ϕ i (ζ) = ζ i , i = 0, ..., n, (2.1)

Capitolo 2

Piastre coerenti

Assegnamo alle funzioni {ϕ _i (ζ)} ⁿ _i=0 i primi (n + 1) elementi del sistema completo di potenze di ζ:

ϕ _i (ζ) = ζ ⁱ , i = 0, ..., n, (2.1)

in modo che il campo di spostamenti (1.27) assuma la forma

u ⁽ⁿ⁾ (x, ζ, t) = X n k=0

ζ ^k u ⁽ⁿ⁾ _k (x, t). (2.2)

In questo capitolo, specializziamo le equazioni dedotte nei paragrafi 1.5 e 1.7 al caso di un campo di spostamenti del tipo (2.2). Otteniamo un problema di evoluzione analogo a quello proposto in [65], dove si assume la cinematica (2.2) e si deducono le equazioni per la vibrazione libera di piastre elastiche. Mentre in [65] sono presentate, in particolare, le teorie di ordine 0, 1 e 2, qui, nei paragrafi 2.3 e 2.4, enunciamo le equazioni di evoluzione di piastre trasversalmente isotrope di ordine 1 e 3. Infine nel paragrafo 2.5, si mostra come le equazioni di Reissner-Mindlin e di Kirchhoff-Love non siano che casi particolari della teoria di ordine 1.

2.1 Equazioni delle piastre di ordine n

Assegnato il campo (2.2), gli spazi degli spostamenti cinematicamente ammissibili (1.36) e delle velocit`a test (1.37) diventano rispettivamente

U ⁽ⁿ⁾ = { u ⁽ⁿ⁾ (p, t) | u ⁽ⁿ⁾ (p; t) = X n i=1

ζ ⁱ u ⁽ⁿ⁾ _i (x, t), Pu ⁽ⁿ⁾ (p, t) = ˆ u(p) su ∂M × [0, t 0 )},

(2.3)

W ⁽ⁿ⁾ = {v ⁽ⁿ⁾ (x, ζ, t) | v ⁽ⁿ⁾ (x, ζ, t) = X n k=0

ζ ^k v ⁽ⁿ⁾ _k (x, t), su Ω × [0, t 0 ), Pv ⁽ⁿ⁾ = 0 su M}.

(2.4)

35

Le grandezze dinamiche (1.44), definite in P × [0, t 0 ), assumono la forma:

M k (x, t) = Z _+ε

−ε

ζ ^k S(x, ζ, t), N k (x, t) = kM _(k−1) (x, t), q k (x, t) =

Z _+ε

−ε

ζ ^k b(x, ζ, t) + ε ^k (ˆs ⁺ (x, ζ, t) + (−1) ^k ˆs ⁻ (x, ζ, t)), k = 0 ... n,

(2.5)

e le (1.45), definite in ∂P × [0, t 0 ):

p k (x, t) = Z _+ε

−ε

ζ ^k ˆs(x, ζ, t), k = 0 ... n. (2.6) Infine, le equazioni di bilancio (1.49) si riscrivono

s div M 0 + q 0 = 0,

s div M k − kM (k−1) z + q k = 0, k = 1...n, su P, (I − P)M k ν = p k , k = 0...n, su ∂P,

(2.7)

nelle quali i campi q k sono somma di due termini: il termine non inerziale q ⁿⁱ _k (x) =

Z

I

ζ ^k b ⁿⁱ (x, ζ) + ε ^k (ˆs ⁺ + (−1) ^k ˆs ⁻ (x)), e quello inerziale

q ⁱⁿ _k (x) = − X n j=0

(r (k+j) (x)¨ u j (x, t)), dove

r _i (x) = Z

I

%(x, ζ)ζ ⁱ . (2.8)

Ora scomponiamo il campo di spostamenti (2.2) nelle due parti specularmente simmetrica ed antisimmetrica rispetto al piano medio P. Questa decomposizione richiede due operazioni.

La prima consiste nel ripartire gli addendi del campo (2.2) in due classi: la classe di tutti i termini pari nella coordinata trasversale ζ e quella di tutti i dispari. Affinch´e le due collezioni abbiano lo stesso numero di elementi, la (2.2) deve essere composta da un numero pari di addendi. Ci`o significa considerare solo campi di spostamento di ordine n = 2N + 1, con N ∈ N , i quali, a seguito di questa suddivisione si scrivono:

u ^{(2N +1)} (x, ζ, t) = X N k=0

ζ ^2k u ^{(2N +1)} _2k (x, t) + X N k=0

ζ ^2k+1 u ^{(2N +1)} _2k+1 (x, t). (2.9)

La seconda operazione consiste invece nel rappresentare il generico addendo ζ ⁱ u ⁽²ⁿ⁺¹⁾ _i della (2.9) nella sua parte piana e trasversale:

ζ ⁱ u ^{(2N +1)} _i (x, t) = ζ ⁱ u ¯ i (x, t) + ζ ⁱ w i (x, t)z, ¯ u i (x, t) · z = 0. (2.10) Nei termini del secondo membro non riportiamo l’apice (2N + 1) per comodit`a.

La direzione trasversale e piana e la parit`a e disparit`a in ζ permettono di riscrivere il campo di spostamenti (2.9) cos`ı:

u ^{(2N +1)} (x, ζ, t) = u ^{(2N +1)} _m (x, ζ, t) + u ^{(2N +1)} _f (x, ζ, t), (2.11)

2.1. Equazioni delle piastre di ordine n 37 dove

u ^{(2N +1)} _m (x, ζ, t) = X N k=0

ζ ^2k ( ¯ u 2k (x, t) + ζw 2k+1 (x, t)z ) , (2.12)

`e specularmente simmetrico rispetto al piano medio P ed `e definito spostamento membranale, e

u ^{(2N +1)} _f (x, ζ, t) = X N k=0

ζ ^2k ( w 2k (x, t)z + ζ ¯ u 2k+1 (x, t) ), (2.13)

`e specularmente antisimmetrico ed `e chiamato spostamento flessionale. Gli spostamenti (2.12) e (2.13) sono chiamati in [66] di “thickness-stretch” e di “thickness-shear”, rifacen- dosi alla terminologia adottata in [1] per descrivere la propagazione di onde. Il campo (2.12) `e previsto quando la piastra `e compressa o stirata, ossia soggetta a condizioni di sol- lecitazione anch’esse specularmente simmetriche, tipiche del regime di carico membranale.

Il campo (2.13) `e atteso quando la piastra `e inflessa o investita da sforzi di taglio, ossia da carichi specularmente antisimmetrici caratteristici del regime flessionale. Vedremo che queste aspettative saranno confermate solo se la piastra soddisfa precise richieste costitutive.

La parte membranale (2.12) si compone di due tipi di addendi: spostamenti piani pari in ζ e spostamenti trasversali dispari in ζ, mentre la parte flessionale (2.13) `e costituita da spostamenti piani dispari e trasversali pari. La parit`a e disparit`a e la direzione trasversa e piana ripartiscono il campo di spostamenti in quattro collezioni costituite ciascuna da (N + 1) elementi ed il numero di termini che le compongono passa da (N + 1) ad (N + 2) semplicemente incrementando l’ordine cinematico da (2N + 1) a (2N + 3). Nei paragrafi 2.3 e 2.4 saranno presentate le teorie di piastre trasversalmente isotrope di ordine uno e tre, nelle quali le quattro collezioni appena menzionate sono formate da uno e due elementi rispettivamente. Nel paragrafo 2.2 dimostreremo che i regimi membranale e flessionale sono ortogonali in energia se nella classe delle simmetrie materiali `e presente la rotazione R ^π _z ∈ Orth di π intorno a z.

I tensori di deformazione associati ai campi di spostamento (2.12) e (2.13) sono:

E(u ^{(2N +1)} _m ) = ζ ^2N [A N + ζ sym(z ⊗ ∇w 2N +1 )] +

N −1 X

k=0

ζ ^2k (A k + ζ B k ) , (2.14)

con

A k = E(¯ u 2k ) + (2k + 1)w 2k+1 z ⊗ z, B k = sym ¡

z ⊗ (∇w 2k+1 + 2(k + 1)¯ u 2(k+1) ) ¢

, (2.15)

e

E(u ^{(2N +1)} _f ) = ζ ^2N [ζE(¯ u 2N +1 ) + C N ] +

N −1 X

k=0

ζ ^2k (C k + ζ D k ) , (2.16) con

C k = sym(z ⊗ (∇w 2k + (2k + 1)¯ u 2k+1 )),

D k = E(¯ u 2k+1 ) + 2(k + 1)w _2(k+1) z ⊗ z. (2.17)

I tensori A k e D k appartengono allo stesso sottospazio di Lin, mentre B k e C k appartengono

al complemento ortogonale di tale sottospazio. Inoltre gli addendi che compongono A k e

D k sono mutuamente ortogonali.

