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Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE CON UN VALORE ASSOLUTO
Esempio D: y ln(x1 2x)
OSSERVAZIONI:
è opportuno togliere il modulo tenendo presente le limitazioni che esso comporta.
0 1 x per ) x 2 1 x ln(
) x ( f
0 1 x per ) x 2 1 x ln(
) x ( ) f x 2 1 x ln(
) x ( f
2 1
Ossia:
1 x per ) 1 x ln(
) x ( f
1 x per ) 1 x 3 ln(
) x ( ) f x 2 1 x ln(
) x ( f
2 1
Studio della funzione f1(x)ln(3x1) per x1 1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente logaritmica. La presenza del logaritmo impone che sia
3 x 1 0 1 x
3 . Quindi per determinare il campo di esistenza, bisogna considerare le soluzioni del sistema:
3 x 1
1 x
ossia:
3 1
Pertanto, il C.E. è [1;[.
2) Simmetrie :
La funzione non è simmetrica.
3) Studio del segno
Studiando il segno della funzione f1(x) si ha:
3 x 2 1 1 x 3 0 ) 1 x 3
ln( quindi si ottiene:
Pertanto, la f1(x) è sempre positiva dove è definita, cioè in [1;[.
4) Intersezione con gli assi cartesiani:
La funzione f1(x) non interseca gli assi cartesiani.
5) Asintoti:
La funzione f1(x) non ha asintoti, infatti:
ln(3x 1)
limx ,
quindi non esiste l’asintoto orizzontale, inoltre si ha:
x
) 1 x 3
limx ln( , forma indeterminata.
1 x
. E . C
(1) x
) x ( f
1+
3 2
quindi non esiste l’asintoto obliquo.
6) Crescenza o decrescenza:
Calcolando la derivata prima della funzione f1(x) si ha:
1 x 3 ) 3 x ( f1
.
Studiando il segno della derivata prima si ha:
3 x 1 1 0
x 3
3
, ossia:
se ne deduce che f1(x)0 in [1;[, quindi la f1(x) è crescente dove è definita. Il punto )
2 ln
; 1 (
A è il minimo assoluto per la funzione f1(x).
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda della funzione f1(x) si ha:
1 2
) 1 x 3 ( ) 9 x (
f
.
Studiando il segno della derivata seconda si ha:
9 0 x :
) x ( N
3
x 1 0 ) 1 x 3 ( : ) x (
D 2
, ossia:
(1) x
) x ( f
1
+
(1) x
) x ( f
1
- N(x)
D(x)
3 1
3 1
se ne deduce che f1(x)0 in [1;[, quindi la f1(x)è concava verso il basso (convessa verso l’alto) dove è definita.
8) Grafico della funzione f1(x):
Studio della funzione f2(x)ln(x1) per x1 1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente logaritmica. La presenza del logaritmo impone che sia x10x1. Quindi per determinare il campo di esistenza, bisogna considerare le soluzioni del sistema:
1 x
1 x
ossia:1 x
. E .
C
-1Pertanto, il C.E. è ]1;1[.
2) Simmetrie :
La funzione non è simmetrica.
3) Studio del segno:
Studiando il segno della funzione f2(x) si ha:
0 x 1 1 x 0 ) 1 x
ln( quindi si ottiene:
Pertanto, la f2(x) è positiva in ]0;1[, mentre è negativa in ]1;0[, infine è nulla per x0 .
4) Intersezione con gli assi cartesiani:
La funzione f2(x) passa per l’origine degli assi cartesiani.
5) Asintoti:
La funzione f2(x) ha un asintoto verticale, infatti:
ln(x 1)
limx 1 .
Inoltre, si osserva che limx1ln(x1)ln2. 6) Crescenza o decrescenza:
Calcolando la derivata prima della funzione f2(x) si ha:
1 x ) 1 x ( f2
.
Studiando il segno della derivata prima si ha:
1 x 1 0
x
1
, ossia:
(1) x
+
)
0x ( f
20 (-1)
se ne deduce che f2(x)0 in ]1;1[, quindi la f2(x) è crescente nel suo campo di esistenza.
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda della funzione f2(x) si ha:
2 2
) 1 x ( ) 1 x (
f
.
Studiando il segno della derivata seconda si ha:
1 0 x :
) x ( N
1x 0 ) 1 x ( : ) x (
D 2 , ossia:
se ne deduce che f2(x)0 in ]1;1[, quindi la f2(x)è concava verso il basso (convessa verso l’alto) nel suo campo di esistenza.
8) Grafico :
(1) x
+
) x (
f
2
(-1)(1) x
) x ( f
1
- N(x)
D(x)
(-1)
OSSERVAZIONI FINALI: Il grafico della funzione yln(x1 2x) è dato dalla composizione dei due grafici, precedentemente costruiti, inoltre A è un punto angoloso della funzione data, pertanto si ha:
