I piani di inversione come modelli di una classe di spazi metrici (*).

I piani di inversione c o m e modelli di una classe di spazi metrici (*).

VI~'CE~ZO DIOIJONZO (Roma) (**)

S u m m a r y . - The purpose o] this paper is to represent a class o] metric spaces on the elliptic and hyperbolic inversive planes by inversions and their trans]ormations.

P r e m e s s a .

Nella n o t a ((The inversive plane a n d h y p e r b o l i c space )> (v. bibliografi~ [1]) COXETE• r a p p r e s e n t a io spazio iperbolico sul piano di MSbius a s s u m e n d o le circonfe- renze come piani, p a r t i c o l a r i fasci di circonferenze come r e t t e e p a r t i c o l a r i r e t i di cir- conferenze come p u n t i ; in t~l m o d o v e n g o n o s t u d i a t e diverse propriet~ dello spazio iperbolico. Questo m e t o d o non p e r m e t t e perb di r a p p r e s e n t a r e in m o d o unalogo e semplice lo spazio di De S i t t e r ; i n o l t r e sul piano di MSbius non ~ r a p p r e s c n t a b i l e il c o s i d d e t t o (~ q u a r t o spazio m e t r i c o ~, cio5 lo spuzio metrico, che si o t t i e n e dMlo sp~zio p r o i e t t i v o tridimension~le sul c a m p o dei reMi fissando come assoluto un~ q u a d r i c a a p u n t i iperbolici.

Oggetto di q u e s t s not~ ~ la costruzione di modelli grupp~li, oltre ehe dello spazio iperbolico, a n c h e di quello di De S i t t e r e del q u a r t o sp~zio m e t r i c o su piani d'inversione pifi generali di quello di M5bius, e p r e c i s ~ m e n t e sui piani che si o t t e n g o n o m e d i a n t e proiezione stereogrufica di unu quadric~ Q a p u n t i e]littici o a p n n t i iperbolici. L e oo~

coniche di ~ sono p r o i e t t a t e su u n p i a n o z in coniche p~ss~nti per due p u n t i complessi coniuguti o p p u r e reati e d i s t i n t i di u n a r e t t a r di 7~: ad ognunu di tall coniche v a as- sociata £inversione a v e n t e per e e n t r o il polo di r r i s p e t t o alla conic~ stessu. Tale in- versione ~ la proiezione di u n a s i m m e t r i a d i ~ , cio~ della restrizione u ~ di u n a omologia a r m o n i c a del]o spazio p r o i e t t i v o a m b i e n t e , la quule m u t i (~ in s~.

Nei modelli, che qui v e n g o n o costruiti per i s u d d e t t i spazi, come pi~ni si ~ssumono le inversioni di z , come r e t i e si a s s u m o n o dei fasci di inversioni e infine come p u n t i si assumono delte r e t i di inversioni. M e d i a n t e relazioni t r u inversioni v e n g o n o intro- d o t t e suceessivamente ]e rel~zioni di a p p a r t e n e n z a , di parallelismo e di perpendico- lurit~. I n f i n e come m o v i m e n t i dei v a r i spazi si assumono gli automorfismi i n t e r n i

{*) Lavoro eseguito nelFambito del Gruppo NazionMe per le S~ru~turc Algebriche e Geo- me~riche (sez. n. 4) del C.N.R., presso l'Isti~u~o di Ma~ematica Applicata della Facolt& di tngegneria, Roma.

(**) Entr~ta in Redazione il 24 m~ggio 1972.

120 VI~CE~zo DlcvO~ZO: I piani di inversione come modeUi, etc.

del g r u p p o 9 g e n e r a t o dslle i n v e r s i o n i di ~. I1 g r u p p o ~ dei m o v i m e n t i ristflts cosl g e n e r s t o dagli aut.omorfismi i n t e r n i di ~, r e l a t i v i alle i n v e r s i o n i di ~, i quali v e n g o n o c h i s m s t i <~ p s e n d o s i m m e t r i e p l a n a r i ~>.

M e n t r e lo spazio iperbolico e quello di D e S i t t e r v e n g o n o r s p p r e s e n t s t i sul p i a n o di i n v e r s i o n e ellittico, s v e n t e eio~ c o m e p n n t i f o n d a m e n ¢ s l i due p u n t i complessi co- niuga*i, il q n s r t o spazio m e t r i c o v i e n e r a p p r e s e n ¢ a t o sul p i a n o di i n v e r s i o n e iper- bolico, a v e n t e clog c o m e p u n t i f o n d a m e n ¢ s l i due pun*i reali e distinti.

Dello spazio iperbolico v e n g o n o costrui*i due m o d e l l i differen*i p e r ls definizione di p u n t o , in quan*o in u n o di essi c o m e p u n t i si s s s u m o n o le s n * i i n v e r s i o n i d i ~ in- v e c e delle re*i elli*tiche di i n v e r s i o n i c o m e nell'at~ro modetlo.

1. - Propriet/t strutturali di u n piano di i n v e r s i o n e ellittico.

S~ u n p i a n o proie*tivo ~, eos*raito sul c a m p o dei complessi, siano I e J due p u n t i complessi e o n i u g a t i e d r 1~ ret*a p a s s a n t e p e r I e J . I n d i c s t o con F il cisterns l i n e a r e c ~ delte coniche di ~ definite d a polsritg~ r e a l i e p s s s a n t i p e r I e J , se .4 ~ u n a conics n o n degenere d i / 7 , c o n s i d e r i u m o l'inve~sione q n a d r s t i e a ~ r i s p e t t o a d A, t a l e che il cen*ro d ' i n v e r s i o n e sin il polo di r r i s p e t t o a d A. Secondo ehe A sis a p u n t i resli o s p n n t i i m m a g i n s r i , ~ v i e n e d e t t a semplieemen*e inversione o antiinversione (~).

I n d i c h i a m o con ~ l ' i n s i e m e delle i n v e r s i o n i e delle a n t i i n v e r s i o n i .

Siano P e Q due pnn*i di z n o n appsrtenen%i s d r~ reali o complessi coniug'ati ed s tu ~e*tu p e r cssi. P e Q i n s i e m e con i p u n t i I e S i n d i v i d n s n o u n fascio :F di coniche, nel cL~sle ol*re 1~ conic~ d e g e n e r e rs ei sono sl~re coniche degene~i cos*itnite rispe*ti- v ~ m e n t e dalle coppie di re%e (t)1, QJ) e (QI, P J ) , che si in*ersecsno nei pun*i R ed S. Si c e d e f a e i l m e n t e che, secondo ehe i pun*i P e J siano reali e distin*i o complessi coningati, R e d S sono complessi c o n i n g s t i o reali e distin*i. L e coniche di ~ deter- m i n a n o sulla r e t t s R S u n s involnzione i cui p u n t i n n i t i sono R e d S. Siano A u n a conics s p u n t i r e s l i di :~ e A, A ' i snoi p u n t i di i n t e r s e z i o n e (reali) con la r e t t s R S . L e due i n v o l u z i o n i a v e n t i p e r p u n t i n n i t i r i s p e t 6 i v a m e n t e A, A ' e /~, S sono per- m u t s b i l i e il loro prodo%to g u n ~ i n v o l u z i o n e i eui pun%i n n i t i B e B ' s e p ~ r s n o s r m o - nicament.e le d n e c o p p i e (A, A ' ) e (R, S). Secondo ehe R e d ~S s i s n o r e s l i e distin%i o complessi c o n i u g s t i , B e B ' sono complessi c o n i u g a t i o reali e dist.inti. I p n n t i B e B ' sono coniugs~i r i s p e t t o ai pnn,ti R e d S e percib i n d i v i d u a n o n n a conics ~ del fascio ~ . T a l e conics si m u t a in sb n e l l ' i n v e r s i o n e ~ r i s p e t t o a d A: si t e n g a p~esente t h e il polo di r rispe~to a d A s p p s r t i e n e alla t e t r a / ~ % , cio~ il centro dell'inversione ~ a p p a r t i e n e alia re%ta R ~ .

I n ques~o m o d o a l l s conies g di ~ v i e n e a s s o c i a t a ls sndde%ta conics ~ ; sna~oga- men~e ~lla conics ~ di ~- v i e n e sssoeista, la conics ~'£ la quale r e s t s u n i t s n e l l ' i n v e r -

(1) Se Y~ 6 una conies degenere in r e un'al~ra retta rea!e s, come inversione si assume l'omologi~ armonica avente per asse s e per centro il coniugato arinonico di r ( 3 s rispetto a l e J .

VI~-CE~zo DlcvO~ZO: I p i a n i di inversione come modelli~ ecv. 121

sione fl a s s o c i a t a a 03. Se i p u n t i P e Q sono reali, lo sono unche B e B ' e te due coniche A e 3~ sono e n t r a m b e reali; c o m e l ' i n v e r s i o n e ~ d e t e r m i n a su :~ un~ involuzione iper- bolica di p u n t i u n i t i 1) e Q, cosl l ' i n v e r s i o n e fi d e t e r m i n a su A u n a involuzione i p e r b o - lica a v e n t e gli stessi p u n t i uniti. Se i p u n t i P e Q sono complessi c o n i u g a t i lo sono anche B e B ' : l~ conica ~ r i s u l t a ~ p u n t i i m m a g i n a r i e F a n t i i n v e r s i o n e fl a s s o c i a t a a d essu d e t e r m i n a su A u n ~ involuzione e l l i t t i c a i cui p u n t i u n i t i sono P e Q. I n q u e s t o case a d u n a conica ~ a p u n t i i m m a g i n a r i di ~ ~dene a s s o c i a t a u n a conica A a p u n t i reali. R i s u l t a d u n q u e che u n a i n v e r s i o n e ~ p u b essere p e r m u t a b i l e con u n a r e t e iper- bolica :~ di i n v e r s i o n i e untiinversioni~ le quali c o r r i s p o n d o n o r i s p e t . t i v a m e n t e alle involuzioni iperboliche e a quelle ellittiche della conica A dei p u n t i u n i t i di ~; u n a a n t i - i n v e r s i o n e ~ i n v e c e ~ p e r m u t a b i l e soltunto con le i n v e r s i o n i di u n a r e t e ellittica 2~

e su e i a s c u n a delle coniche di p u n t i u n i t i delle i n v e r s i o n i di 2~ ~ d e t e r m i n a u n a i n v o - luzione etlit¢ica.

Si v e d e f a e i l m e n t e che, se due i n v e r s i o n i a e f i o u n a i n v e r s i o n e ~ e u n a a n t i i n v e r - sione fi sono p e r m u t a b i l i e A e :~ sono le r i s p e t t i v e coniche di p u n t i u n i t i e infine P e Q sono i lore p u n t i d ' i n t e r s e z i o n e , oltre I e J , le t a n g e n t i a d A o a ~ in P e Q pas- s a n e p e r il c e n t r e d ' i n v e r s i o n e r i s p e % i v a m e n t e di f l o di a~ cio~ p e r il polo di r r i s p e t t o a 3 3 o a d A.

Oltre le s u d d e t t e r e t i iperboliche ed ellittiche di i n v e r s i o n i esiste u n a l t r o r i p e di r e t i di i n v e r s i o n i associate alle coniche delle r e t i ~ v e n t i t r e p u n t i base, cio~ i p u n t i I e J e u n p u n t o re~le P d i v e r s e da I e J . T a l l r e t i di i n v e r s i o n i v e n g o n o d e t t e p a r a - boliche: il p u n t o IP viene d e t t o c e n t r e della rete. I n m o d e anulogo nei casi delle r e t i di inversioni p e r m u t a b i l i con u n a stessa i n v e r s i o n e ~ o con u n a stessa a n t i i n v e r s i o n e fi, c o m e c e n t r e della r e t e si a s s u m e il c e n t r e di ~ o di ft.

Sia 5~ u n fascio di coniche i cui p u n t i base, oltre I e J~ siano due p u n t i P e Q:

secondo che P e Q siano reali e d i s t i n t i o p p u r e c o m p l e s s i coniugati, 5~ ~dene d e t t o ellittico o iperbolico. Nell~inversione r i s p e t t o a d u n a conica di

~1~

p e r il t e o r e m a di S e y d e w i t z - S t a u d t , le retSe 1 t ) e JP~ I Q e J Q si s c a m b i a n o , p e r cui si s c a m b i a n o a n c h e R ed S, essendo R = P I ~ Q J ed S = P J ~ Q I . I p u n t i R e d ~ oltre I ed J~ indivi- d u a n o a n fascio ~ di coniche t a l i che le i n v e r s i o n i a d esse associate siano p e r m u t a b i t i con quelle associate alle coniche di ~ ~ I due c o r r i s p o n d e n t i fasci di i n v e r s i o n i v e n g o n o d e t t i p e r m u t a b i l i e, secondo che il p r i m o sia iperbolico o ellittico, il secondo ~ ellit- rico o iperbolico. Si n o t i che i due fasci ~ ed ~-~ h a n n o lo stesso t r i a n g o l o a u t o p o l a r e . Se i p u n t i 1) e Q coincidono s u u n a t e t r a s, unche i p u n t i R e d S coineidono su u n ' a l t r a t e t r a t: in t a l case si h ~ n n o due fasci di coniche (( p a r a b o l i c i ,) e in c o r r i s p o n d e n z u d u e fasci di i n v e r s i o n i p e r m u t a b i l i , i quali v e n g o n o d e t t i p~rabolici. A n c h e in questo case i due fusci di coniche h a n n o lo stesso t r i u n g o l o a u t o p o l a r e : le due r e t t e s e t sono c o n j u g a t e rispet¢o alle r e t i e 1)I e 1)J.

I n u n a r e t e ellittic~ di i n v e r s i o n i ci sono s o l t a n t o fasci ellittici, in u n a f e t e p a r a - bolica ci sono fasei ellittici e fasci parabolici~ in u n a r e t e iperbolica ci sono f~sci ellittici~

fasci iperbolici e fasci p a r a b o l i c i .

Siano ~ f i e y t r e e l e m e n t i di u n fascio ~-~ di i n v e r s i o n i ed e v e n t u a l m e n t e anti- i n v e r s i o n i e i n o l t r e e u n a i n v e r s i o n e p e r m u t a b i l e con quelle di :Y~. Sulla conica g

122 VI~NCEI~ZO DICUONZO: I p i a n i eli inversione come modelli, ecc.

a s s o c i a t a a d e gli e l e m e n t i di ~T1 segano un fascio di involuzioni ed esiste u n a biiezione t r a gli e l e m e n t i di ~1 e le invotuzioni di u n fascio s u g . Poich~ il p r o d o t t o di t r e involu- zioni a p p a r t e n e n t i a d u n faseio ~ u n a involuzione del]o stesso fascio, la qu~le ~ iper- boliea o ellittiea, secondo che delle t r e involuzioni sia d i s p a r i o p a r i il n u m e r o di quelle iperboliche, si h a che il prodotto di tre elementi di un /ascio di inversioni ed eventualmente anche antiinversioni ~ uguale ad un elemento dello stesso /ascio e p r e e i s a m e n t e u n a in- v e r s i o n e o u n a a n t i i n v e r s i o n e seeondo che sia disp~ri o p a r i it n u m e r o delle inversioni.

Siano d a t e due inversioni ~ e fl p e r m u t a b i l i ; ~ e fi i n d i v i d u a n o un fascio elli~tico ~ . I n d i c a ~ con y u n a i n v e r s i o n e det fascio 5~2 p e r m u t a b i l e con ~-i siano A, ~5, C le eoniche luoghi di p u n t i uni%i r i s p e t t i v a m e n t e di ~, fi e 7. Le coniche A, 33, C i n d i v i d u a n o u n a r e t e ellittic~ in q u a n t o it centro della f e t e ~ i n t e r n o a c i a s c u n a di esse: le i n v e r s i o n i ~, fl, ~ i n d i v i d u a n o q u i n d i u n a r e t e ellittica e percib sono p e r m u t a b i l i con u n a anti- i n v e r s i o n e & I1 p r o d o t t o delle t r e i n v e r s i o n i d e t e r m i n ~ sulla conica a s s o c i a t a a d u n a q u a t u n q u e di esse u n a involuzione ellittica, i cui p u n t i u n i t i sono u n i t i p e r l'anCi- inversione & I1 p r o d o t t o delle t r e inversioni ~, fi e 7 6 uguale q u i n d i a l l ' a n t i i n v e r s i o n e ~, si h a cio6 ~fi~, = ~, o a n c h e ~fi----(~?. Si p e r v i e n e cosi a.lla s e g u e n t e proprietY: u n a antiinversione pub essere rappresentata come prodotto di tre inversioni a due a due per- mutabili tra loro oltre ehe con l'antiinversione e v i c e v e r s a il prodotto di tre inversioni a due a due permutabiti ~ uguale ad un'antiinversione; i n o l t r e il prodotto di due inver- sioni permutabili ~ e fl ~ uguale al prodotto di un~antiinversione ~ e d i u n a inversione y permutabiti ira toro e con ciaseuna delte due inversioni ¢~ e f l e appartengono al ]ascio

iperbolico permutabile con 5 ( ~ , fl).

Oltre le p r e c e d e n t i r i d u z i o n i del p r o d o t t o di t r e i n v e r s i o n i si h a la riduzione de]

p r o d o t t o di qua%fro i n v e r s i o n i d i u n a f e t e .

C o n s i d e r i a m o i n i z i a l m e n t e u n a f e t e ellittica ~t di inversioni e sia P il eentro di 5~.

Su ogni t e t r a a p e r LP le coniche associate alte i n v e r s i o n i di ~ d e t e r m i n a n o u n a involu- zione ellittica 3 i cui p u n t i u n i t i sono uni¢i p e r la a n t i i n v e r s i o n e 7 p e r m u ~ a b i l e con le i n v e r s i o n i di ~t. Sia ora :T u a fascio di coniehe a p u n t i reali di F : su a l e coniche di 5 d e t e r m i n a n o u n a involuzione Y. L e due i n v o l u z i o n i 3 e 3' h a n n o in c o m u n e u n a c o p p i a di p u n t i reali p e r eui esiste a n ~ conica a p u n t i reali di 5 , u p p a r t e n e n t e a d gt. Si h a cosl che in ogni /ascio di inversioni esiste u n a inversione appartenente ad una fete el- littica 2~.

S e m p r e in una fete ellittica 2~ di inversioni eonsideriamo d u e / a s c i 5~ ed ~-~ di in- versioni e i p u n t i u n i t i e o m u n i ~tle i n v e r s i o n i di 51 e di ~ , oltre I e d J , siano rispe%i- v a m e n t e le coppie (A, A ' ) e (B, B'). S~llu r e t t a A A ' le eoniehe a s s o c i a t e atle inver- sioni di ~ d e t e r m i n a n o u n a involuzione e]tittieu alla quale apioartengono a n e h e A e A ' : esiste percib u n a inversione eomune ai d u e / a s e i 5q e 5~.

S i a n o ora ~, fl, y, 5 q u a t t r o i n v e r s i o n i d i u n a f e t e ellittiea ed s la i n v e r s i o n e co- m u n e ai d u e fasei Y(~, fi) e 5 ( 7 , 5). Si h a percib o:fly~ = o:fie~76 = ~ , d o v e ~ ---- ~fie ed ~ - - e?~: q u e s t o significa ehe il prodotto di quattro inversioni di una fete ellittica si riduee al prodo~to di due inversioni dvlla stessa fete.

Q u e s t a stessa p r o p r i e t ~ v a l e a n e h e sia p e r te r e t i p a r a b o l i c h e che p e r quelle iper- boliehe, m a l e d i m o s t r a z i o n i sono diverse.

Vn~'CE~ZO D~CVO~*ZO: I p i a n i di inversione come modeUi, evc. 123

Sia f i ^{u n a} r e t e p a r a b o l i c a di inversioni: i fasei a p p a r t e n e n t i a d :~ sono ellittici o paraboliei. Sia 5:1 u n fascio ellittico di ff¢ e d ~T 2 u n fascio q u u l u n q u e s e m p r e di fi.

Le coniche a s s o c i a t e alle i n v e r s i o n i di ~-1 p a s s a n o p e r il c e n t r o P della r e t e e p e r u n p u n t o reale Q d i s t i n t o d a P , oltre che p e r I e J . L e eoniehe associate alle i n v e r s i o n i di ~ r , oltre che p e r I e J , p a s s a n o p e r due p u n t i u n o a l m e n o dei quali coincide con P : esiste percib u n a conica a p u n t i reali c o m u n e ai fasci di coniche associate alle inver- sioni di 9-1 ed ~ , e q u i n d i esiste u n a i n v e r s i o n e c o m u n e ai due fasci 9=1 ed ~-2.

Siano ~, fl, 7, 8 q u a t t r o i n v e r s i o n i di u n a f e t e p a r a b o l i c a ~ ed ~-1 u n fascio el- littico di f i ; poich~ esiste s e J:l n ~-(~, fi), si h a e~fl == ~, cio~ ~fl-= s~. An~loga- m e n t e esiste ~]e:T~(~ 9r(~,7), p e r cui ~7=~70; e infine esiste 2 e 5 " ~ 5 ~ ( 0 , 8) p e r cui 0~ = ~/~. R i s u l t a q u i n d i ~[~7(~ = s~7(5 ~- e~O(~ : e ~ # : ~#, e s s e n d o e, ~, A e 971.

Sia o r a :K un~ r e t e i p e r b o l i c a di inversioni. S a p p i a m o che esiste u n a inversione p e r m u t a b i l e con le i n v e r s i o n i di fi, cio~ u n a conics C a p u n t i reali, la quale viene m u - t a r a in s~ da ogni i n v e r s i o n e di fit. Pereib ogni i n v e r s i o n e di :~ d e t e r m i n a su C u n a in- voluzione e i n o l t r e le i n v e r s i o n i di u n fascio ellittico o iperbolico di f i d e t e r m i n a n o su C involuzioni i cui p u n t i u n i t i si c o r r i s p o n d o n o in u n a involuzione r i s p e t t i v a m e n t e e l l i t t i e a o iperbolica. L ' e s i s t e n z a di u n a c o p p i a di p u n t i reali c o m u n e a due involu- zioni su C, s e u n a di esse ~ e]tittica, c o m p o r t a l ' e s i s t e n z a di u n a i n v e r s i o n e c o m u n e a d u n fascio ellittico e a d u n a l t r o faseio ellittico o iperbolico di 9%. Ad ogni fascio p a r a - bolico di :R & associato u n fascio di coniche p a s s a n t i p e r u n p u n t o reale Q di ~, oltre che p e r I e J , e a v e n t i p e r t a n g e n t e in Q la r e t t a PQ, essendo P il e e n t r o di f i cio~ il polo di r r i s p e t t o a ~. Poieh~ esiste u n a conica a p u n t i reali t a n g e n t e in Q alla r e t t a P Q e p a s s a n t e p e r i p u n t i b a s e di u n ~aseio di coniehe a s s o c i a t e alle i n v e r s i o n i di u n fascio ellittico di ~ , v u o l dire che esiste u n a i n v e r s i o n e c o m u n e a d u n lascio ellittico e a d u n ~ascio p a r a b o l i c o di 9%. R i p e t e n d o lu d i m o s t r a z i o n e f a t t a p e r u n a r e t e p a r a - bolica si h a ehe a n c h e nel easo di u n a r e t e i p e r b o l i c a ~ il p r o d o t t o di q u a t t r o inver- sioni si riduce al p r o d o t t o di due i n v e r s i o n i di ~ .

D i m o s t r i a m o ora il teorema di riduzione p e r u n p i a n o di i n v e r s i o n e ellittico.

Siano ~, fl, y, 8, e c i n q u e i n v e r s i o n i di ~ e d ~ u n a r e t e e l l i t t i c a di inversioni. Poich6 esiste ~ e f i ( ~ ~-(a, fl) si h a ~ f l --- U, cio~ aft = ~ . A n a l o g a m e n t e esiste 0 e ~ ( ~ :T(~, 7), p e r cui ~7----02. P r o c e d e n d o atlo stesso m o d o si h a che g f l 7 ~ = ~ 0 # ~ , con

~, 0,/~, v e ~ , p e r eui af176s-~ ~ , cio~ il p r o d o t t o di cinque i n v e r s i o n i si riduce al p r o d o t t o di t r e inversioni, le p r i m e due delle quali a p p a r t e n g o n o a d u n a d a t a r e t e ellittica. I n m o d o a n a l o g o il p r o d o t t o di sei i n v e r s i o n i d i g si riduce al p r o d o t t o di q u a t t r o inversioni, le p r i m e t r e delle quali a p p a r t e n g o n o a d u n a d a t a r e t e ellittica.

Ne consegue che il prodotto di un numero qualunque di inversioni di 7~ si riduce al pro- dotto d i a l massimo quattro inversioni di ~.

2. - Modelli dello spazio iperbolico sul piano di inversione ellittieo.

Se ~ ~ u n p i a n o di inversione ellittico e I e J sono i suoi p u n t i f o n d a m e n t a l i , un p r i m o modeUo su ~ dello spazio iperbolico v i e n e c o s t r u i t o nel m o d o seguente.

124 VI~CENzo DICL;o~zo: I p i a n i di inversione come modeUi~ eec.

Come p i a n i del model]o (o pseudopiani) si a s s u m o n o le inversioni e come p u n t i del m o d e t l o (o pseudopunti) si a s s u m o n o le anti inversion,i; infine c o m e r e t t e det m o - dello (o pseudorette) si a s s u m o n o i ]asci eUittici di inversioni~ p e r cui si h a u n a biie- zione t r a l ' i n s i e m e delle p s e u d o r e t t e e F i n s i e m e delle coppie n o n o r d i n a t e di p u n t i r e a l i e d i s t i n t i di a n o n a p p a ~ e n e n t i ad r. L e p s e u d o r e t t e v e n g o n o cosi definite c o m e fasci di p s e u d o p i a n i e c i a s c u n a di esse 5 i n d i v i d u a t a da due p s e u d o p i a n i .

L a relazione di appartenenza di uno pseudopunto ad uno pseudopiano v i e n e deft- n i t a c o m e permutabilit5 tra un'antiinversione e una inversione~ m e n t r e la permutabilit5 tra due inversioni viene a s s u n t a c o m e relazione di perpendicolarit5 tra pseudopiani.

D a t l a definizione di pseudoret~a conseglle c h e l a relazione di appartenenza tra una pseudoretta p e uno pseudopiano c¢ significa appartenenza di tre inversioni ad uno stesso /ascio :Y, p e r cui il loro p r o d o t t o 6 u n a i n v e r s i o n e di 9-. Si n o t i che i p u n t i reali di che sono u n i t i p e r p sono u n i t i a n c h e p e r a.

P e r la relazione di a p p a r t e n e n z a t r a u n o p s e u d o p i a n o e u n o p s e n d o p u n t o si h a c h e l a relazione di appartenenza tra uno pseudopunto e una pseudoretta ~ espressa dalla permutabilit5 tra un'antiinversione e le inversioni di un ]ascio ellittieo: i due p u n t i u n i t i helle i n v e r s i o n i di t a l e iascio, d i v e r s i da I e J , sono c o r r i s p o n d e n t i n e l l ' a n t i - inversione.

Siccome un~antiinversione ~ p e r m u t a b i l e s o l t a n t o con inversioni f o r m a n t i u n a r e t e ellitiica, due a n t i i n ~ e r s i o n i sono p e r m u t a b i l i con u n fascio etlittico di inversioni : q u e s t o significa che, dati due pseudopunti~ esiste una pseudoretta passante per essi.

L'allineamento di tre pseudopunti significa appartenenza di tre antiinversioni ad uno stesso ]ascio ~ , p e r cui il loro p r o d o t t o ~ u n a a n t i i n v e r s i o n e di 9=.

Poich5 due i n v e r s i o n i i n d i v i d u a n o u n fascio :Y che p u b essere ellittico, o iper- bolico, o p p u r e parabolico~ due pseudopiani possono passare per una pseudoretta op- pure no. S o l t a n t o se ~ 5 ellittico esiste u a a siffatta p s e u d o r e t t a . Se il fascio 9=

iperbolico, siccome le i n v e r s i o n i di 9= sono p e r m l l t a b i l i con quelle di u n fascio ellit-

%ico, si h a che i d u e p s e u d o p i a n i sono p e r p e n d i c o l a r i a d u n a stessa p s e u d o r e t t a e in t a l caso v e n g o n o d e t t i ultraparalleli. Se il fascio 9= ~ parabolico, n o n esiste u n a pseu- d o r e t t a a p p a r t e n e n t e ai d u e pseudopia.ni o p e r p e n d i c o l a r e ad essi; i due pseudopia:ni v e n g o n o d e t t i paralleli.

