Esonero di Analisi Matematica 1 5 settembre 2014
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1. Esercizio 1. Applicando la definizione di limite, studiare il comportamento della funzione:
f (x) = e1/x (1)
in un intorno del punto x0= 0.
Svolgimento.
Determiniamo innanzitutto l’insieme di definizione X della funzione. Deve essere x 6= 0, per cui:X = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Da ci`o segue che 0 = x0∈ X, ma x/ 0∈ D (X), cio`e x0 `e un punto di accumulazione per X ma non appartenente a X. Per controllare la regolarit`a (i.e. esistenza del limite) della funzione, andiamo a risolvere la disequazione:
|f (x)| < ε, ∀ε > 0 Cio`e
e1/x< ε, ∀ε > 0 (2)
giacch`e
∀x ∈ X, e1/x> 0 =⇒
e
1/x = e
1/x (3)
La (2) equivale a:
1
x< ln ε (4)
Per risolvere tale disequazione conviene distinguere i due casi: 1) 0 < ε < 1 e 2) ε > 1.
Osservazione 1 Non consideriamo ε = 1, poich`e in tal caso le soluzioni della (2) sono tali che x ∈ (−∞, 0).
Noi, invece, cerchiamo soluzioni che dipendono da ε in modo da poter applicare la definizione di limite.
Studiamo il caso 1, cio`e 0 < ε < 1. `E conveniente graficare le funzioni a primo e secondo membro della (4). Il primo membro `e la curva y = 1x (iperbole equilatera), mentre il secondo membro `e la retta orizzontale y = ln ε. Dalla fig. 1. vediamo che:
1
x < ln ε ⇐⇒ x ∈ (αε, 0) , dove αε`e la radice dell’equazione logaritmica
1
x = ln ε =⇒ αε= 1 ln ε < 0
Perci`o:
|f (x)| < ε ⇐⇒ x ∈ (αε, 0) Cio`e:
∀ε ∈ (0, 1) , ∃δε= −αε> 0 | x ∈ Iδ−
ε(0) = (−δε, 0) =⇒
e
1/x < ε Per definizione di limite sinistro:
x→0lim−e1/x= 0 Pi`u precisamente:
x→0lim−e1/x= 0+,
1
ΑΕ
x
lnHΕ L y
y=
1 x
y=lnHΕ L
Figure 1: x1 < ln ε se e solo se x < αε.
poich`e e1/x > 0, ∀x ∈ X. Ne concludiamo che la funzione assegnata `e regolare a sinistra, risultando ivi infinitesima. Consideriamo, ora, il caso 2: ε > 1. Procedendo per via grafica (fig 2), vediamo che:
1
x< ln ε ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (βε, +∞) ,
dove βε = ln1ε > 0. Siamo interessati al comportamento di e1/x per x → 0+, per cui `e x > 0 e affinch`e sia
1
x < ln ε deve essere x ∈ (βε, +∞). Viceversa, x ∈ (0, βε) =⇒ 1x> ln ε =⇒ e1/x> ε, cosicch`e:
∀ε > 1, ∃δε= 1
ln ε > 0 | x ∈ Iδ+
ε(0) = (0, δε) =⇒ e1/x> ε Per definizione di limite destro:
x→0lim+e1/x= +∞
Ne concludiamo che in x0 = 0 la funzione assegnata `e non regolare (i.e. non ammette limite), risultando regolare a sinistra e a destra. Precisamente, `e infinitesima a sinistra e infinita a destra.
1. Esercizio 2. Analoga questione per la funzione:
f (x) = θ (x) sin1 x, dove θ (x) `e la funzione gradino unitario (unit step):
θ (x) =
1, x ≥ 0 0, x < 0 Svolgimento.
Come `e noto, la funzione sinx1 `e non regolare in x0= 0. Pi`u precisamente, `e non regolare n`e a sinistra e n`e a destra di x0. La restrizione di f a R−= (−∞, 0) `e la funzione identicamente nulla:
fR−(x) = 0, ∀x ∈ R−,
2
ΒΕ x lnHΕ L
y
y=
1 x
y=lnHΕ L
Figure 2: 1x > ln ε se e solo se x > βε.
onde per definizione di limite sinistro:
x→0lim−f (x) = lim
x→0fR−(x) = 0
Cio`e la funzione `e regolare a sinistra in x0, risultando ivi infinitesima. La restrizione di f a R+`e:
fR+(x) = sin 1
x, ∀x ∈ R+,
onde ∄ limx→0fR+(x) e, per definizione di limite destro, ∄ limx→0+f (x). Pertanto, la funzione assegnata `e non regolare a destra. In fig. 3 riportiamo il diagramma cartesiano della funzione assegnata.
3
-2 -1 1 2 x
-1 1 y
Figure 3: Grafico della funzione f (x) = θ (x) sin1x nell’intervallo [−2, 2].
4
