TRACCIA IL GRAFICO PROBABILE DELLE SEGUENTI FUNZIONI

ESERCIZI PAG.1561

TRACCIA IL GRAFICO PROBABILE DELLE SEGUENTI FUNZIONI

Pag. 1561 numero 864 (fare pag 1561 numero 865) y=-x³+4x

- Dominio Funzione polinomiale Dominio= R

- Intersezione con gli assi Asse y

y=-x³+4x → y=0 O(0,0) x=0

Asse x

y=-x³+4x → -x³+4x=0 → x(-x²+4)=0 O(0,0) A(-2,0) B(2,0) y=0 y

- Studio del segno -x³+4x ≥ 0 → x(-x²+4) ≥ 0

- Verifica se la funzione è pari o dispari Se x → -x

y=-(-x)³+4(-x) = x³-4x =- (-x³+4x) y→-y La funzione è dispari (simmetria rispetto all’origine)

x=0

-x²+4=0 → x²=4 → x = ±2

x≥0

-x²+4=0 → x²=4 → x = ±2 0

-2 2

-2 0 2

- Limiti agli estremi del dominio: la funzione polinomiale non ha asintoti 𝐥𝐢𝐦_𝒙→+∞−𝒙^𝟑+ 𝟒𝒙 = 𝒙³ (−𝟏 + ^𝟒

𝒙²)= + ∞

Si raccoglie la potenza di grado massimo. Per x->+∞ il termine x³ tende a +∞ e il termine 4/x² tende a zero

𝐥𝐢𝐦_{𝒙→−∞}−𝒙^𝟑+ 𝟒𝒙 = 𝒙³ (−𝟏 + ^𝟒

𝒙²)= - ∞

Si raccoglie la potenza di grado massimo. Per x-> −∞ il termine x³ tende a -∞ e il termine 4/x² tende a zero

Pag. 1561 numero 867 (fare pag. 1861 numero 866, 868, 869, 871,874,875,877,879,887)

Y

=

𝑥²−2𝑥

- Dominio

Funzione razionale fratta

Dominio= denominatore diverso da zero

x²-2x≠0 → x(x-2)≠0 → Dominio: x≠0 ∧ x≠2 - Intersezione con gli assi

Asse y

y= ^𝑥²−1

𝑥²−2𝑥 y=-1/0→ ∞ devo fare il limite per x che tende a zero x=0

Asse x

y= ^𝑥²−1

𝑥²−2𝑥 → x²-1=0 → x=±1 A(-1,0) B(1,0) y=0

- Studio del segno

^𝑥²−1

𝑥²−2𝑥 ≥ 0

- Verifica se la funzione è pari o dispari La funzione non è ne pari ne dispari

NUM≥0 → x²-1 ≥0 → x=±1

DEN>0 → x²-2x>0 → x=0 x = 2

-1 1

-1 0 1 2

0 2

∄ ∄

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒙𝒐 f(x) = ∞ allora la retta x=xo è un asintoto verticale della funzione Gli asintoti verticali si cercano nei punti non appartenenti al dominio x=0 e x=2 Limite per x che tende a zero

lim_𝑥→0 ^𝑥²−1 𝑥²−2𝑥= (⁻¹

0) = ∞

La retta x=0 è un asintoto verticale della funzione

Per stabilire il segno dell’infinito si calcolano il limite sinistro e il limite destro lim_𝑥→0^{− 𝑥²−1}

𝑥²−2𝑥 = (⁻¹

0) = −∞ (a sinistra di zero la funzione è negativa) lim_𝑥→0^{+ 𝑥²−1}

𝑥²−2𝑥 = (⁻¹

0) = +∞ (a destra di zero la funzione è positiva) Limite per x che tende a 2

lim_{𝑥→2𝑥²−2𝑥}^𝑥²−1 = (⁴

0) = ∞

La retta x=2 è un asintoto verticale della funzione

Per stabilire il segno dell’infinito si calcolano il limite sinistro e il limite destro lim_𝑥→2⁻_{𝑥²−2𝑥}^𝑥²−1 = (⁻¹

0) = −∞ (a sinistra di 2 la funzione è negativa) lim_𝑥→2^{+ 𝑥²−1}

𝑥²−2𝑥 = (⁻¹

0) = +∞ (a destra di 2 la funzione è positiva)

Ricerca degli asintoti orizzontali (AO)

Nelle funzioni razionali fratte per la ricerca degli asintoti orizzontali è sufficiente fare il limite a infinito generico (non è necessario fare i limiti a più e a meno infinito)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ f(x) = 𝒍 allora la retta y=l è un asintoto orizzontale della funzione

lim

𝑥²−2𝑥

=

1 𝑥²) 𝑥²(1−²

𝑥)