Due pseudopiani perpendicolari sono secanti. S a p p i a m o i n f a t t i che due inversioni 1)ermutabili a e fl sono p e r m u t a b i l i a n c h e con u n a inversione e u n a a n t i i n v e r s i o n e p c r m u t a b i l i t r a loro e sia con a c h e con fi~ cio6 a e fl sono p e r m u t a b i l i con le inversioni di u n iascio iperbolico e q n i n d i a e fl alopartengono a d u n fascio ellittico.

Poich~ t r e a n t i i n v e r s i o n i , n o n a p p a r t e n e n t i a d u n o stesso fascio, a p p a r t e n g o n o a d u n a f e t e iperbolica~ sono cio~ p e r m u t a b i l i con u n a stessa inversion% v u o l dire che tre pseudvpunti non allineati individuano uno pseudopiano passante per essi.

T r e inversioni, n o n a p p a r t e n e n t i a d u n o stesso fascio, i n d i v i d u a n o invece u n a r e t e che p u b essere ellittica~ o iperbolica~ o p p u r e p a r a b o l i c a , sono cio~ p e r m u t a b i l i con u n a a n t i i n v e r s i o n e , o p p u r e con u n a inversione, o infine n o n sono p e r m u t a b i l i n~ con u n a inversione n~ con n n ' a n t i i n v e r s i o n e ; questo significa che tre pseudopiani non ap- partenenti ad uno stesso ]aseio~ possono passare per uno stesso pseudopunto, indivi-

V ~ c E ~ z o DICVO~ZO: I p i a n i di inversione come modelli~ ece. ] 2 5

duando una <~ stella propria ~, oppure sono perpendicolari ad uno stesso pseudopiano individuando una (~ stella ideale ~, o in/ine individuano una steUa eosiddetta <( impropria ~.

Una pseudoretta e uno pseudopiano d a n n o luogo agli stessi easi di incidenza, p e r cui possono essere incidenti, o p p u r e sono p e r p e n d i c o l a r i a d u n o stesso p s e u d o p i a n o e in tul caso v e n g o n o d e t t i ultraparalleli, o infine a p p ~ r t e n g o n o a d u n a stella i m p r o p r i a e in quest~ultimo caso v e n g o n o d e t t i paralleli.

P e r ta condizione di ~ p p a r £ e n e n z a di u n a p s e u d o r e t t a p a d u n o p s e u d o p i a n o ~, poieh~ i p u n t i reali di ~ associati a p, d e v o n o a p p a r t e n e r e ulla conies di p u n t i u n i t i di ~ si h a e h e l a re]uzione di eomplanarith di due pseudorette p e q d i s t i n t e ~ espressu d~lrappartenenza~ ad una stessa eonica A di F, delle coppie di p u n t i reali di :~ assoeiati a p e q. V a o s s e r v a t o che tali coppie di p u n t i uni~i possono separarsi, o p p u r e no, o infine possono a v e r e in c o m u n e u n p u n t o di A: c o r r i s p o n d e n t e m e n ~ e i fusei di inver- sioni i m m a g i n i delle d u e p s e u d o r e t t e a p p a r t e n g o n o a d u n a r e t e ellit~iea~, o iperbolic~b o p p u r e parabolica~ cio~ le in¢~ersioni dei due fasei sono p e r m u t a b i l i con u n a stessn

~ n t i i n v e r s i o n e , o con u n a inversione, o infiue n o n sono p e r m a t a b i l i n~ con ~ma in=

versione, n~ con u n a un¢iinversione. L e due pseudore~te v e n g o n o d e t t e ineidenti nel p r i m o caso, ul$raparallelv nel secondo, parallele nel terzo.

Poieh~ esis%e u n a in~ersione p e r m u t a b i l e con le i n v e r s i o n i e le an~iinversioni di u n a f e t e iperbolica e inoltre u n a a n t i i n v e r s i o n e i n s i e m e con due inYersioni o p p u r e due a n t i i n ~ e r s i o n i i n s i e m e con u n a inversion% n o n ~ p p a r t e n e n t i ud u n o stesso fascio, i n d i v i d u a n o u n a r e t e iperboliea, v u o l dire che per uno pseudopunto esiste uno pseudo- piano perpendicolare ad una pseudoretta e i n o l t r e per due pseudopunti esiste uno pseudo- piano perpendicolare ad un altro psuedopiano fl~ e quindi per una pseudoretta p esiste uno pseudopiano ct perpendieolare ad u+w pseudopiano fl, il quale p u b p a s s a r e ~nche p e r p.

S a p p i ~ m o che u n ' i n v e r s i o n e e un~antiinversione i n d i v i d u a n o u n f~scio iperbolico e sono q u i n d i p e r m u t a b i l i con le i n v e r s i o n i di u n fascio etlittico: q u e s t o significa che per u+w pseudopunto esiste una pseudoretta perpendicolare ad uno pseudopiano.

Una pseudoretta p e uno pseudopiano ~ tra loro perpendieolari sono ineidenti.

I n f a t t i , se f l e y sono due i n v e r s i o n i p e r m u t a b i l i a p p a r t e n e n t i ul fascio i m m a g i n e di p, il p r o d o t t o ~fly ~ u n a a n t i i n v e r s i o n e p e r m u t a b i l e con le in~-ersioni a, fl~ y.

D a l t ' e s i s t e n z a di infinite i n v e r s i o n i p e r m u t a b i l i con le i n v e r s i o n i di u n fascio ellittico consegue l~esistenza di un ]ascio di pseudopiani perpendicolari ad una pseudo- retta e q u i n d i di in]initi pseudopunti appartenenti ad nna pseudoretta~ p e r cui due pseudorette incidenti sono complanari, d a t o che esiste a n b e n d e t e r m i n a t o p s e u d o p i a u o p e r t r e p s e u d o p u n t i n o n allineati.

Date due pseudorette p e q, se per p passa uno pseudopiano ~ ± q, per q passa uno pseudopiano fi ± p e i n ~al caso p e q si dicono ortogonali.

Infatti~ se p e r p esisCe ~ ± q, significa che i pun~i reali A e A ~ di ~ associati a p sono p u n t i uni~i nelFinversione i m m a g i n e di ~ r i s p e t t o alla quale sono c o r r i s p o n d e n t i i p u n t i reuli B e B ' d i g assoeiati a q, p e r cui B e B ' sono n n i t i n e l F i n v e r s i o n e fl in cui si e o r r i s p o n d o n o A e A ' .

Dalle u l t i m e due p r o p r i e t ~ consegue che~ per uno pseudopunto ~ esiste una pseudo-

126 VI~cE~zo D ~ c v o ~ z o : I piani di inversione come modeUi, ecc.

tetra s perpendicolare a due pseudorette p e q passanti per ~. L e due p s e u d o r e t t e p e q, essendo ineiden~i, a p p s r t e n g o n o s d uno p s e u d o p i s n o ~, r i s p e t t o sl q u s l e esis~e u n s p s e u d o r e t t s s perpendicolare, lu quale passs per ~: s risulta q u i n d i perpendicolare s i a a p che a q.

S a p p i s m o che u n ' s n t i i n v e r s i o n e ~ pub essere o t t e n u t a come p r o d o t t o di t r e in- versioni ~, fl, },, ~ due ~ due p e r m u t u b i l i tr~ lore oltre che con 8: q u e s t o signifies che esistono t e r n e di pseudopiuni u due a due perpendicolari e quindi t e r n e di pseudore~te i n e i d e n t i e perpendicolari s due a due t r s lore.

Per uno pseudopuntv % vispetto ad una pseudoretta p non passante per q~, esistono due pseudorette parallele a p.

L e inversioni p e r m u t a b i l i con u n s ~ntiinversione ~ f o r m s n o un~ r e t e ellittica :~

e quelle in psrticol~re p e r le quuli 6 u n i t e u n p u n t o reale di ~ f o r m u n o a n fascio ellit- rico 37: in ff~ esistono quindi due fssci ellittici p e r ciascuno dei quali 6 u n i t e u n o dei p u n t i reali di ~ sssocisti u p.

Definiamo ors per il modello costruito i m o v i m e n t i dello spszio iperbolico. Indi- c a t e con ~ il g r u g p o g e n e r a t e d~lle inversioni di s~ se ~ ~ un~ inversion% con it sire- bole 8~ i n d i e h i a m o l'gntomorfismo i n t e r n e di 9 associate s d ~. Poichg il p r o d o t t o di t r e e l e m e n t i di u n fsscio di inversioni ed e v e n t u a l m e n t e unche di a n t i i n v e r s i o n i u n e l e m e n t o dello stesso fsscio e i n o l t r e siu le inversioni che le s ~ t i i n v e r s i o n i for- m a n e due sistemi di elementi coniug~ti di ~ , si hg che, m e d i ~ n t e 8~, pseudopiuni si m u t a n o in pseudopiani, p s e u d o p u n t i in p s e u d o p u n t i e restuno u n i t i sis gli pseudo- p u n t i di a sis gli p s e u d o p i s n i p e r p e n d i c o l s r i ad ~ e quindi sis le p s e u d o r e t t e di a che le 1oseudorette p e r p e n d i c o l a r i s d a.

L'automor]ismo interne 8~ viene chiamato pseudosimmetria planare.

I n m o d e snalogo, se ~0 ~ u n a a n t i i n v e r s i o n e di ~, per 8~, eio~ per l'uutomorfismo i n t e r n e di ~ sssoeisto s ~, r e s t s u n i t s ogni inversione p e r m u t s b i l e con ~ cio~ ~ u n i t e ogni pseudopiano per ~ e q u i n d i ogni p s e u d o r e t t s per ~.

8~ viene ehiam~to pseudosimmetria eentrale.

Poieh~ ogni a n t i i n v e r s i o n e si o%iene come prodo~to di i r e inversioni a due s due permutsbili~ ogni pseudosimmetria eentrale si ottiene come prodotto di tre pseudosimmetrie rispetto a Tseudopiani a due a due perpendieolari ira lore.

Dieesi pseudomovimento ogni prodotto di pseudosimmetrie planari e quindi ogni automor]ismo interne di ~, poich~ ~ ~ g e n e r s t o dulle inversioni. Come ssppismo, ogni e l e m e n t o di ~ pub essere o ~ e n u t o come p r o d o t t o di ~1 m s s s i m o quut~ro inversioni:

questo significs che ogni pseudomovimento si ottiene come prodotto di al massimo quattro pseudosimmetrie planari.

Gli e l e m e n t i di ~ vengono suddivisi in omogrsfie e sntiomografie (v. [1]) secondo che sisno p r o d o t t i di a n n u m e r o p s r i o dispsri di inversioni: corrisponden~emen~e gli pseudomovimenti vengono snddivisi in pari e dispari, seeondo che siano prodotti di un numero p a r i o dispari di pseudosimmetrie planari. Gli pseudomovimenti pari eo- stituiseono un sottogruppo normale 9 + del g~ppo ~ degli pseudomovimenti.

~ e l p a r a g r a f o 1 o si 5 visto che il p r o d o t t o di t r e inversioni s p p s r ~ e n e n t i s d uno stesso fascio 37 ~ unu inversione di 37; questu propriet~ d~ luogo al cosiddetto tee-

VI~CENZ0 DICL~O.~ZO: I p i a n i di inversione come modelli, eee. 127

rema delle tre simmetrie, il cui e n u n c i a t o 5 il seguente. S e ~ , fi, y sono tre pseudopiani appartenenti ad un ]ascio ~ , 8~ 8~ 8~ = 8 a, con 5 ~ ~ e quindi 8~ 8~ 8 v = &e 8~ 8~.

Consideriamo ora il p r o d o t t o delle p s e u d o s i m m e t r i e r i s p e t t o a due p s e u d o p i a n i e fl: secondo che ~ e fl siuno secanti~ paralleli o ultraparalleli, il p r o d o t t o 8~ 8~ viene d e t t o r i s p e t t i v a m e n t e rotazione ellittiea, spostamento oricielico o parabolieo, traslazione iperbolica.

Nella rotazione ellit~ica sono u n i t i gli 9 s e u d o p u n t i della p s e u d o r e t t a intersezione di a e f i e gli p s e u d o p i a n i ud essa p e r p e n d i c o l a r i ; nello s p o s t a m e n t o parabolico sono u n i t i gli p s e u d o p i a n i tru loro paralleli e perpendicolari ad ~ e fl e non ci sono pseudo- p u n t i u n i t i ; nella traslazione iperbolica sono u n i t i gli p s e u d o p i a n i ( t u t t i seganti) ortogonali a d ~ e f i e q u i n d i la p s e u d o r e t t a ~ (~ fl, m a n o n ci sono p s e u d o p u n t i uniti.

Come conseguenza del t e o r e m a delle t r e s i m m e t r i e si h a che te rotazioni ellittiche intorno ad una stessa pseudoretta~ gli spostamenti oricieliei reIativi ad uno stesso /ascio e le traslazioni iperboliche relative ad una stessa pseudoretta /ormano altrettanti gruppi abeliani.

I n f a t t i : (8~ $~)(8v 8 ~ ) = (8~ 8~8~)8~ = (8~8~8~)8~ = 8~(8~8~8~)= 8 , ( 8 ~ 8 ~ 8 ~ ) =

= (8~8~)(8=8~).

P a r t i e o l a r e i m p o r t a n z a h a n n o te rotazioni ellittiche o t t e n u t e come p r o d o t t i di due p s e u d o s i m m e t r i e r i s p e t t o a pseudopiani perpendicolari: esse v e n g o n o c h i a m a t e pseudosimmetrie assiali e sono p s e u d o m o v i m e n t i involutori. S e a ± fl, per 8~ 8~ = 8 ~ sono u n i t i gli p s e u d o p u n t i della 9 s e u d o r e t t a p ---- a n fl e t u t t i gli p s e u d o p i a n i perpendi- colari a p come anehe t u t t i gli p s e u d o p i a n i p a s s a n t i per p. I n questo easo iI p r o d o t t o aft 8 ugua]e al p r o d o t t o di u n a inversione y per u n a a n t i i n v e r s i o n e ~, le quali sono p e r m u t a b i l i t r a loro e con ~ e fl: ne consegue che u n a p s e u d o s i m m e t r i a assiale pub essere o t t e n u t a , oltre che come p r o d o t t o di due p s e u d o s i m m e t r i e r i s p e t t o a pseudo- piani perpendicolari, a n c h e come lorodotto di due p s e u d o s i m m e t r i e r i s p e t t o ad u n o p s e u d o p i a n o e ad u n o p s e u d o p u n t o che si a p p a r t e n g o n o .

Ogni rotazione eUittica, e eosl pure ogni spostamento oriciclico, o p p u r e ogni trasla- zione iperbolica, si ottiene come pro&)tto di due pseudosimmetrie assiali con gti assi com- planari.

Se ~ e fl sono due inversioni e y ~ u n a q u a l u n q u e inversione p e r m u t a b i l e con e fl, si h a aft = ayyfl; gli a u t o m o r f i s m i i n t e r n i di ~ associati ai p r o d o t t i a y e yfl sono due p s e u d o s i m m e t r i e ussiali. Seeondo ehe 8 ~ sia una rotazione ellittica, uno sposta- mento orieiclieo o una traslazione iperbolica gli assi delle su&iette pseudosimmetrie sono ineidenti~ paralleti o ultraparalleli.

I1 p r o d o t t o di due p s e u d o s i m m e t r i e assiali con g]i assi n o n c o m p l a n a r i viene chia- m a t o spostamento lossodromico.

P a s s i a m o ora alla costruzione di u n seeondo modeUo su 7~ dello spazio iperbolico.

P e r questo modello si laseiano i n a l t e r a t e le definizioni di p s e u d o p i a n o e di pseudo- r e t t a e come pseudopunti si assumono le reti ellittiehe di inversioni, per cai gli pseudo- p u n t i r i s u l t a n o definiti come stelle di pseudopiani.

L a relazione di appartenenza tra uno pseudopunto e una pseudoretta ~ espressa dat- l'appartenenza di un /aseio ellittico di inversioni ad una rete ellittiea.

128 VINCENZ0 DICUONZO: I piani di inversione come modelli, eee.

A n a l o g a m e n t e l'appartenenza di uno pseudopunto ad uno pseudopiano ~ espress~

dall'at~partenenza di quattro inversioni ad una stessa fete, per cui, come si ~ d i m o s t r a t o nel 1 o paragra.fo, il loro p r o d o t * o ~ ugua.te ut prodo**o di d u e i n v e r s i o n i della stessu f e t e .

Dulla definizione di p s e u d o p u n t o e dullu reluzione di u p p ~ r t e n e n z u *ru pseudo- p u n i c e pseudore~tu consegue che per due pse~dopunti dis~inti passa una pseudoretta ben determinata. Infu~ti due r e t i ellit%iehe dis~inte di inversioni h u n n o in c o m u n e u n fascio elli¢$ico di inversioni, perch~ le i n v e r s i o n i di n n u re¢e elliCticu sono permu~u- bill con un'un~iinversione e i n o l t r e due u n t i i n v e r s i o n i i n d i v i d u u n o u n fuscio iper- bolieo permuCubile con u n fuscio elti%ico.

Se t r e an$iinversioni a~ fi, y a p p u r t e n g o n o ud u n o s~esso ~uscio :~, p e r c~ai il loro prodo~to ~ u n u un~iinversione 6 di 9 7, v-aol dire che le ~re r e t i ellit~iche di i n v e r s i o n i p e r m n t u b i l i rispe~tiva.mente con ~, fl, ? h u n n o ~ n f~scio (ellittico) in c o m u n e e i t r e p s e u d o p u n t i eorrisponden~i sono a]lineuti.

1)oich~ ere u n t i i n v e r s i o n i n o n u p p u r t e n e n t i ud u n o stesso fuscio i n d i v i d u u n o unu re~e iperbolicu, sono cio~ p e r m u t a b i l i con u n u stess~ inversione, ~re r e t i elli%iche di inversioni, n o n u v e n t i a n fuscio in c o m u n e , h a n n o in c o m u n e u n u i n v e r s i o n e e quindi p e r ere p s e u d o p u n t i n o n a l l i n e a t i pussu u n o p s e u d o p i u n o b e n deSerminuto.

L ' u l t e r i o r e costrnzione di questo modello ~ unulogu u quella de1 modello p r e c e d e n t e da$o che ~d ogni p s e u d o p u a t o ~ ussociu~u nn~nn¢iinversione.

3. - Modello dello spazio di De Sitter sul piano di inversione ellittico.

I n d i c u t i con ~ un piano di inversione ellittieo, con I e J i suoi punti ]ondamentali e con Z l'insieme ddle inversioni e antiinversioni di z, u n modello dello sp~zio di De S i t t e r v i e n e cos*ruito nel m o d o seguente.

C o m e pseudopiani si u s s u m o n o gli etemen~i di 27: gli pseudopi~ni v e n g o n o chi~m~ti temporali o spaziali, secondo che siuno r u p p r e s e n t a t i du inversioni o du antiinversioni.

Come pseudopunti si ~ssumono le reti iperboliehe di elementi di 2:: in ques*o m o d o a d ogni p s e u d o p u n t o ~ ussoeiut~ u n u illversione p e r m u t u b i l e con gti e l e m e n t i della f e t e che r u p p r e s e n t ~ lo p s e u d o p u n t o . I n f i n e c o m e pseudorette si u s s u m o n o i ]asei di elementi di 2:; secondo che tuli ]asci siuno iperbolici, paraboliei o ellittiei, le pseq.edorette si di- s~inguono in spaziali~ di luee e temporali. ]~[entre le p s e u d o r e t t e spuzi~li sono fasci di i n v e r s i o n i e ~ntiinversioni, le u]%re pseudorett, e sono fusci di i n v e r s i o n i soltanto.

Siccome u n ~ f e t e iperbolic~ di e ] e m e n t i di Z p u b essere i n d i v i d u u t u du t r e i n v e r - sioni p e r m l l t ~ b i l i con u n u stessa i n v e r s i o n e , l'appartenenza di uno pseudopunto ad uno pseudopiano significu appartenenza di quattro inversioni ad una stessa rete~ cio5 che il loro prodo*to ~ uguule a.1 p r o d o t t o di due i n v e r s i o n i detla~ stessu f e t e , secondo q u u n t o si ~ d i m o s t r u t o nel 1 o purugrufo.

L'appartenenza di una pseudoretta ad uno pseudopiano ~ espressu dull' appartenenza ad uno stesso ]ascio di tre dementi di X~ p e r eui il loro p r o d o t t o ~ u n e l e m e n t o dello stesso fascio.

V ~ - c E ~ z o D ~ c u o ~ z o : I p i a n i di inversione come modelli~ etc. 129

Z'appartenenza di q~no pseudopunto ad una pseudoretta sigaifica appartenenza di un /ascio di elementi di Z ad una rete iperbolica 2~ di slementi di Z~ cio5 gli e l e m e n t i de1 ~useio d e v o n o essere p e r m u t a b i l i con l'inve~sione a s s o c i a t a a d :~.

L a permutabilit5 tra elementi di X v i e n e ~ssunt~ c o m e relazione di perpendico- tarit~ tra pseudopiani; ne consegue che lu perpendicolarit~ tra u n a pseudoretta e uno pseudopiano significu permutabilit5 di due elementi di Z con q~n elemen~o dello stesso insieme.

Poich~ u n iascio 5" di e t e m e n t i di Z ~ individua, to ds~ d u e dei suoi elementi~ si h~

che, dati due pseudopiani, esiste la pseudoretta toro intersezione; inoltre, siccome esis~e a n fascio ~ di e l e m e n t i di Z permu~ubili con d u e inversioni~ v u o l dire che~ dati due pseudopunti distinti~ esiste una pseudoretta passante per essi.

S a p p i ~ m o che i r e e l e m e n t i di X n o n u p p ~ r t e n e n $ i a d u n o s~esso fascio i n d i v i d u a n o u n a f e t e che p u b esse~e o iperbolic~, o elliStica~ o p p ~ ' e p a r u b o ] i c ~ clog u n g f e t e di e l e m e n t i di 27 p e r m ~ t ~ b i l i con n n a stessu i n v e r s i o n e o con u n a stessa antiinversione~

o p p u r e con nessun e l e m e n t o di 27: ques~o significu che ire pse~dopiani~ non apparte- henri ad ~no stesso fascio~ possono avere uno pseudopun$o i n comune e sono anche per- pendicolari ad uno pseudopiano temporale individuando q~na stella propria, oppure sono perpendicotari ad uno pseudopiano spaziale individuando u n a stella ideale~ o in/ine individuano una stella impropria di pseudopiani.

Poichg le a n t i i n v e r s i o n i upparCengono solt~nto ulle r e t i iperboliche di e l e m e n t i di Z~ si h a che, se di t r e pseudopiuni~ n o n a p p ~ r t e n e n t i a d u n fasci% u n o a l m e n o 6 sp~ziule, esiste sia lo p s e n d o p u n t o c o m n n e a d essi~ si~ n n o p s e u d o p i a n o t e m p o r ~ l e p e r p e n d i c o l a r e ~d essi.

T r e r e t i i p e r b o l i c h e di inversioni~ n o n a v e n t i in c o m u n e u n fascio, p o s s o n o a v e r e u n e l e m e n t o in c o m u n e o p p u r e n o ; questo significa ch% dati tre pseudopunti non allineati, pub esistere oppure no uno pseudopiano passante per essi.

A n a l o g a m e n t e , dati uno pseudopunto e una pseudoretta non appartenentisi, pub esistere oppure no uno pseudopiano she li eontenga.

P e r la relazione di incidenza tra u n a pseudoretta p e uno pseudopiano ~ non appar- tenentisi~ si presentano tre casi.

Se lo p s e u d o p i a n o ~ g spgzi~1% o p p u r e se lg p s e u d o r e t ~ s p g spazial% esis~e s e m p r e u n o p s e u d o p u n ~ o p n ~, poich~ gli elemen~i di X i m m a g i n i di ~ e d i p ~ p p s r t e n g o n o ud u n a f e t e iperbolic~.

Se ~ g ~emporale e p g t e m p o r ~ l e o di lnc% gti e l e m e n t i di 2: i m m a g i n i di ~ e di p a p p a r t e n g o n o a d u n ~ r e t e che p u b essere iperbotica~ o pa~r~bolica, o p p u r e eltit$icg:

i n corrispondenza, p e ~ si dicono incidenti, paralleli~ o ultraparalleli, e m e n , r e nel p r i m o e nel %erzo caso essi sono p e r p e n d i c o ] g r i ud u n o p s e u d o p i ~ n o r i s p e % i v a m e n t e spa- ziale o Cemporule, nel secondo n o ~ sono p e r p e n d i c o l u r i a d ~lcuno p s e n d o p i a n o .

Gli e l e m e n t i di 27 p e r m u ~ g b i l i con u n e l e m e n t o ~ di Z:~ c o m e s a p p i ~ m o , f o r m a n o u n a r e t e elli~tic~ o iperbolicu, secondo che ~ sis n n ' g n t i i n v e r s i o n e o n n s i n v e r s i o n e : ques~o significa, che ad ogni pseudvpiano ~ ~ associata una stella 2~ di pseudopiani per- pendicolari di ~. ~ viene c h i a m u t o polo di ~ ed ~ u n o pseudopun~% se ~ g n n o pseudo-

9 - ~ 4 n n a l i d i M a t e m a l i c a

130 V~CE~zo DIC~oNzo: I piani di inversione come modelli, ecc.

piano temporale; ~ viene chiamato pseudopiano polare di ~ ; il po]o di nno psendopi~no spaziale viene chiamuto pseudopunto ideale. 0 g n i polo non appartiene ai suo pseudo- piano polsre.

Se ff e ~ sono i poll di due pseudopiani ~ e fl, seeondo che ~(~, fi) ~ una pseudoretta temporale, d i l u c e o spaziale, ~ e ~ appartengono ad una pseudoretta rispettivamente spaziale, di luce~ o temporale.

Infatti, secondo che l'imm~gine di ~(~, fl) g nn f~scio ellittico, p~rabo]ico, o iper- botico di elementi di Z~ il f~scio 5 ' di e!ementi di Z permnt~bili con quelli di ~(~, fl) rispe%ivamente iperbolic% parabolico, o ellittico: gli elementi di 5 ' ruppresentano pseudopiuni app~rtenenti a ff ed ~. ~n tgl modo si ha che i poli degli psendopiani passanti per nna psendorett~ 19, appurtengono ad un'~ltr~ pseudoretta p' (~ polare ~>

di p; secondo che p sia temporale, di ]uce, o spgzi~le, p' ~ rispettivamente spazia.le, di lnce~ o ~emporale. Nel c~so di pseudorette di tuce poIari i fa.sci corrispondenti di inversioni appurtengono ud nn~ stessu rete~ nel egso invece di pseudorette poluri di tipo diverso i fasci corrispondenti di elementi di Z non uppartengono ad ung stessa fete.

L~esistenza dello pseudopiano per tre pse~dopunti non ~llineati gdesso pnb essere espressa dieendo che i ~re psendopiani polsri degli pseudopunti individuano una stellu elti~icg o iperboliea di psendopia~ni.

La s~rutturg di incidenz~ deI modello cosi costruito ~ pifi debole di quetla dello spazio di De Sitter; per ottenere qnest~ bisognu introdurre dei nuovi pseudopiani~

i qn~li vengono de~ti (~ d i l u c e ~>.

Uno pseudopiano d i l u c e viene definito come insieme degli pseudopunti poll degli pseudopiani eli una stella parabolica.

Per quest~ definiz~one si ha che uno psendopunto ~ppartiene ~d uno pseudopiano di luce~ se lo pseudopnn~o 6 polo d~ uno pseudopiano tempor~le ~pp~rtenente ~11~

stell~ parabolic~ ~ssociat~ ~Ilo pseudopiano di h~ce; inoltre una pseudore~t~ appar-

~iene ad nno psendopiano di ]nce~ se la pseudoretta polare di essa appartiene ulla stella paraboliea di pseudopigni assoeiata allo psendopiano diluce.

Con ]'introdnzione degli pseudopi~ni di luce esiste in ogni e~so uno pseudopiano passante per tre pseudopnnti non allinea~i e quindi anche per nna psendoretta e uno psendopunto che non si upp~rtengono.

_Per una pseudoretta temporale p non passa alcuno pseudopiano di luce~ poichg la pseadoretta p~ pota.re di p, essenclo spaziale, non pub a, ppartenere ad alcuna stella parabolica di pseudopi~ni.

I)er una pseudoretta di lute p passa un solo pseudopiano diluce, poich5 lg pseudo- retts~ p' polgre di p, essendo pure di lnee~ appartiene ad ~ma sola stelta parabolica di pseudopiani: due psendorette d i l u c e polgri sono complanari, perehg a.ppgrtengono ad una stellg parabolica di pseudopiani.

Infine per una pseudoretta spaziale p passano due pseudopiani di luce, poieh5 ]a pseudore%a p' d i p 6 ~emporale e quindi i] fascio di inversioni imm~gine d i p ' ~pp~r- tiene ~ due reti p~r~boliehe di inversioni.

VINOE~zo DlcvO~ZO: I piani di inversione come modelli~ ecc. 131

C o m e polo di uno p s e u d o p i u n o di luce si a s s u m e la stella parabolic~ a s s o c i a t a a d esso, lo quale v i e n e c h i a m a t a (( pseudopunto improprio ~.

Siccome due r e t i p ~ r a b o l i c h e di i n v e r s i o n i h ~ n n o in c o m u n e u n faseio ellittieo, si h a che due pseudopunti impropri appartengono ad una pseudoretta temporale.

Viceversu, siccome ~d u n fascio ellittico ~ di i n v e r s i o n i sono ~ssoci~ti due p u n t i reali e d i s t i n t i di ~ e q u i n d i due r e t i p a r ~ b o l i c h e d i s t i n t e di i n v e r s i o n i a v e n t i in c o m n n e 37~ si h a che ad ogni pseudoretta temporale appartengono due pseudopunti impropri distinti.

U n fascio p a r a b o l i c o di i n v e r s i o n i a p p a r t i e n e i n v e c e ~d u n ~ sola r e t e p a r a b o l i c a di i n v e r s i o n i : questo significa che ogni pseudoretta di lute possiede un solo pseudopunto improprio.

I n o l t r % siccome p e r ogni p s e u d o r e t t a di lace p passu u n solo p s e u d o p i ~ n o d i l u c e , p o l i t e dello p s e u d o p u n t o i m p r o p r i o di p, si h a che ogni pseudopiano d i l u c e contiene il proprio polo.

I n f i n e , poichg a d u n fascio iperbolico Y di e t e m e n t i di Z n o n g ussoei~to a, lc u n p u n t o reale di s~ cio5 ~ n o n a p p g r t i e n e a d a l e u n a r e t e pgrabolicu~ r i s u l t a che ad una pseudoretta spaziale non appartiene alcuno pseudopunto improprio.

L'appartenenza di due ]asci di dementi di Z ad una stessa rete ~ e s p r i m e ta compta- narit5 di due pseudorette, le quali sono incidenti, parallele, o ultraparallele, seeondo che 2~ sia iperbolica, paraboliea o ellittica; nel p r i m o caso le due p s e u d o r e t t e sono per- p e n d i c o l a r i a d n n o p s e u d o p i a n o t e m p o r a l e , nel t e r z o esse sono p e r p e n d i c o l a r i a d u n o p s e u d o p i a n o spaziale.

A n c h e p e r una pseudoretta p e uno pseudopiano ~ perpendicolari si p r e s e n t a n o t r e casi di ineidenzu, cio~ essi lwssono essere incidenti, paralleti o ultraparalteli: infa~ti gli e l e m e n t i di Z p e r m u t a b i l i con lln faseio iperbolico di e l e m e n t i di X, sono s o l t a n t o i n v e r s i o n i e f o r m a n o a n fascio ellittico.

Se p ~ temporale~ gli pseudopiani perpendicolari a p sono di tre tipi passano per la potare p' d i p e rispetto a p sono ineidenti quelli spaziali~ paralleli quelli d i l u c e , ~dtra- paralleli quelli temporali: i n f a t t i gli e l e m e n t i di X p e r m n t a b i l i con nil faseio ellittico

sono sia ~ n t i i n v e r s i o n i ehe i n v e r s i o n i e o g n u n o di essi i n s i e m e con 3 7 i n d i v i d u a u n a r e t e r i s p e t t i v a m e n t e iperbolica o ellittica di e l e m e n t i di 27; i n o l t r e p contiene due p s e u d o p u n t i i m p r o p r i poll di due p s e u d o p i ~ n i di lace pussunti per p ' .

Se infine p ~ di tuce, gli pseudopiani perpendieolari a p sono tutti temporali tranne quello di lute per p: tgli p s e u d o p i a n i sono paralleli s p, poich~ p a s s a n o p e r Io psendo- p u n t o i m p r o p r i o di p. I n f a t t i ]e i n v e r s i o n i p e r m u t a b i l i con le i n v e r s i o n i di n n fascio p a r a b o l i c o ~ f o r m ~ n o u n a l t r o fascio parubolico 37' e sia p e r ~ ehe p e r 5 ' ~ u n i t o u n o stesso p u n t o reule di s .

Se una pseudoretta p e uno pseudopiano ~ non sono perpendicolari, esiste uno pseudo- piano fl per p perpendicolare ad o~: fi ~ lo p s e u d o p i u n o p e r p e p e r il polo ~ di ~. Se p t e m p o r a l e o ~ g spazi~le, fi g t e m p o r a l e ; se p g spaziale e ~ g t e m p o r a l e , fi p u b essere di t r e t i p i ; se p ~ spaziale e ~ g di luc% f i g t e m p o r ~ l e ; se p ~ di luce e a ~ tempor~le~

/5 ~ t e m p o r ~ l e o di luee; infine, se p e ~ sono e n t r a m b i di luc% /~ g t e m p o r ~ l e . N e l 1 o paragTafo ~ s t a t a p r o v a t ~ l ' e s i s t e n z a di q u a t e r n e di e l e m e n t i di ~ a due

132 VINCE~Z0 Dmcuo~zo: I piani di inversione come modelli~ ecc.

a due p e r m u t a b i l i e tali che u n o soltanto d i e s s i sia u n ' a n t i i n v e r s i o n e : questo signi- flea che esistono tetraedri autopolari con una sola ]aecia su uno pseudopiano spaziale, al quale a p p a r t e n g o n o t r e p s e u d o p u n t i vertici, m e n t r e il q u a r t o v e r t i c e & il polo dello p s e u d o p i a n o spaziale.

Come nel caso de]lo spazio ipe1%olico, i n d i c h i a m o con ~ il gruppo generato dagli etementi di Z ; se ae~,, con il simbolo 8~ si indica Fautomor]ism.o interno di ~ asso- ciato ad o:.

A n a l o g a m e n t e al c~so dello sp~zio iperbolico, m e d i a n t e 8~, pseudopiani si m u t a n o in pseudopi~ni dello s~esso tip% pseudore~te in p s e u d o r e t t e p u r e dello stesso tipo e p s e u d o p u n t i in p s e u d o p ~ t i e inoltre r e s t a n o u n i t i sia gli p s e u d o p u n t i che le pseudo- r e t t e di g~ sia le p s e u d o r e t t e che g]i pseudopi~ni perpendico]ari a d ~..

L~au~omor]ismo interno 8~ di ~ viene chiamato pseudosimmetria planare spaziale o temporale~ seeondo the lo sia ~.

Dicesi pseudomovimento ogni prodotto di pseq~dosimmetrie planari e quindi ogni automor]ismo interno di ~.

1)oich~, come ~ s ~ o dimostr~to nel 1 ° paragr~fo, ogni e l e m e n t o di ~ pub essere o t t e n u t o come prodo%to di al massimo q u a t t r o inversioni, ogni pseudomovimento si ottiene come prodotto d i a l massimo quattro pseudosimmetrie planari temporali.

Secondo che siano p r o d o t t i di u n n u m e r o purl o dispari di p s e u d o s i m m e t r i e planari temporuli~ gli pseudomovimenti vengono suddivisi in pari o dispari. Gli pseudomovi- menti pari eostituiseono un sottogruppo 9 + del gruppo ~ degli pseudomovimenti.

Se ~ e fl sono due pseudopiani temporali~ secondo che 5(a, fl) sia una pseudoretta p temporale~ di l'ace o spaziate~ Fautomorfismo interno 8 ~ ~ 8¢, 8~ viene detto trasla- zione eltittica~ spostamento oricictico~ o rotazione ipexbolica: net p r i m o e nel secondo caso sono u n i t i gli p s e a d o p i a n i perpendicolari a p~ nel terzo caso sono u n i t i sia gli p s e u d o p u n t i di p si~ gli pseudopi~ni perpendicol~ri ~ p.

U n a rotazione iperboliea pub essere o t t e n u t a anehe come prodotto di due pseudo- simmetrie planari spaziali. Infa'~ti~ come ~ sta~o d i m o s t r a t o nel 1 ° paragra~o, unu antii[n~ersione si pub o t t e n e r e come p r o d o ~ o di ~re inversioni ~ due a due p e r m u t a b i l i . Se ~ e fl sono due a n t i i n v e r s i o n i e y e ~ due inversioni ~ a loro p e r m u t a b i l i e permu- tabili con ~ e fl, essendo a S y = - e e y S f i ~ , con ~ e ~ inversioni, si h~ ~---ey8 e fi = 8~], per cui ~fi = eO~y~ = s~.

P e r la stessa propriet~ it prodotto di due pseudosimmetrie planari di tipo diverso uguale al prodotto di qua#ro pse~dosimmetrie planari temporali e viene chiamato spo- stamento tossodromico.

Come per lo spazio iperbolieo, le rotazioni iperboliche intorno ad una stessa pseudo- tetra spaziale~ gli spostamenti orieicliei relativi ad ~no stesso fascio e le traslazioni eUit- tithe relative ad una stessa pseudoretta temporale Jormano dei gruppi abdiani.