Dalla decomposizione (2.11) segue che lo spazio (2.3) degli spostamenti cinematicamente ammissibili si scrive

U ^{(2N +1)} = U _m ^{(2N +1)} ⊕ U _f ^{(2N +1)}

come somma diretta dello spazio degli spostamenti ammissibili di tipo membranale

U m ^{(2N +1)} = { u ^{(2N +1)} _m | u ^{(2N +1)} _m = X N

0

ζ ^2k ( ¯ u 2k + ζw 2k+1 z ), Pu ^{(2N +1)} m = ˆ u ^{(2N +1)} m su ∂M × [0, t 0 )},

(2.18)

e dello spazio degli spostamenti ammissibili di tipo flessionale

U _f ^{(2N +1)} = { u ^{(2N +1)} _f | u ^{(2N +1)} _f = X N

0

ζ ^2k ( w 2k z + ζ ¯ u 2k+1 ), Pu ^{(2N +1)} _f = ˆ u ^{(2N +1)} _f su ∂M × [0, t 0 )}.

(2.19)

Analogamente lo spazio (2.4) delle velocit`a test si scompone nella somma diretta W ^{(2N +1)} = W _m ^{(2N +1)} ⊕ W _f ^{(2N +1)} ,

delle velocit`a test membranali

W m ^{(2N +1)} = { v ^{(2N +1)} _m | v _m ⁽²ⁿ⁺¹⁾ = X N

0

ζ ^2k ( ¯ v 2k + ζv 2k+1 z ), Pv ^{(2N +1)} m = 0 su ∂M},

(2.20)

e delle velocit`a test flessionali

W _f ^{(2N +1)} = { v ^{(2N +1)} _f | v ^{(2N +1)} _f = X N

0

ζ ^2k ( v 2k z + ζ ¯ v 2k+1 ), Pv _f ^{(2N +1)} = 0 su ∂M}.

(2.21)

Se selezioniamo campi di velocit`a test di tipo membranale v ^{(2N +1)} m ∈ W m ^{(2N +1)} , l’e- quazione delle potenze virtuali (1.12) diventa:

Z

P

[ Z

I

S · ∇v ^{(2N +1)} _m − Z

I

b · v ^{(2N +1)} _m ] − Z

P

ˆs ⁺ · v ^{(2N +1)} _m − Z

P

ˆs ⁻ · v ^{(2N +1)} _m +

− Z

∂P

Z

I

ˆs · v ^{(2N +1)} _m = 0, ∀ v ^{(2N +1)} _m ∈ W _m ^{(2N +1)} ,

(2.22)

da cui si deducono le seguenti equazioni di bilancio locale definite su P × [0, t 0 ):

s I ( ^s div M 0 + q ⁿⁱ ₀ ) = X N j=0

r j ¨¯u j ,

s I ( ^s div M 2k − 2kM (2k−1) z + q ⁿⁱ _2k ) = X N j=0

r (2k+j) ¨¯u _j , k = 1...N,

s I ^⊥ ( ^s div M _(2k+1) − (2k + 1)M 2k z + q ⁿⁱ _(2k+1) ) = X N j=0

r _(2k+1+j) w ¨ j , k = 0...N,

(2.23)

2.2. Regimi membranale e flessionale 39

e le condizioni al contorno su ∂P × [0, t 0 ):

(I − P) ^s I ^⊥ M 2k+1 ν = ^s I ^⊥ p 2k+1 , k = 0...N,

(I − P) ^s I M 2k ν = ^s I p 2k , k = 0...N, (2.24) con ^s I = I − z ⊗ z ed ^s I ^⊥ = z ⊗ z proiettori rispettivamente nel piano P e nella direzione trasversale z.

Se selezioniamo campi di velocit`a test di tipo flessionale v _f ^{(2N +1)} ∈ W _f ^{(2N +1)} , la (1.12) si riscrive

Z

P

[ Z

I

S · ∇v ^{(2N +1)} _f − Z

I

b · v ^{(2N +1)} _f ] − Z

P

ˆs ⁺ · v ^{(2N +1)} _f − Z

P

ˆs ⁻ · v ^{(2N +1)} _f +

− Z

∂P

Z

I

ˆs · v ^{(2N +1)} _f = 0, ∀ v ^{(2N +1)} _f ∈ W _f ^{(2N +1)} ,

(2.25)

dalla quale seguono le equazioni di bilancio

s I ^⊥ ( ^s div M ₀ + q ⁿⁱ ₀ ) = X N j=0

r _j w ¨ _j ,

s I ^⊥ ( ^s div M 2k − 2kM (2k−1) z + q ⁿⁱ _2k ) = X N j=0

r (2k+j) w ¨ j , k = 1...N,

s I ( ^s div M _(2k+1) − (2k + 1)M _2k z + q ⁿⁱ _(2k+1) ) = X N j=0

r _(2k+1+j) ¨¯u _j , k = 0...N,

(2.26)

definite su P × [0, t ₀ ) e le condizioni al contorno su ∂P × [0, t ₀ ):

(I − P) ^s I M 2k+1 ν = ^s I p 2k+1 , k = 0...N,

(I − P) ^s I ^⊥ M 2k ν = ^s I ^⊥ p 2k , k = 0...N. (2.27) Le (2.23) e (2.26) con le relative condizioni al contorno (2.24) e (2.27) ricompongono il problema (2.7) dell’equilibrio per la piastra nell’istante di tempo t ∈ [0, t 0 ).

Se esprimiamo le caratteristiche di sollecitazione (2.5) 1 in termini del campo di sposta- menti (2.2) tramite le relazioni costitutive (1.14) e di compatibilit`a (2.14)-(2.16), le (2.23)- (2.24) e (2.26)-(2.27) diventano equazioni di evoluzione (come mostrato nel paragrafo 1.6).

Nel paragrafo successivo dimostreremo che i due problemi (2.23)-(2.24) e (2.26)-(2.27) sono disaccoppiati nei campi di spostamento incogniti u ^{(2N +1)} m ed u ^{(2N +1)} _f rispettivamente, se il tensore di elasticit`a C possiede la rotazione R <sup>π</sup> <sub>z</sub> ∈ Orth nel gruppo delle simmetrie materiali e se la densit`a di massa %(x, ζ) dipende dalla coordinata trasversale ζ in modo pari.

2.2 Regimi membranale e flessionale

Nella rappresentazione (2.10), fondamentale per poter decomporre il campo di spostamenti nella sua parte membranale e flessionale, abbiamo sfruttato la decomposizione dello spazio vettoriale V associato ad E nella somma diretta dello spazio V P = span(c 1 , c 2 ) tangente a P e del suo complemento ortogonale V ⊥ = span(z):

V = V P ⊕ V ⊥ .

Usiamo questa decomposizione per rappresentare i tensori delle deformazioni e degli sforzi nel seguente modo:

E(x, ζ, t) = ˆ E(x, ζ, t) + 2 sym γ(x, ζ, t) ⊗ z + ε(x, ζ, t)z ⊗ z,

S(x, ζ, t) = ˆ S(x, ζ, t) + 2 sym τ (x, ζ, t) ⊗ z + σ(x, ζ, t)z ⊗ z, (2.28) dove ˆ E(x, ζ, t), ˆ S(x, ζ, t) ∈ Sym(V P ) sono la deformazione e lo sforzo piani, γ(x, ζ, t), τ (x, ζ, t) ∈ V P la deformazione e la tensione di taglio e infine ε(x, ζ, t), σ(x, ζ, t) ∈ IR la deformazione e lo sforzo assiale.

Consideriamo ora un generico tensore di elasticit`a C , omogeneo, per il quale non richiedi- amo il soddisfacimento di alcuna simmetria materiale, ossia

G C ^{= {I}.}

Il tensore C appartiene alla classe cristallografica triclina e, grazie alle propriet`a di simmetria maggiore e minore, `e caratterizzato da ventuno costanti elastiche. Se usiamo le (2.28), la relazione costitutiva per un materiale triclino si pu`o scrivere:

S = ˆ ˆ C [ ˆ E] + Fε + ff[γ], σ = F · ˆ E + Gε + f · γ, τ = ff ^T [ ˆ E] + f ε + Hγ,

(2.29)

o analogamente, con una rappresentazione a blocchi di matrici:



 S ˆ σ τ



 =





C ˆ F ff F· G f · ff ^T f H







 E ˆ

ε γ



 ,

dove ˆ C ∈ L in(Sym(V P )), F ∈ Sym(V P ), f ∈ V P , G ∈ IR ed infine ff `e un’applicazione lineare del terz’ordine ff : V P 7→ Sym(V P ).

Nel paragrafo 2.1, le equazioni (2.23)-(2.24) e (2.26)-(2.27) sono state dedotte rispetti- vamente dalle equazioni delle potenze virtuali (2.22) e (2.25). Consideriamo ora il primo addendo della (2.22). Se facciamo uso delle relazioni di compatibilit`a (1.13) e costitutive (1.14), questo si pu`o scrivere in termini del campo di spostamenti (2.11) incognito:

Z

P

Z

I

S · ∇v ^{(2N +1)} _m = Z

P

Z

I

C [E(u ^{(2N +1)} _m + u ^{(2N +1)} _f )] · ∇v ^{(2N +1)} _m = Z

P

Z

I

{ C [E(u ^{(2N +1)} _m )] · ∇v _m ^{(2N +1)} + C [E(u ^{(2N +1)} _f )] · ∇v ^{(2N +1)} _m }.

(2.30)

Analogamente il primo membro della (2.25) si scrive Z

P

Z

I

S · ∇v ^{(2N +1)} _f = Z

P

Z

I

{ C [E(u ^{(2N +1)} _m )] · ∇v ^{(2N +1)} _f + C [E(u ^{(2N +1)} _f )] · ∇v ^{(2N +1)} _f }.

(2.31) Se si verifica che

Z

I

C [E(u ^{(2N +1)} _f )] · ∇v ^{(2N +1)} _m = Z

I

C [E(u ^{(2N +1)} _m )] · ∇v _f ^{(2N +1)} = 0, (2.32)

2.2. Regimi membranale e flessionale 41 allora, nelle (2.22) e (2.25), le potenze degli sforzi sono dovute a regimi di deformazione elastica rispettivamente solo membranale e solo flessionale. Le (2.32) sono soddisfatte se le energie elastiche membranali e flessionali di una qualsiasi fibra {x}×I sono ortogonali, ossia se

Z

I

C [E(u ^{(2N +1)} _m )] · E[u ^{(2N +1)} _f ] = 0. (2.33)

Vediamo allora quali sono le condizioni da porre sul tensore C affinch`e la (2.33) sia soddis- fatta. Facendo uso della (2.14) e della (2.29), valutiamo:

S(u ^{(2N +1)} _m ) = C [E(u ^{(2N +1)} _m )] = ˆ S(u ^{(2N +1)} _m )+2 sym τ (u ^{(2N +1)} _m )⊗z+σ(u ^{(2N +1)} _m )z⊗z, (2.34)

con

S(u ˆ ^{(2N +1)} _m ) = X N k=0

{ζ ^2k C ˆ [E(¯ u 2k )] + ζ ^2k (2k + 1)w 2k+1 F + ζ ^2k+1 ff[ 1

2 ∇w 2k+1 ]}+

+

N −1 X

k=0

ζ ^2k+1 (k + 1)ff[¯ u _2(k+1) ],

τ (u ^{(2N +1)} _m ) = X N k=0

{ζ ^2k ff ^T [E(¯ u _2k )] + (2k + 1)ζ ^2k w _2k+1 f + 1

2 ζ ^2k+1 H∇w _2k+1 }+

+

N −1 X

k=0

ζ ^2k+1 (k + 1)H¯ u _2(k+1) ,

σ(u ^{(2N +1)} m ) = X N k=0

{ζ ^2k [F · E(¯ u _2k ) + (2k + 1)Gw _2k+1 ] + 1

2 ζ ^2k+1 (f · ∇w _2k+1 )}+

+

N −1 X

k=0

(k + 1)ζ ^2k+1 f · ¯ u _2(k+1) ,

(2.35) e scriviamo il tensore di deformazione flessionale (2.16) nel seguente modo:

E(u ^{(2N +1)} _f ) = ˆ E(u ^{(2N +1)} _f ) + 2 sym γ(u ^{(2N +1)} _f ) ⊗ z + ε(u ^{(2N +1)} _f )z ⊗ z, (2.36)

con

E(u ˆ ^{(2N +1)} _f ) = X N k=0

ζ ^2k+1 E(¯ u _2k+1 ),

γ(u ^{(2N +1)} _f ) = X N k=0

[ 1

2 ζ ^2k ∇w 2k + ζ ^2k (2k + 1)¯ u 2k+1 ],

ε(u ^{(2N +1)} _f ) =

N −1 X

k=0

ζ ^2k+1 2(k + 1)w 2(k+1) .

(2.37)

Se sostituiamo le (2.34) e (2.36) nella (2.33), otteniamo la relazione:

X N k=0

X N h=0

ζ ^2(k+h+1) 1

2 ff[∇w 2k+1 ] · E(¯ u 2h+1 ) +

N −1 X

k=0

X N h=0

ζ ^2(k+h+1) (k + 1)ff[¯ u 2(k+1) ] · E(¯ u 2h+1 )+

X N k=0

X N h=0

1

2 ζ ^2(k+h) {ff ^T [E(¯ u 2k )] · ∇w 2h + (2k + 1)w 2k+1 f · ∇w 2h }+

X N k=0

X N h=0

(2k + 1)ζ ^2(k+h) {ff ^T [E(¯ u 2k )] · ¯ u _(2h+1) + (2k + 1)w 2k+1 f · ¯ u _(2h+1) }+

X N k=0

N −1 X

h=0

(k + 1)ζ ^2(k+h+1) w 2(h+1) (f · ∇w 2k+1 ) +

N −1 X

k=0 N −1 X

h=0

2(k + 1)ζ ^2(k+h+1) w 2(h+1) (f · ¯ u 2(k+1) ) = 0.

(2.38) Nella (2.33) si annullano tutti i termini i cui integrandi sono potenze dispari della coordinata ζ, infatti, assegnata una qualunque funzione ψ(x) definita in P,

Z

I

ζ ^2k+1 ψ(x) = 0, ∀ k ∈ N .

Data l’arbitrariet`a del campo di spostamenti u <sup>(2N +1)</sup> ∈ U <sup>(2N +1)</sup> , la (2.38) `e soddisfatta se e solo se

ff = 0,

f = 0. (2.39)

Quest’ultima condizione caratterizza un materiale di classe cristallografica monoclina (vid.

[20], § 26), ossia un materiale il cui gruppo delle simmetrie materiali G C `e costituito dalla sola rotazione R ^π _z ∈ Orth di π intorno a z (o analogamente dalla sola riflessione rispetto al piano medio P). Infatti si verifica facilmente che, dato un tensore triclino C ed assegnata la rotazione

R ^π _z = z ⊗ z − ^s I , la condizione di simmetria materiale

C [R ^π _z ER ^π _z ^T ] = R ^π _z C [E]R ^π _z ^T , ∀ E ∈ Sym

`e soddisfatta se e solo se valgono le (2.39).

Concludiamo che i regimi membranale e flessionale sono ortogonali in energia se e solo se, assegnato un tensore elastico C , omogeneo, nella sua collezione G C delle simmetrie materiali

`e presente la rotazione R <sup>π</sup> <sub>z</sub> ∈ Orth. Osserviamo che il requisito di omogeneit`a per C non `e indispensabile. Infatti `e sufficiente che C sia pari nella coordinata trasversale ζ, ossia

C (x, ζ) = C (x, −ζ). (2.40)

Anche in questo caso, infatti, assegnata una funzione χ(x, ζ) tale che χ(x, ζ) = χ(x, −ζ),

vale Z

I

ζ ^2k+1 χ(x, ζ) = 0, ∀ k ∈ N ,

2.2. Regimi membranale e flessionale 43 e quindi la (2.33), per C pari in ζ, si riduce alla (2.38). La dipendenza non banale di C da ζ in maniera pari `e tuttavia una condizione rara da riscontrare nella realt`a. Potrebbe essere interessante decomporre il campo di spostamenti (1.31) nella forma di uno svilup- po di funzioni trigonometriche nelle sue due parti simmetrica ed antisimmetrica rispetto al piano medio P e verificare quali condizioni devono essere soddisfatte dal tensore di elastic- it`a affinch´e i due regimi di deformazione simmetrico ed antisimmetrico siano ortogonali in energia.

Passiamo ad analizzare le forze d’inerzia contenute nei secondi membri delle (2.23) e (2.26). Se %(x, ζ) `e un campo pari nella coordinata ζ (%(x, ζ) = %(x, −ζ)), allora il k-esimo descrittore di massa r k (x) definito nella (2.8) `e tale che

r k (x) 6= 0, se k pari,

r k (x) = 0, se k dispari, (2.41)

e quindi nei secondi membri delle (2.23) sono coinvolti solo i descrittori cinematici del campo membranale (2.12) mentre nei secondi membri delle (2.26) compaiono solo le grandezze cinematiche tipiche dello spostamento flessionale (2.13). Questo disaccoppiamento delle inerzie `e verificato, in particolare, se la piastra `e omogenea, ossia se ha densit`a di massa costante.

Concludiamo che, se la piastra `e caratterizzata da un tensore elastico C (x, ζ) e da una densit`a di massa %(x, ζ) che sono funzioni pari nella coordinata trasversale ζ, ed inoltre, se C (x, ζ) possiede la rotazione R ^π _z ∈ Orth nel gruppo delle sue simmetrie materiali, allora l’ortogonalit`a in energia tra i regimi membranale e flessionale e la felice condizione di disac- coppiamento delle forze d’inerzia nelle (2.23) e (2.26), fanno si che i problemi (2.23)-(2.24) e (2.26)-(2.27), una volta scritti in termini di spostamenti, siano disaccoppiati rispettivamente nei campi incogniti u ⁽²ⁿ⁺¹⁾ m ed u ⁽²ⁿ⁺¹⁾ _f .

Nei paragrafi successivi dedurremo le equazioni di evoluzione per piastre di ordine uno e tre. Considereremo piastre la cui densit`a di massa `e omogenea ed il cui legame costitutivo

`e omogeneo, trasversalmente isotropo, con asse di isotropia diretto nella direzione z. Il corrispondente gruppo delle simmetrie materiali possiede tutte le rotazioni intorno a z e dunque anche quella di un angolo π. Vedremo che i due regimi membranale e flessionale si separano in due problemi disaccoppiati.

Osservazione. Il pi` u semplice legame costitutivo che garantisce l’ortogonalit`a in energia tra i regimi membranale e flessionale `e quello isotropo. La risposta costitutiva per un materiale omogeneo isotropo `e:

S = C [E] = 2µE + λ(trE)I , e la (2.33) diventa:

Z

I

C [E(u ^{(2N +1)} _m )] · E(u ^{(2N +1)} _f )dv = Z

I

[2µE(u ^{(2N +1)} _m ) + λtrE(u ^{(2N +1)} _m )I] · E(u ^{(2N +1)} _f )dV = 0.

Infatti, dalle (2.14) e (2.16), si vede che sia E(u ^{(2N +1)} m )·E(u ^{(2N +1)} _f ) che trE(u ^{(2N +1)} m )trE(u ^{(2N +1)} _f )

sono funzioni dispari della coordinata ζ, quindi `e nullo il loro integrale sullo spessore I. ¤

2.3 Piastre di ordine 1

Se arrestiamo lo sviluppo polinomiale (2.2) al prim’ordine, il campo di spostamenti prescritto diventa:

u(x, ζ, t) = u 0 (x, t) + ζu 1 (x, t), (2.42) con

u 0 (x, t) = ¯ u 0 (x, t) + w 0 (x, t)z, u ¯ 0 (x, t) · z = 0,

u 1 (x, t) = ¯ u 1 (x, t) + w 1 (x, t)z, u ¯ 1 (x, t) · z = 0, (2.43) ed il campo di deformazioni associato `e:

E(u) = sym(∇¯ u 0 + ζ∇¯ u 1 + ζz ⊗ ∇w 1 ) + sym(¯ u 1 + ∇w 0 ) ⊗ z + w 1 z ⊗ z. (2.44) I campi ¯ u 0 (x, t), w 0 (x, t) descrivono rispettivamente la traslazione nel piano P e quella nella direzione trasversale z; w 1 (x, t) rappresenta la deformazione assiale della fibra {x} × I nell’

istante t, infatti

w 1 = E(u) · z ⊗ z.

Infine il campo ¯ u 1 (x, t) serve a misurare la rotazione della medesima fibra. Infatti, quando u 0 = 0, w 1 (x, t) = 0,

la fibra {x} × I `e soggetta alla rotazione

u _r (x, ζ, t) = [z × ¯ u ₁ (x, t)] × (p − x), di asse ω(x, t) = z × ¯ u 1 (x, t) e centro x.

Nonostante la sua semplicit`a, il campo di spostamenti (2.42) riesce a descrivere quattro interessanti casi di deformazione ricorrenti nella meccanica delle strutture:

• deformazione piana, quando u(x, ζ, t) = ¯ u 0 (x, t),

• deformazione di spessore, quando u(x, ζ, t) = ζw 1 (x, t)z,

• deformazione di flessione e scorrimento, quando u(x, ζ, t) = w 0 (x, t)z + ζ ¯ u 1 (x, t),

• deformazione di flessione semplice, quando u(x, ζ, t) = w 0 (x, t)z + ζ ¯ u 1 (x, t), ed `e soddisfatta la condizione tipica delle piastre di Kirchhoff-Love

¯

u 1 (x, t) = −∇w 0 (x, t).

Decomponiamo il campo (2.42) nelle sue parti membranale e flessionale:

u(x, ζ, t) = u m (x, ζ, t) + u f (x, ζ, t), (2.45) con

u m (x, ζ, t) = ¯ u 0 (x, t) + ζw 1 (x, t)z,

u f (x, ζ, t) = w 0 (x, t)z + ζ ¯ u 1 (x, t), (2.46)

2.3. Piastre di ordine 1 45

ed il relativo campo di deformazioni si scompone cos`ı:

E(u) = E(u m ) + E(u f ), (2.47)

con

E(u m ) = sym(∇¯ u 0 + ζz ⊗ ∇w 1 ) + w 1 z ⊗ z,

E(u f ) = ζ sym(∇¯ u 1 ) + sym(¯ u 1 + ∇w 0 ) ⊗ z. (2.48) Le (2.23) e (2.24) si riducono alle seguenti equazioni di bilancio

s I ( ^s div M 0 + q ⁿⁱ ₀ ) = 2ερ¨¯ u 0 , z · ( ^s div M 1 − M 0 z + q ⁿⁱ ₁ ) = 2

3 ε ³ ρ ¨ w 1 , su P × [0, t 0 ),

s I (I − P)(M 0 ν) = ^s I p 0 ,

(I − P)M 1 ν · z = p 1 · z, su ∂P × [0, t 0 ),

(2.49)

e le (2.26) e (2.27) diventano:

z · ( ^s div M 0 + q ⁿⁱ ₀ ) = 2ε% ¨ w 0 ,

s I ( ^s div M 1 − M 0 z + q ⁿⁱ ₁ ) = 2

3 ε ³ ρ¨¯ u 1 , su P × [0, t 0 ), (I − P)N 0 ν · z = p 0 · z,

s I (I − P)M 1 ν = ^s I p 1 , su ∂P × [0, t ₀ ),

(2.50)

Soffermiamoci sulle caratteristiche di sollecitazione M 0 ed M 1 coinvolte nelle equazioni appena scritte. Assegnata una generica fibra {x} × I e scelto un versore ν(x), tale che ν · z = 0, siano

s P (x, t) = Z

I

S(x, ζ, t)ν(x), m P (x, t) =

Z

I

(p − x) × S(x, ζ, t)ν(x),

rispettivamente la risultante ed il momento risultante rispetto al polo x di tutte le forze superficiali Sν che agiscono sulla superficie la cui normale `e ν, lungo il segmento {x} × I.

Le caratteristiche di sollecitazione M 0 ed M 1 sono chiamate rispettivamente risultante delle forze e risultante dei momenti perch´e permettono di misurare s P e m P tramite le formule:

s P (x, t) = M 0 (x, t)ν(x), m P (x, t) = z × M 1 (x, t)ν(x).

Osserviamo che le equazioni (2.49) coinvolgono solo le parti ^s I M 0 s I , ^s I ^⊥ M 0 s I ^⊥ e

s I ^⊥ M 1 s I , ^s I M 1 s I ^⊥ dei tensori M 0 ed M 1 , mentre nelle (2.50) sono presenti le parti complementari ^s I ^⊥ M 0 s I , ^s I M 0 s I ^⊥ e ^s I M 1 s I , ^s I ^⊥ M 1 s I ^⊥ .

Osservazione. Vediamo come la richiesta costitutiva (1.16) si specializza nel caso di teorie di piastre di ordine uno. Le velocit`a rigide che appartengono allo spazio W m <sup>(1)</sup> delle velocit`a test membranali sono

v _m ^r = ¯ v 0 + W(p − o), con W ∈ Skw, Wz = 0, (2.51)

dove la condizione Wz = 0 `e necessaria affinch´e sia verificata l’uguaglianza

W(p − o) = W(x − o) + ζWz = ζv 1 z, (2.52) che garantisce l’appartenenza di v _m ^r allo spazio W m ⁽¹⁾ .

La prescrizione costitutiva (1.16), specializzata per campi di velocit`a test del tipo (2.51) e parti di piastra

Π = Q × I con Q ⊆ P, (2.53)

diventa Z

Q

Z

I

S · ∇v r = 0, ∀ Q ⊆ P, ∀v _m ^r ∈ W _m ⁽¹⁾ , (2.54) la quale si riduce alla relazione bidimensionale

Z

Q

M 0 · ∇v ^r _m = 0.

Data l’arbitrariet`a di Q ⊆ P ed in virt´ u del lemma fondamentale, possiamo scrivere M 0 · ∇v ^r _m = 0,

ed infine

M 0 · W = 0, ∀ W ∈ Skw tale che Wz = 0. (2.55) Quest’ultima condizione dice che c β · M 0 c α = c α · M 0 c β , con α 6= β. Come si pu´o notare la perdita di generalit`a nelle assegnazioni della parte Π e della velocit`a rigida v ^r _m ha ridotto le informazioni contenute nella relazione costitutiva (1.16). Diversamente dalla caratteriz- zazione costitutiva (1.17), la condizione (2.55) non `e puntuale ma integrata nello spessore del cilindro ed inoltre si riduce ad un’unica relazione scalare (M 0 ) αβ = (M 0 ) βα , con α 6= β, contro le tre specificazioni S ij = S ji per le componenti dello sforzo S contenute nella (1.17).

Consideriamo ora campi di velocit`a rigida che appartengono allo spazio W <sub>f</sub> <sup>(1)</sup> delle velocit`a test flessionali:

v ^r _f = v 0 z + W(p − o), W ∈ Skw, W(x − o) = 0, ∀ x ∈ P. (2.56) In questo caso, la condizione W(x − o) = 0 garantisce l’appartenenza di v ^r _f allo spazio W _f ⁽¹⁾ dato che deve essere soddisfatta l’uguaglianza

W(x − o) + ζWz = ζ ¯ v 1 .

Quando il dominio di integrazione `e una parte di piastra Π = Q × I ed il campo delle velocit`a rigide `e v _f ^r ∈ W _f ⁽¹⁾ , la richiesta costitutiva (1.16) diventa

Z

Q

M 0 · ∇v ^r _f = 0, ∀ Q ⊆ P, ∀ v ^r _f ∈ W _f ⁽¹⁾ , (2.57) dalla quale segue

M 0 · ∇v ^r _f = 0, ∀ v _f ^r ∈ W _f ⁽¹⁾ . (2.58)

2.3. Piastre di ordine 1 47

ed equivalentemente

M 0 · W = 0, ∀ W ∈ Skw tale che Wc α · c β = 0, con α 6= β. (2.59) Quest’ultima relazione dice che valgono le seguenti uguaglianze tra le componenti del tensore delle forze M 0 :

(M 0 ) α3 = (M 0 ) 3α .

Se concediamo alla piastra la possibilit`a di compiere moti sia membranali che flessionali del tipo (2.42), allora le prescrizioni costitutive (2.55) sommate alle (2.59) danno

M 0 ∈ Sym.

Questo risultato `e ovvio se si assume S = S <sup>T</sup> dal problema elastico tridimensionale per un continuo di Cauchy. Ribadiamo il fatto che l’assunzione M 0 (x) ∈ Sym `e pi´ u debole dell’informazione puntuale S(p) ∈ Sym. Infatti M 0 (x) ci fornisce una media dello sforzo S(p) per p ∈ {x} × I. Osserviamo inoltre che la somma di moti rigidi membranali (2.51) e flessionali (2.56) fornisce un qualsiasi moto rigido

v ^r = v _m ^r + v ^r _f = u 0 + W(p − o), W ∈ Skw. ¤

Ora esprimiamo i tensori delle forze e dei momenti M 0 ed M 1 in termini del campo di spostamento u prescritto nella (2.42):

M 0 (u) = Z

I

C[E(u)] ed M 1 (u) = Z

I

ζC[E(u)]. (2.60)

Scegliamo un materiale omogeneo, trasversalmente isotropo, con asse di isotropia nella direzione z. Il tensore di elasticit`a C si rappresenta:

C = (2µ + λ)(X 1 ⊗ X 1 + X 2 ⊗ X 2 + X 6 ⊗ X 6 )+

+λ(X 1 ⊗ X 2 + X 2 ⊗ X 1 − X 6 ⊗ X 6 )+

+τ 2 (X 1 ⊗ X 3 + X 3 ⊗ X 1 + X 2 ⊗ X 3 + X 3 ⊗ X 2 )+

+τ 1 X 3 ⊗ X 3 + 2η(X 4 ⊗ X 4 + X 5 ⊗ X 5 ),

(2.61)

dove

X 1 = c 1 ⊗ c 1 , X 4 = √

2 sym c 2 ⊗ z, X 2 = c 2 ⊗ c 2 , X 5 = √

2 sym c 1 ⊗ z, X 3 = z ⊗ z, X 6 = √

2 sym c 1 ⊗ c 2 ,

(2.62)

sono i tensori di una base ortonormale dello spazio Sym.

Il legame costitutivo assegnato accorda la geometria globale del corpo con la geometria costitutiva locale, facendo coincidere la direzione ortogonale al piano geometrico P con l’asse materiale di isotropia trasversa. Per questo si dice che la risposta trasversalmente isotropa `e coerentemente orientata o pi` u in breve coerente. Affinch´e l’energia di deformazione elastica sia definita positiva, ossia

σ(E) = 1

2 E · C[E] > 0,

le cinque costanti elastiche che caratterizzano il tensore C devono soddisfare le disug- uaglianze:

µ > 0, τ 1 > 0, η > 0, τ 1 (λ + µ) − (τ 2 ) ² > 0. (2.63) Si osserva che con la particolare scelta delle costanti

τ 1 = λ + 2µ, τ 2 = λ, η = µ, (2.64)

ci si riconduce ad un materiale isotropo:

C = 2µI + λI ⊗ I.

Assegnato il tensore d’elasticit`a (2.61), grazie alle equazioni di compatibilit`a (2.44) e costitutive (1.14), il tensore degli sforzi diventa:

S(u) = C [E(u)] = λ(div ¯ u 0 + ζ div ¯ u 1 ) ^s I + 2µ sym(∇¯ u 0 + ζ∇¯ u 1 ) + τ 2 w 1 s I + +τ 1 w 1 z ⊗ z + τ 2 (div ¯ u 0 + ζ div ¯ u 1 )z ⊗ z + 2η sym(∇w 0 + ¯ u 1 + ζ∇w 1 ) ⊗ z.