=1

Si raccoglie la potenza di grado massimo. Per x->+∞ i termini 1/x² e 2/x tendono a zero la retta di equazione y=1 è un asintoto orizzontale per la funzione

AV AV

AO

Pag. 1561 numero 880 (fare pag. 1861 numero 870, 872,874,886,890)

Y

=

𝑥²+3𝑥

- Dominio

Funzione razionale fratta

Dominio= denominatore diverso da zero

x²+3x≠0 → x(x+3)≠0 → Dominio: x≠0 ∧ x≠-3 - Intersezione con gli assi

Asse y

y= 𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 y=3/0→ ∞ devo fare il limite per x che tende a zero x=0

Asse x

y= = 𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 → x³-4x+3=0 → y=0

- Studio del segno

𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 ≥0

NUM≥0 → x ≥1 , x²+x-3≥0

x²+3x>0

DEN>0 → x²-2x>0 → x=0 x = 2

1

-3 0 𝑥 =−1 ± √1²− 4(−3)

2 =−1 ± √13

2

Ruffini: devo trovare i divisori del termine noto 3 che annullano il polinomio, i divisori di 3 sono ±1 e ±3, tra questi il valore 1 annulla il polinomio, quindi x=1 (prima soluzione) 1 0 -4 3

1 1 1 -3 1 1 -3 0

x²+x-3=0

^−1−√13₂ ^−1+√13₂

- Verifica se la funzione è pari o dispari La funzione non è ne pari ne dispari

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒙𝒐 f(x) = ∞ allora la retta x=xo è un asintoto verticale della funzione Gli asintoti verticali si cercano nei punti non appartenenti al dominio x=0 e x=-3 Limite per x che tende a zero

lim_𝑥→0𝑥³−4𝑥+3 𝑥²+3𝑥 ^{= (}

3 0) = ∞

La retta x=0 è un asintoto verticale della funzione

Per stabilire il segno dell’infinito si calcolano il limite sinistro e il limite destro lim_𝑥→0⁻𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 ^{= (}

3

0) = −∞ (a sinistra di zero la funzione è negativa) lim_𝑥→0⁺𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 ^{= (}

3

0) = +∞ (a destra di zero la funzione è positiva) Limite per x che tende a -3

lim_𝑥→−3𝑥³−4𝑥+3 𝑥²+3𝑥 ^{= (}

−12 0 ) = ∞

La retta x=2 è un asintoto verticale della funzione

Per stabilire il segno dell’infinito si calcolano il limite sinistro e il limite destro lim_𝑥→−3⁻𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 ^{= (}

−12

0 ) = −∞ (a sinistra di -3 la funzione è negativa) lim_𝑥→−3⁺𝑥³−4𝑥+3

𝑥²+3𝑥 ^{= (}

−12

0 ) = +∞ (a destra di 3 la funzione è positiva) -3 ^−1−√13₂ 0 1 ^−1+√13₂

∄ ∄

Ricerca degli asintoti obliqui (AOB)

Se in una funzione razionale fratta il numeratore supera di un grado il denominatore non c’è l’asintoto orizzontale ma c’è quello obliquo. Nelle funzioni razionali fratte per la ricerca degli asintoti obliqui è sufficiente fare il limite a infinito generico (non è necessario fare i limiti a più e a meno infinito)

Equazione dell’asintoto obliquo:

y=m·x+q

Devo trovare m e q m=

𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝒇(𝒙) 𝒙

m= lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= lim

𝑥→∞

1

𝑥

·f(x) = lim

𝑥→∞

𝑥

·

= ^lim

𝑥→∞

𝑥³−4𝑥+3 𝑥³+3𝑥²

= m = lim

4 𝑥+³

𝑥²) 𝑥³(1+³

𝑥)

=1 → m=1

Si raccoglie la potenza di grado massimo. Per x->+∞ i termini -4/x, 3/x² e3/x tendono a zero q=

lim

𝑥→∞

[f(x)-m·x]

q=

lim

𝑥→∞

[

𝑥³+3𝑥²

-1·x]

q=

lim

𝑥→∞

𝑥³−4𝑥+3−(𝑥³+3𝑥²) 𝑥³+3𝑥²

= ^lim

𝑥→∞

−3𝑥²−4𝑥+3

𝑥³+3𝑥²

= ^lim

𝑥→∞

𝑥²(−3−⁴

𝑥+³

𝑥²) 𝑥³(1+³

𝑥)

q= lim

𝑥→∞

(−3−⁴_𝑥+³

𝑥²)

