= urr = αT (T − Ti) + E1 [σt− ν (σr+ σt)] (H.17)
Dall’ultima espressione può ricavarsi ur
ur= 1
E [(1 − ν) σt− ν σr] r + αT (T − Ti) r (H.18)
Derivando l’espressione di ur e ponendola eguale all’espressione della deformazione in direzione
radiale si ricava (1 − ν) rdσt dr − ν r dσr dr + (1 + ν) σt− (1 + ν) σr+ E αT r d (T − Ti) dr = 0 (H.19) e sostituendo σt σt= 2 r1 d σrr2 dr = r 2 dσr dr + σr (H.20) può scriversi d dr (1 − ν) r 2 dσr dr + σr +1 2 (1 − ν) σr = −E αT d (T − Tdr i) (H.21)
Quest’espressione può essere integrata una prima volta, ottenendo 1 2 (1 − ν) 1 r2 dr3σr dr = −E αT (T − Ti) + A (H.22)
ed una seconda volta, ottenendo
σr = −22 E α1 − νT 1 r3 r 0 (T − Ti) r2dr+3 (1 − ν)2 A +1 − nu2 B 1 r3 (H.23)
Imponendo σr(0) = finito ⇒ B = 0 σr(R) = 0 ⇒ A = 3 E αT 1 R3 R 0 (T − Ti) r2dr si ricava finalmente σr= 2 E α1 − νT ⎛ ⎝ 1 R3 R 0 (T − Ti) r2dr−r13 r 0 (T − Ti) r2dr ⎞ ⎠ (H.24) σt= (1 − ν) rE αT ⎡ ⎣ 2 r R3 R 0 (T − Ti) r2dr+ 1 r2 r 0 (T − Ti) r2dr− r (T − Ti) ⎤ ⎦ (H.25)
dove, dai precedenti risultati, può porsi
T − Ti = T − Td+ Td− Ti = (Td− Ti) ⎡ ⎣1 − 2 +∞ j=1 (−1)j sin (j π r/R) j π r/R e −(j π/R)2α t ⎤ ⎦ (H.26) r 0 (T − Ti) r2dr = (Td− Ti) ⎧ ⎨ ⎩ r3 3 − 2 +∞ j=1 − (−1)j R j π 3 sin j π r R − j π r R cos j π r R e−(j π/R)2α t (H.27)
La dilatazione termica relativa della sfera catalitica vale
ur(R)
R =
1