(2.65) Se ci si avvale della decomposizione (2.45) del campo di spostamenti in parti membranale e flessionale, allora gli sforzi associati rispettivamente alla deformazione membranale (2.48) 1

e a quella flessionale (2.48) 2 sono

S(u m ) = λ div ¯ u 0 s I + 2µ sym ∇¯ u 0 + τ 2 w 1 s I + τ 1 w 1 z ⊗ z + τ 2 div ¯ u 0 + +2ηζ sym ∇w 1 ⊗ z,

S(u f ) = λζ div ¯ u 1 s I + 2µζ sym ∇¯ u 1 + +τ 2 (div ¯ u 0 + ζ div ¯ u 1 )z ⊗ z+

+2η sym(∇w ₀ + ¯ u ₁ ) ⊗ z.

(2.66)

Tramite le (2.48) e (2.66) si verifica immediatamente la condizione di ortogonalit`a in energia dei regimi membranale e flessionale

Z

P

Z

I

S(u m ) · E(u f ) = Z

P

Z

I

S(u f ) · E(u m ) = 0. (2.67)

Le caratteristiche di sollecitazione (2.60) diventano

M 0 = 2ε[(λ div ¯ u 0 + τ 2 w 1 ) ^s I + 2µ sym ∇¯ u 0 + 2η sym(∇w 0 + ¯ u 1 ) ⊗ z+

+(τ 1 w 1 + τ 2 div ¯ u 0 )z ⊗ z],

M 1 = ² ₃ ε ³ [λ(div ¯ u 1 ) ^s I + 2µ sym ∇¯ u 1 + 2η sym ∇w 1 ⊗ z + τ 2 (div ¯ u 1 )z ⊗ z],

(2.68)

alle quali applichiamo l’operatore di divergenza per avere:

div M 0 = 2ε[µ∆¯ u 0 + (λ + µ)∇ div ¯ u 0 + τ 2 ∇w 1 + η(∆w 0 + div ¯ u 1 )z], div M 1 = ² ₃ ε ³ [µ∆¯ u 1 + (λ + µ)∇ div ¯ u 1 + η∆w 1 z].

(2.69)

Se sostituiamo le (2.68) e le (2.69) nelle equazioni di bilancio (2.49) 1,2 e (2.50) 1,2 , otteniamo

le equazioni di evoluzione della piastra rispettivamente in regime membranale e flessionale:

2.3. Piastre di ordine 1 49

• (regime membranale)

µ∆¯ u 0 + (λ + µ)∇(div ¯ u 0 ) + τ 2 ∇w 1 + (2ε) ^−1s I q ⁿⁱ ₀ = ρ¨¯ u 0 ,

ε ² η∆w 1 − 3τ 2 div ¯ u 0 − 3τ 1 w 1 + ³ ₂ ε ⁻¹ z · q ⁿⁱ ₁ = ε ² ρ ¨ w 1 , (2.70)

• (regime flessionale)

η div (∇w 0 + ¯ u 1 ) + (2ε) ⁻¹ z · q ⁿⁱ ₀ = ρ ¨ w 0 ,

ε ² [µ∆¯ u 1 + (λ + µ) ∇ (div ¯ u 1 )] − 3η (∇w 0 + ¯ u 1 ) + ³ ₂ ε ^−1s I q ⁿⁱ ₁ = ε ² ρ¨¯ u 1 , (2.71) I due moti simmetrici rispettivamente longitudinale (u = ¯ u 0 ) e trasversale (u = w 1 z) che costituiscono le incognite del problema (2.70), in [81] sono separati in due problemi detti di “symmetric thickness-shear” e di “symmetric thickness-stretch” tramite l’adozione di particolari ipotesi semplificative. Analogamente, Mindlin et al. in [51] separa le (2.71) in due set di equazioni: uno per i moti di taglio nello spessore ed uno per quelli puramente flessionali.

Questo disaccoppiamento `e esteso da Lee et al. in [34] al caso di piastra elettroelastica.

Alle (2.70) e (2.71) aggiungiamo le condizioni al contorno. Le condizioni di tipo geomet- rico sono assegnate quando si richiede l’appartenenza all’insieme (2.3) degli spostamenti cin- ematicamente ammissibili. Qualora si prescrivano spostamenti (2.46) 1 di tipo membranale, la condizione geometrica sul mantello diventa:

Pu m = ˆ u m su ∂M × [0, t 0 ), (2.72)

con P ∈ L _p (vedi (1.34)). Il dato cinematico ˆ u _m deve avere la forma ˆ

u _m = (ˆ¯ u ₀ + ζ ˆ w ₁ z), (2.73)

e, perch´e sia soddisfatta la condizione di mutua consistenza (1.4), i campi ˆ¯ u 0 e ˆ w 1 devono essere tali che:

(I − P)ˆ¯ u 0 = ˆ w 1 (I − P)z = 0.

Le (2.72) si riducono alle seguenti relazioni P¯ u 0 = ˆ¯ u 0 ,

Pw 1 z = ˆ w 1 z, su ∂P × [0, t 0 ). (2.74) Le condizioni al bordo di tipo dinamico, dedotte dal principio delle potenze virtuali, sono le (2.49) 3,4 che riscriviamo:

s I (I − P)(N 0 ν) = ^s I p 0 ,

(I − P)N 1 ν · z = p 1 · z, su ∂P × [0, t 0 ). (2.75) Le equazioni (2.74) e (2.75) equivalgono ad assegnazioni “complementanti” compiute nelle terne rispettivamente di tipo dinamico e statico

( (N 0 ) νν − (p 0 ) ν = 0, (N 0 ) τ ν − (p 0 ) τ = 0, (N 1 ) zν − (p 1 ) z = 0 ),

( (¯ u 0 ) ν = ˆ¯ u ν , (¯ u 0 ) τ = ˆ¯ u τ , w 1 = ˆ w 1 ).

dove N 0 , N 1 , p 0 , p 1 e ¯ u 1 sono scritti in componenti rispetto alla base ortonormale (z, ν, τ ) definita in ogni punto della frontiera ∂P.

Riportiamo alcune delle condizioni al contorno pi´ u ricorrenti. Le condizioni di bordo incastrato sono

(¯ u 0 ) ν = 0, w 1 = 0,

alle quali si aggiunge la condizioni (¯ u 0 ) τ = 0 per avere incastro duro, o (N 0 ) ντ = 0 per avere incastro soffice. Le assegnazioni di appoggio duro sono

(N 0 ) νν = 0, (¯ u 0 ) τ = 0, w 0 = 0, e quelle di appoggio soffice:

(N 0 ) νν = 0, (¯ u 0 ) τ = 0, (N 0 ) ντ = 0.

Analogamente, quando lo spostamento assunto `e quello flessionale (2.46) 2 , la condizione al contorno di tipo Dirichlet vale

Pu f = ˆ u f , su ∂M × [0, t 0 ),

con (I − P)ˆ u f = 0, la quale, dopo aver obbligato ˆ u f ad avere la forma ˆ u f = ˆ w 0 z + ζ ˆ¯ u 1 , diventa

Pw 0 z = ˆ w 0 z,

P¯ u 1 = ˆ¯ u 1 , su ∂P × [0, t 0 ). (2.76) Le condizioni di tipo Neumann sono le (2.50) 3,4 che riscriviamo

(I − P)N 0 ν · z = p 0 · z,

s I (I − P)N 1 ν = ^s I p 1 , su ∂P × [0, t 0 ). (2.77) Anche in questo caso le (2.76) e (2.77) sono equazioni scelte secondo il criterio della complementariet`a dinamico-cinematica nelle seguenti liste

( (N 0 ) zν − (p) _0z = 0, (N 1 ) νν − (p) _1ν = 0, (N 1 ) τ ν − (p) _1τ = 0 ), ( w 0 = ˆ w 0 , (¯ u 1 ) ν = ˆ¯ u ν , (¯ u 1 ) τ = ˆ¯ u τ ),

Riportiamo, anche in questo caso, alcune delle condizioni al contorno pi` u ricorrenti:

l’incastro duro richiede:

w 0 = 0, (¯ u 1 ) ν = 0, (¯ u 1 ) τ = 0, l’incastro soffice:

w 0 = 0, (¯ u 1 ) ν = 0, (N 1 ) ντ = 0.

Le assegnazioni di appoggio duro sono

w 0 = 0, (N 1 ) νν = 0, (¯ u 1 ) τ = 0, e quelle di appoggio soffice:

w 0 = 0, (N 1 ) νν = 0, (N 1 ) ντ = 0.