𝑥²(1+³_𝑥)

=

∞

=0

Asintoto obliquo → y=x (bisettrice primo e terzo quadrante)

AV X=-3

AV X=0

y=x Asintoto obliquo

^−1−√13₂ ^−1+√13₂

Pag. 1561 numero 892 𝒚 = √𝒙² − 𝟏 − 𝒙

- Dominio Funzione irrazionale Dominio= Radicando≥0

x²-1 ≥ 0 → Dominio = x≤-1 U x≥ 1

- Intersezione con gli assi Asse y

x=0

𝒚 = √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 non c’è intersezione (l’asse y non appartiene al dominio) Asse x

y=0

𝒚 = √𝒙² − 𝟏 − 𝒙

- Studio del segno

La funzione è positiva per i valori che verificano la disequazione irrazionale:

√𝒙² − 𝟏 − 𝒙 > 0 → √𝒙² − 𝟏 > 𝒙 Disequazioni irrazionali

x<0 x>0

x²-1 ≥ 0 x²-1 ≥ x² → -1=0 impossibile (il secondo sistema non è verificato) Le soluzioni sona date solo dal primo sistema perché il secondo non è verificato

-1 1

√𝒙² − 𝟏 − 𝒙 = 𝟎 → √𝒙² − 𝟏 = 𝒙 Elevo ambo i membri al quadrato

x²-1 = x² → -1 = 0 impossibile (non c’è intersezione)

U

-1 1 0

Il sistema è verificato per valori di x minori o uguali di -1, quindi la funzione è positiva per valori di x minori o uguali di -1

Schema dominio e segno

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

La funzione non ha asintoti verticali perché i punti x=-1 e x=1 appartengono al dominio

𝒙→−𝟏𝐥𝐢𝐦 √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 =1

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 =-1

x y

-1 1

1 -1

Ricerca degli asintoti orizzontali (AO) Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ f(x) = 𝒍 allora la retta y=l è un asintoto orizzontale della funzione Nelle funzioni irrazionali è importante fare il limite sia a -∞ che a +∞

Limite a +∞

𝒙→∞𝐥𝐢𝐦 √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 =+∞ − ∞ (forma indeterminata) -1 0 1

-1 0 1

Per risolvere questo limite si razionalizza

𝒙→+∞𝐥𝐢𝐦 √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

(√𝒙^𝟐−𝟏−𝒙)(√𝒙^𝟐−𝟏+𝒙)

(√𝒙^𝟐−𝟏+𝒙 )

=

(√𝒙^𝟐−𝟏+𝒙 ) = ^−𝟏

∞ = 0 La retta y=0 (asse x) è asintoto orizzontale destro (a +∞)

Limite a -∞

𝒙→−∞𝐥𝐢𝐦 √𝒙² − 𝟏 − 𝒙 =+∞

Per x che tende a meno infinito la funzione non ha asintoto orizzontale, provo a cercare quello obliquo

Ricerca degli asintoti obliqui (AOB) Equazione dell’asintoto obliquo:

y=m·x+q

Devo trovare m e q m=

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−∞

𝒇(𝒙) 𝒙

m= lim

𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥

= lim

𝑥→−∞

√𝒙²−𝟏−𝒙

𝑥

= lim

𝑥→−∞

−𝑥+√𝑥²(1−_𝑥²¹)

𝑥

m = lim

𝑥→−∞

−𝑥+|𝑥|√(1−¹

𝑥²)

𝑥

m = lim

𝑥→−∞

−𝑥−𝑥√(1−¹

𝑥²) 𝑥

Si raccoglie la x a numeratore che si semplifica con x a denominatore. Per x->+∞ il termine 1/x² tende a zero

m = lim

𝑥→−∞

𝑥[−1−1·√(1−¹

𝑥²)]

𝑥

= -2

m=-2

q=

lim

𝑥→−∞

[f(x)-m·x]= lim

𝑥→−∞

√

]= lim

𝑥→−∞

√

Per risolvere questo limite si razionalizza

q= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→−∞ √𝒙² − 𝟏 + 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

(√𝒙^𝟐−𝟏+𝒙)(√𝒙^𝟐−𝟏−𝒙)

(√𝒙^𝟐−𝟏−𝒙 )

=

(√𝒙^𝟐−𝟏−𝒙 ) = ^−𝟏

∞ = 0 q=0

Equazione asintoto obliquo → y=-2x

Y=-2x Asintoto obliquo

Asintoto orizzontale asse x

Pag. 1561 numero 884

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠_𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟒

- Dominio Funzione logaritmica

Dominio= Argomento del logaritmo>0 𝑥−1

𝑥−4

> 0

Dominio: x<1Ux>4

Nei punti x=1 e x=4 la funzione non è definita, per studiare il comportamento della funzione nell’intorno di questi punti devo eseguire l’operazione di limite. In questi 2 punti devo cercare gli asintoti verticali.