In [57] e [56] la teoria di ordine uno qui esposta `e estesa al caso elettroelastico.

2.4. Piastre di ordine 3 51

2.4 Piastre di ordine 3

In questo paragrafo dedurremo le equazioni delle piastre di ordine tre, trasversalmente isortrope, coerentemente orientate. Il campo di spostamenti che assumiamo `e lo sviluppo polinomiale (2.9) arrestato all’ordine tre:

u ⁽³⁾ (x, ζ, t) = u 0 (x, t) + ζu 1 (x, t) + ζ ² u 2 (x, t) + ζ ³ u 3 (x, t), (2.78) il quale si scompone additivamente nelle due parti membranale e flessionale:

u m = ¯ u 0 + ζw 1 z + ζ ² u ¯ 2 + ζ ³ w 3 z,

u f = w 0 z + ζ ¯ u 1 + ζ ² w 2 z + ζ ³ u ¯ 3 . (2.79) Il tensore di deformazione associato allo spostamento (2.79) 1 `e

E(u m ) = E 0 (u m ) + ζE 1 (u m ) + ζ ² E 2 (u m ) + ζ ³ E 3 (u m ), (2.80) con

E 0 (u m ) = sym ∇¯ u 0 + w 1 z ⊗ z, E 1 (u m ) = sym(∇w 1 + 2¯ u 2 ) ⊗ z,

E 2 (u m ) = sym ∇¯ u 2 + 3w 3 z ⊗ z, E 3 (u m ) = sym(∇w 3 ⊗ z), (2.81) e quello associato al campo (2.79) 2 vale

E(u f ) = E 0 (u f ) + ζE 1 (u f ) + ζ ² E 2 (u f ) + ζ ³ E 3 (u f ), (2.82) con

E 0 (u f ) = sym(∇w 0 + ¯ u 1 ) ⊗ z, E 1 (u f ) = sym ∇¯ u 1 + 2w 2 z ⊗ z,

E 2 (u f ) = sym(∇w 2 + 3¯ u 3 ) ⊗ z, E 3 (u f ) = sym(∇¯ u 3 ). (2.83) Poich`e la piastra `e costituita da materiale omogeneo, trasversalmente isotropo, coerente- mente orientato, i due regimi elastici membranale e flessionale sono disaccoppiati in due distinti problemi evolutivi, come gi`a provato in § 2.2. Il tensore delle tensioni di tipo membranale vale

S(u m ) = S 0 (u m ) + ζS 1 (u m ) + ζ ² S 2 (u m ) + ζ ³ S 3 (u m ), (2.84) con

S 0 (u m ) = 2µ sym(∇¯ u 0 ) + [λ(div ¯ u 0 ) + τ 2 w 1 ] ^s I + [τ 2 (div ¯ u 0 ) + τ 1 w 1 ]z ⊗ z, S 1 (u m ) = 2µ sym(∇w 1 ⊗ z + 2¯ u 2 ⊗ z),

S 2 (u m ) = 2µ sym(∇¯ u 2 ) + [λ(div ¯ u 2 ) + 3τ 2 w 3 ] ^s I + [τ 2 (div ¯ u 2 ) + 3τ 1 w 3 ]z ⊗ z, S 3 (u m ) = 2η sym(∇w 3 ⊗ z),

(2.85)

ed il tensore delle tensioni flessionali `e:

S(u f ) = S 0 (u f ) + ζS 1 (u f ) + ζ ² S 2 (u f ) + ζ ³ S 3 (u f ), (2.86) con

S 0 (u f ) = 2η sym(∇w 0 ⊗ z + ¯ u 1 ⊗ z),

S 1 (u f ) = 2µ sym(∇¯ u 1 ) + [λ(div ¯ u 1 ) + 2τ 2 w 2 ] ^s I + [τ 2 (div ¯ u 1 ) + 2τ 1 w 2 ]z ⊗ z, S 2 (u f ) = 2η sym(∇w 2 ⊗ z + 3¯ u 3 ⊗ z),

S 3 (u f ) = 2µ sym(∇¯ u 3 ) + λ(div ¯ u 3 ) ^s I + τ 2 (div ¯ u 3 )z ⊗ z.

(2.87)

Le equazioni di bilancio per il regime membranale sono le (2.23)-(2.24) nelle quali `e fissato N = 1:

s I (div M 0 + q 0 ) = 2ε%¨¯ u 0 + ² ₃ ε ³ %¨¯ u 2 ,

z · (div M 1 − M 0 z + q 1 ) = ² ₃ ε ³ % ¨ w 1 + ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 3 ,

s I (div M 2 − 2M 1 z + q 2 ) = ² ₃ ε ³ %¨¯ u 0 + ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 2 , z · (div M 3 − 3M 2 z + q 3 ) = ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 1 + ² ₇ ε ⁷ % ¨ w 3 ,

su ∂P × [0, t ₀ ),

s I (I − P)M ₀ ν = ^s I p ₀ , z · (I − P)M 1 ν = p 1 · z,

s I (I − P)M 2 ν = ^s I p 2 , z · (I − P)M 3 ν = p 3 · z,

su ∂P × [0, t 0 ).

(2.88)

Se esprimiamo le caratteristiche di sollecitazione in termini del campo di spostamenti (2.79) 1 : M 0 = 2εS 0 (u m ) + ² ₃ ε ³ S 2 (u m ), M 1 = ² ₃ ε ³ S 1 (u m ) + ² ₅ ε ⁵ S 3 (u m ),

M 2 = ² ₃ ε ³ S 0 (u m ) + ² ₅ ε ⁵ S 2 (u m ), M 3 = ² ₅ ε ⁵ S 1 (u m ) + ² ₇ ε ⁷ S 3 (u m ), (2.89) le (2.88) 1,2,3,4 diventano le equazioni di evoluzione per il regime membranale:

2ε[µ∆¯ u 0 + (λ + µ)∇ div ¯ u 0 + τ 2 ∇w 1 ] + ² ₃ ε ³ [µ∆¯ u 2 + (λ + µ)∇ div ¯ u 2 + 3τ 2 ∇w 3 ]+

+ ^s I q = 2ε%¨¯ u 0 + ² ₃ ε ³ %¨¯ u 2 ,

2

3 ε ³ η(∆w 1 + 2 div ¯ u 2 ) + ² ₅ ε ⁵ η∆w 3 − 2ε(τ 2 div ¯ u 0 + τ 1 w 1 ) − ² ₃ ε ³ (τ 2 div ¯ u 2 + 3τ 1 w 3 )+

+q 1 · z = ² ₃ ε ³ % ¨ w 1 + ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 3 ,

2

3 ε ³ [µ∆¯ u 0 + (λ + µ)∇ div ¯ u 0 + τ 2 ∇w 1 ] + ² ₅ ε ⁵ [µ∆¯ u 2 + (λ + µ)∇ div ¯ u 2 + 3τ 2 ∇w 3 ]+

− ⁴ ₃ ε ³ η(∇w 1 + 2¯ u 2 ) − ⁴ ₅ ε ⁵ η∇w 3 + ^s I q 2 = ² ₃ ε ³ %¨¯ u 0 + ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 2 ,

2

5 ε ⁵ η(∆w 1 + 2 div ¯ u 2 ) + ² ₇ ε ⁷ η∆w 3 − 2ε ³ (τ 2 div ¯ u 0 + τ 1 w 1 ) − ⁶ ₅ ε ⁵ (τ 2 div ¯ u 2 + 3τ 1 w 3 )+

+q 3 · z = ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 1 + ² ₇ ε ⁷ % ¨ w 3 ,

(2.90) Analogamente per il regime flessionale, le equazioni di bilancio (2.26)-(2.27), una volta fissato N = 1, diventano:

z · (div M 0 + q 0 ) = 2ε% ¨ w 0 + ² ₃ ε ³ % ¨ w 2 ,

s I (div M 1 − M 0 z + q 1 ) = ² ₃ ε ³ %¨¯ u 1 + ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 3 , z · (div M 2 − 2M 1 z + q 2 ) = ² ₃ ε ³ % ¨ w 0 + ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 2 ,

s I (div M 3 − 3M 2 z + q 3 ) = ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 1 + ² ₇ ε ⁷ %¨¯ u 3 ,

su ∂P × [0, t 0 ),

z · (I − P)M 0 ν = z · p 0 ,

s I (I − P)M 1 ν = ^s I p 1 , z · (I − P)M 2 ν = z · p 2 ,

s I (I − P)M 3 ν = ^s I p 3 ,

su ∂P × [0, t ₀ ),

(2.91)

e, se esprimiamo le caratteristiche di sollecitazione in termini del campo di spostamenti (2.79) 2 :

M 0 = 2εS 0 (u f ) + ² ₃ ε ³ S 2 (u f ), M 1 = ² ₃ ε ³ S 1 (u f ) + ² ₅ ε ⁵ S 3 (u f ),

M 2 = ² ₃ ε ³ S 0 (u f ) + ² ₅ ε ⁵ S 2 (u f ), M 3 = ² ₅ ε ⁵ S 1 (u f ) + ² ₇ ε ⁷ S 3 (u f ), (2.92)

2.5. Teorie di piastre con vincoli interni 53

le (2.91) 1,2,3,4 diventano le equazioni di evoluzione per il regime flessionale:

2εη(∆w 0 + div ¯ u 1 ) + ² ₃ ε ³ η(∆w 2 + 3 div ¯ u 3 ) + q 0 · z = 2ε% ¨ w 0 + ² ₃ ε ³ % ¨ w 2 ,

2

3 ε ³ [µ∆¯ u 1 + (λ + µ)∇ div ¯ u 1 + 2τ 2 ∇w 2 ] + ² ₅ ε ⁵ [µ∆¯ u 3 + (λ + µ)∇ div ¯ u 3 ]+

−2εη(∇w 0 + ¯ u 1 ) − ² ₃ ε ³ η(∇w 2 + 3¯ u 3 ) + ^s I q 1 = ² ₃ ε ³ %¨¯ u 1 + ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 3 ,

2

3 ε ³ η(∆w ₀ + div ¯ u ₁ ) + ² ₅ ε ⁵ η(∆w ₂ + 3 div ¯ u ₃ ) − ⁴ ₃ ε ³ (τ ₂ div ¯ u ₁ + 2τ ₁ w ₂ )+

− ⁴ ₅ ε ⁵ τ 2 div ¯ u 3 + q 2 · z = ² ₃ ε ³ % ¨ w 0 + ² ₅ ε ⁵ % ¨ w 2 ,

2

5 ε ⁵ [µ∆¯ u 1 + (λ + µ)∇ div ¯ u 1 + 2τ 2 ∇w 2 ] + ² ₇ ε ⁷ [µ∆¯ u 3 + (λ + µ)∇ div ¯ u 3 ]+

−2ε ³ η(∇w 0 + ¯ u 1 ) − ⁶ ₅ ε ⁵ η(∇w 2 + 3¯ u 3 ) + ^s I q 3 = ² ₅ ε ⁵ %¨¯ u 1 + ² ₇ ε ⁷ %¨¯ u 3 .

(2.93)

Osserviamo che le equazioni (2.90) e (2.93) si riducono alle (2.70) e (2.71) una volta posto

¯

u ₂ = ¯ u ₃ = 0 e w ₂ = w ₃ = 0.

2.5 Teorie di piastre con vincoli interni

In questo paragrafo le teorie di Reissner-Mindlin e di Kirchhoff-Love sono presentate come casi particolari della teoria di ordine uno (paragrafo 2.3) nella quale sono aggiunte le condizioni di vincolo (1.66)-(1.68) e (1.66)-(1.67) rispettivamente.

2.5.1 Piastra di Reissner-Mindlin

Iniziamo dalla teoria di Reissner-Mindlin (vid. [68], [69], [45], [44]). Nella seguente espo- sizione facciamo riferimento a [54] e [36] e rimandiamo a [46] per l’estensione della teoria al caso elettroelastico.

Il campo di spostamenti assunto, come gi`a accennato nel paragrafo 1.8, `e

u

(x, ζ, t) = w 0 (x, t)z + ζ ¯ u 1 (x, t), ¯ u 1 (x, t) · z = 0, (2.94) il quale concede alla generica fibra di piastra {x} × I la possibilit`a di muoversi rigida- mente nella direzione trasversale e ruotare senza permetterle di estendersi. Il tensore delle deformazioni si scrive:

E(u

) = ζ sym( ^s ∇ ¯ u 1 ) + z ⊗ ∇w 0 + ¯ u 1 ⊗ z, (2.95) e soddisfa l’equazione di vincolo interno

E(u

) · z ⊗ z = 0, (2.96)

che impone l’inestensibilit`a nella direzione z. Lo spazio di vincolo `e costituito dall’insieme M

= {A ∈ Sym tale che A · z ⊗ z = 0 }, (2.97) e il gruppo di vincolo associato `e rappresentato da tutte le rotazioni intorno all’asse z:

G M = Rot(z).

Il pi` u ampio gruppo di simmetrie materiali che soddisfa la relazione di compatibilit`a (1.87)

`e quello che caratterizza un materiale trasversalmente isotropo, coerentemente orientato.

Assumiamo quindi quest’ultimo legame costitutivo, il cui tensore di elasticit`a (2.61), una volta introdotto il vincolo (2.96), si modifica cos`ı:

C

= (2µ + λ)(X 1 ⊗ X 1 + X 2 ⊗ X 2 + X 6 ⊗ X 6 )+

+λ(X 1 ⊗ X 2 + X 2 ⊗ X 1 − X 6 ⊗ X 6 )+

+2η(X 4 ⊗ X 4 + X 5 ⊗ X 5 ).

(2.98)

Questa formula si ottiene applicando la tecnica di rappresentazione vincolata mostrata nel paragrafo 1.9 (vid. [64], [54]). Il tensore degli sforzi si scompone additivamente in questo modo

S = S ^A + S ^R , (2.99)

dove

S ^A = C

[E(u

)] ∈ M

,

S ^R = σz ⊗ z. (2.100)

Analogamente le caratteristiche di sollecitazione (2.5) 1 si scompongono in parte attiva e reattiva:

M i = M ^A _i + M ^R _i , i = 0, 1, con

M ^A _i = Z

I

ζ ⁱ S ^A , M ^R _i = Z

I

ζ ⁱ σz ⊗ z.

Dopo aver specializzato gli spazi degli spostamenti ammissibili vincolati (1.80) e delle velocit`a test (1.81) al caso di campi di spostamento di Reissner-Mindlin (2.94), dall’equazione delle potenze virtuali (1.82) si ricavano le seguenti equazioni di bilancio

z · ( ^s div M ^A ₀ + q ⁿⁱ ₀ ) = 2ε% ¨ w 0 ,

s I ( ^s div M ^A ₁ − M ^A ₀ z + q ⁿⁱ ₁ ) = 2

3 ε ³ ρ¨¯ u 1 , su P × [0, t 0 ), z · (I − P)M ^A ₀ ν = z · p 0 ,

s I (I − P)M ^A ₁ ν = ^s I p 1 , su ∂P × [0, t 0 ),

(2.101)

che coinvolgono solo le caratteristiche di sollecitazione attive e sono note come equazioni di Reissner-Mindlin. Se esprimiamo il tensore degli sforzi attivi in termini del campo di spostamenti:

S ^A (u

) = C

[E(u

)] = λζ(div ¯ u 1 ) ^s I + 2µζ sym(∇¯ u 1 )+

+2η sym(∇w 0 + ¯ u 1 ) ⊗ z, (2.102) le caratteristiche delle forze e dei momenti attivi diventano:

M ^A ₀ = 4εη sym(∇w 0 + ¯ u 1 ) ⊗ z,

M ^A ₁ = ² ₃ ε ³ [λ(div ¯ u 1 ) ^s I + 2µ sym ∇¯ u 1 ], (2.103) cos`ı che le equazioni di campo (2.101) 1,2 si riscrivono in termini del campo di spostamenti:

η div (∇w 0 + ¯ u 1 ) + (2ε) ⁻¹ z · q ⁿⁱ ₀ = ρ ¨ w 0 ,

ε ² [µ∆¯ u 1 + (λ + µ) ∇ (div ¯ u 1 )] − 3η (∇w 0 + ¯ u 1 ) + ³ ₂ ε ^−1s I q ⁿⁱ ₁ = ε ² ρ¨¯ u 1 , (2.104)