- Intersezione con gli assi Asse y

x=0

𝑦 = log

𝑥−4

= log

4 =

log

(

2

)

=log

(2

)

=log

2

=-2 → A(0,-2)

Asse x y=0

𝑦 = log

𝑥−4

- Studio del segno

La funzione è positiva per i valori che verificano la disequazione logaritmica:

log

𝑥−4 > 𝟎 →

log

𝑥−4

> log

1 →

> 1 →

− 1 > 𝟎

𝑥−1−𝑥+4

𝑥−4

>0 →

𝑥−4

>0

1 4

∄ ∄

log

𝑥−4 = 𝟎 →

log

𝑥−4

= log

1

𝑥−1

𝑥−4

= 1 →

=

𝑥−4

→

∄

4

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒙𝒐 f(x) = ∞ allora la retta x=xo è un asintoto verticale della funzione Gli asintoti verticali si cercano nei punti non appartenenti al dominio x=1 e x=4

Limite per x che tende a 1 (si fa solo da sinistra perché a destra di uno la funzione non esiste) 𝑥→1

lim

log

𝑥−4

= log

= log

0 = -∞

La retta x=1 è un asintoto verticale della funzione

Limite per x che tende a 4 (si fa solo da destra perché a sinistra di 4 la funzione non esiste) 𝑥→1

lim

log

𝑥−4

= log

= log

∞ = +∞

La retta x=4 è un asintoto verticale della funzione Ricerca degli asintoti orizzontali (AO)

Nelle funzioni logaritmiche composte in cui l’ argomento del logaritmo è una funzione razionale fratta per la ricerca degli asintoti orizzontali è sufficiente fare il limite a infinito generico (non è necessario fare i limiti a più e a meno infinito)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ f(x) = 𝒍 allora la retta y=l è un asintoto orizzontale della funzione

𝑥→∞

lim log

𝑥−4

= log

lim

𝑥→∞

𝑥−1

𝑥−4

=log

lim

𝑥→∞

𝑥(1−¹

𝑥) 𝑥(1−⁴

𝑥)

=log

1 = 0

Per x->∞ i termini 1/x e4/x tendono a zero

La retta y=0 (asse x ) è un asintoto orizzontale della funzione

1 4

AV X=1

AV X=4

AO X=0

Pag. 1561 numero 888

𝑦 = 𝑒

- Dominio

Funzione esponenziale composta, avente come esponente una funzione razionale fratta Dominio= denominatore dell’esponente diverso da zero

X+2≠0 → Dominio: x≠-2 - Intersezione con gli assi Asse y

𝑦 = 𝑒

𝑦 = 𝑒

−1

+2

→

(0,𝑒

1 2

)

Asse x

𝑦 = 𝑒

- Studio del segno

la funzione 𝑒^𝑓(𝑥) è sempre positiva - Mappatura

-2 0

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒙𝒐 f(x) = ∞ allora la retta x=xo è un asintoto verticale della funzione Gli asintoti verticali si cercano nel punto non appartenente al dominio x=-2

E’ necessario determinare sia il limite sinistro che destro:

Limite sinistro

lim

𝑒

= 𝑒

= 𝑒

=0

A sinistra di -2 la funzione tende a 0 La funzione passa per il punto ( −2⁻, 0)

Limite destro

lim

𝑒

= 𝑒

1

0+

= 𝑒

=+∞

A destra di -2 la funzione tende a

+∞

La funzione ha un asintoto verticale x=-2 Ricerca degli asintoti orizzontali (AO)

Nelle funzioni esponenziali composte in cui l’ esponente è una funzione razionale fratta per la ricerca degli asintoti orizzontali è sufficiente fare il limite a infinito generico (non è necessario fare i limiti a più e a meno infinito)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ f(x) = 𝒍 allora la retta y=l è un asintoto orizzontale della funzione

lim

𝑒

= lim

𝑥→∞

𝑒

𝑥(1−1 𝑥) 𝑥(1+2

)

= 𝑒

la retta y=e è un asintoto orizzontale della funzione (dove e= circa a 2,7)

-2

-2

x x

Pag. 1561 numero 896

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙 − 𝟐 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙

- Dominio

Argomento del logaritmo >0 → x > 0 Denominatore diverso da zero → 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐

𝒙 ≠ 𝟎 → 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐

𝒙 ≠ 𝟏 → 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐

𝒙 ≠ 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 → x ≠ ^𝟏_𝟐

Dominio : x > 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ≠^𝟏_𝟐 oppure Dominio: (𝟎,^𝟏_𝟐)U (^𝟏_𝟐, +∞) 0 1/2

∄

∄

∄

∄

Nei punti x=0 e x=1/2 la funzione non è definita, per studiare il comportamento della funzione nell’intorno di questi punti devo eseguire l’operazione di limite. In questi punti devo cercare gli asintoti verticali.

- Intersezione con gli assi Asse y

x=0

𝑦 =

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

Non cerco i punti di intersezione della funzione con l’asse y perché l’asse y non appartiene al dominio, devo fare il limite per x tendente a zero

Asse x y=0

𝒚

=

log₁

2

𝑥−2 1−log₁

2

𝑥

- Studio del segno log1

2 𝑥−2 1−log1

2

𝑥

≥ 0

Numeratore ≥ 0 → log

2

𝑥 − 2 ≥0 → log

2

𝑥 ≥ 2 ·1

log

2

𝑥 ≥ 2 ·log

2 1

2

→ log

2

𝑥 ≥ log

2

(

2

)

log¹

2

𝑥 ≤ log¹

2 1

4

→ x ≤

Numeratore ≥ 0 → log

2

𝑥 − 2 ≥ 0 → log

2

𝑥 ≥ 2 ·1

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

= 0 → log

2

𝑥 − 2 =0 → log

2

𝑥 = 2 ·1

log

2

𝑥 = 2 ·log

2 1

2

→ log

2

𝑥 = log

2

(

2

)

log¹

2

𝑥 = log¹

2 1

4

→ x=

4

→ A(

4

;0)

log

2

𝑥 ≥ 2 ·log

2 1

2

→ log

2

𝑥 ≥ log

2

(

2

)

log¹

2

𝑥 ≤ log¹

2 1

4

→ x ≤

4

Denominatore ≥ 0 →

𝟐

𝒙 > 𝟎 → 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐

𝒙 < 𝟏 → 𝐥𝐨𝐠^𝟏

𝟐

𝒙 < 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐 𝟏

𝟐 → x > ^𝟏_𝟐

- Mappatura

- Limiti agli estremi del dominio Ricerca degli asintoti verticali (AV)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒙𝒐 f(x) = ∞ allora la retta x=xo è un asintoto verticale della funzione Gli asintoti verticali si cercano nei punti non appartenenti al dominio x=0 e x=1/2

Limite per x che tende a 0 (si fa solo da destra perché a sinistra di zero la funzione non esiste)

𝑥→0

lim

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

=

∞

∄ 1/4 1/2

1/4 1/2

Se la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1 si cambia verso alla disequazione

Raccolgo sia a numeratore che a denominatore log

2

𝑥

𝑥→0

lim

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

= lim

𝑥→0⁺ log1

2

𝑥·(1− ²

log1 2

𝑥)

log₁

2

𝑥·( ¹

log1 2

𝑥−1)

= lim

𝑥→0⁺ (1−²

∞)

(_∞¹−1)

= -1

In x=0 non c’è l’asintoto verticale ma a destra di zero la funzione passa per il punto (0,-1).

Limite per x che tende a 1/2 (si fa da destra e da sinistra)

lim

𝑥→¹

2

−

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

=

1−1

= +∞

lim

𝑥→¹

2 +

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

=

1−1

= -∞

La retta x=1/2 è un asintoto verticale della funzione Ricerca degli asintoti orizzontali (AO)

Nelle funzioni logaritmiche composte in cui l’ argomento del logaritmo è una funzione razionale fratta per la ricerca degli asintoti orizzontali è sufficiente fare il limite a infinito generico (non è necessario fare i limiti a più e a meno infinito)

Se 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ f(x) = 𝒍 allora la retta y=l è un asintoto orizzontale della funzione

𝑥→∞

lim

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

=

∞

Raccolgo sia a numeratore che a denominatore log

2

𝑥

𝑥→∞

lim

log1 2

𝑥−2 1−log1

2

𝑥

= lim

𝑥→∞

log₁

2

𝑥·(1− ²

log1 2

𝑥)

log1 2

𝑥·( ¹

log1 2

𝑥−1)

= lim

𝑥→∞

(1−_−∞² ) ( ¹

−∞−1)

= -1

La retta y=-1 è un asintoto orizzontale della funzione

AV X=1/2

AO y=-1