Nel easo in cui e e fi siano due pseudopiani perpendicolaxi~ la ~raslazione ellittica

$ ~ g uguale alla rotazione iperbolica 8re, dove ~ e (~ sono u n a inversione e un'an~iin- versione p e r m u t a b i l i ~ra loro e con e e ft. U n tale p s e u d o m o v i m e n t o r i s u l t a involu- torio e viene chiama%o pseudosimmetria biassiale~ in q u a n t o p e r esso r e s t a n o uni$i g]i pseudopun~i di due pseudore~te polari sghembe e gli pseudopiani per esse.

VZr~CE~Z0 DIC~TO~ZO: I piani di inversione come modelli, eec. 133

4. - Proprieth strutturali di u n piano di inversione iperbolico.

Su u n p i a n o p r o i e t t i v o ~ costruito sul c a m p o dei complessi siano I e J due p u n t i reali e d i s t i n t i ed r la r e t t a p a s s a n t e per essi. I n d i c a t o con F il sistema lineare oo~

delle coniche definite da p o l a r i t £ reali di ~ e p a s s a n t i p e r I e J , se A ~ u n a coniea n o n degenere di IF, consideriamo l'inversione q u a d r a t i c a ~ r i s p e t t o a d A, tale che il centro di inversione sia il polo 0 di r r i s p e t t o ad A (1).

Siano P e Q due p u n t i distinti e o r r i s p o n d e n t i in ~ e u p p a r t e n e n t i ad u n a t e t r a reale per 0: essi sono reati e distinti o p p u r e eomplessi coniugati. Tali p u n t i insieme con i p u n t i 1 e J i n d i v i d u a n o u n fascio ~ di coniche di F, le quali d e t e r m i n a n o sulla coniea A u n a involuzione j. Poich~ nell'inversione ~ sono u n i t i i p u n t i di A e P e Q si corrispondono, ogni conica di • si m u t a in s~. Sia 3~ u n a conica di ~ e 0 ' il suo polo r i s p e t t o alla t e t r a r. I n d i c a t a con s la r e t t a 0 0 r , se A, A r e B, B ' sono i p u n t i di in- tersezione r i s p e t t i v a m e n t e di A e di 3~ con s, si h a ehe i p u n t i A , A ' , B, B ' f o r m a n o u n g r u p p o armonico. Percib nell'inversione fi (di c e n t r o O') assoeiata a 3~, la conica A si m u t a in s6. L e due inversioni ~ e fl r i s u l t a n o q u i n d i p e r m u t a b i l i ; ciascuna di esse d e t e r m i n a sulla coniea associata a l l ' a l t r a u n a involuzione, i cui p u n t i u n i t i sono i p u n t i di intersezione U e V di A e :g, diversi da I e J . Le t a n g e n t i a d u n a delle due eoniche A e :g in tall p u n t i U e V p a s s a n o per il centro dell'inversione associata al- l ' a l t r a conica. Vieeversa, se su n n a conica A di F v i e n e d a t a u n a involuzione j i cui p u n t i u n i t i siano diversi da I e J , risulta subito i n d i v i d u a t a u n a conica ~ d i / ~ pas- sante per i p u n t i u n i t i d i j e a v e n t e per polo r i s p e t t o ad r il polo 0 r d i j . L ' i n v e r s i o n e fl di eentro 0 r associata a :g 5 p e r m u t a b i l e con l'inversione associata ad A e a v e n t e per centro il polo 0 di r rispe%o a d A. Esiste q u i n d i u n a biiezione t r a le inversioni p e r m u - t~bili con n n a data inversione ~. e le involuzioni sutla conica A dei punti uniti di ~:

le inversioni pereib permutabili con una data inversione ]ormano una rete ~ , la quale viene c h i a m a t a propria, dato che le coniche associate alle inversioni di ~ i o r m a n o n n a rete propria.

I n F si h a n n o a n c h e reti i m p r o p r i e di coniche; o g n u n a di tall reti 6 c o s t i t u i t a dalle coniche di F p a s s a n t i p e r u n p u n t o r e a l e di z diverso da I e J ; le reti di inver- sioni associate alle coniche delle reti i m p r o p r i e di coniehe di 2P v e n g o n o c h i a m a t e improprie.

D a t e due inversioni e e fl, p e r il p r o d o t t o efi~ oltre I e J, si h a n n o due p u n t i unit~

reali e distinti, o reali e eoincidenti, oppm'e complessi coniugati, secondo che le coniche A e ~ d i / " associate r i s p e t t i v a m e n t e ad ~ e fi, si seghino, oltre che in I e J , in due p u n t i P e Q dello stesso t i p o : c o r r i s p o n d e n t e m e n t e si dice che le due inversioni ~ e fl individuano un /aseio iperbolieo~ parabolico~ o ellittico. IV[entre in u n a fete i m p r o p r i a

(1) Se o~ ~ una conica di/~ degenere in r e un altra tetra s, con r (h s % / , J, come inver- sione si assume l'omologi~ armonica avente per a s s e s e per centro il coniugato armonico di r (hs rispe~to a I e J.

134 V~NOENZO DICUONZO: I piani di inversione come modelli, eec.

i i s s c i possono essere s o l t s n t o iperbolici o p s r s b o l i c i , in n n s f e t e p r o p r i s possono es- sere s n c h e ellittiei.

Le inversioni permutabili con due inversioni e quindi con re inversioni di un ]ascio 371 formano a loro volta un altro ]ascio 372 che ~ ellittico, iperbolico~ o parabolico~ sevondo che lo sia 371: i due ]asci si dicono coniugati.

I n i s t t i s i s n o P e Q i p u n t i bsse~ oltre I e J , de1 fsscio 371: le r e t t e I.P, JQ, IQ, e J P f o r m s n o a n qusdmitstero eomple~o t a l e che gli s l t r i due ver~ici R e d S siuno rea.li e dis¢in¢i o p p u r e complessi conings~i, secondo che lo sisno P e Q, d s t o che I e J sono resli. Se P e Q coincidono, con essi coincidono p u r e R e d S. N e l l ' i n v e r s i o n e r i s p e t t o s d u n s conics di :F~, p e r il t e o r e m s di S e y d e w i t z - S t ~ u d t , le r e t t e I P e IQ si s c s m b i ~ n o r i s p e t t i v ~ m e n t e con J P e JQ, p e r cui si s c s m b i s n o i p u n t i R e d S:

R e d S sono eio~ c o r r i s p o n d e n t i in t u t t e le i n v e r s i o n i di 51 e q u i n d i sono u n i t i p e r Cut~e le i n v e r s i o n i di 372.

I n ogni fascio 37 di inversioni associate alle coniche di I~ rispetto ad una inversione esiste una inversione fi permutabile con a: fi ~ l'inversione d e t e r m i n s t s dulls involu- zione sullu conics A ussocistu ud = ~ v e n t e p e r p u n t i ~ni¢i i p u n t i u n i t i delle inver- sioni di 5 d i v e r s i d s I e J .

Sulls conics dei pun%i uni%i di u n s inversione, p e r m u t s b i t e con le i n v e r s i o n i di u n fsscio 37, le i n v e r s i o n i di 37 d e t e r m i n ~ n o u n fascio di involuzioni; poich5 il p r o d o t t o di t r e involnzioni di u n fsseio ~ u n s involuzione dello stesso Isscio, s n c h e il prodotto di tre inversioni di un /ascio ~ ~ una inversione dello stesso /ascio.

S i s n o o r s = e fi d u e inversioni p e r m u t s b i l i e ~, u n s inversione p e r m u t s b i l e con e fl, u p p a r t e n e n t e cio5 s1 fascio 372 c o n i ~ g s t o del fsscio 37z i n d i v i d n s t o d s ~ e ft. L e t r e i n v e r s i o n i ~, fi e 7 i n d i ~ i d u s n o u n ~ re~e p r o p r i % cio~ u n s re~e p e r m u ~ b i l e con u n ~ s t e s s s i n v e r s i o n e 8, I s qu~le ~ l ' i n v e r s i o n e di 37~ p e r m ~ t a b i t e con y. Se A, :B, C, ~) sono le eoniehe sssoeis~e r i s p e t ~ i v s m e n t e s d ~, fi, y, ~ le inversioni ~, fi, y d e t e r m i n s n o su ~ delle involuzioni j l , j~, j~ s due s due p e r m u t s b i l i . Poich~ su u n s conic~ s p u n t i reuli il p r o d o t t o di due involuzioni p e r m u t u b i l i 5 n n s involuzione p e r m u t s b i l e con esse e i n o l t r e ~ u n i c s l~involuzione p e r m u t s b i l e con due involnzioni n o n s v e n t i s l c u n pun~o ~n~to in c o m u n % v u o l dire ehe it p r o d o ~ o jlj~ ---- j~ e quindi il prodo%o j~j~j~

l'identi~5~ eio~ p e r il p r o d o t t o j~j~j~ rests.no u n i t i t u t t i i p ~ n t i di ~ . I1 p r o d o t t o

~fl~ p u b essere percib o l'iden~it5 o p p u r e (~: siecome il p r o d o t t o di due inversioni n o n p u b essere ~ g u s l e ud u n s inversione, si h a che gfly ~ - ~ cio~ il prodotto di tre in- versioni distinte a du~ a due 19ermutabili non n p p s r t e n e n t i quindi s d u n o stesso fsscio,

uguale ad una inversione.

DsC~e d u e eoppie di pun~i r e s l i e d i s t i n t i A , A ' e B, B' e o r r i s p o n d e n t i nell~ inver- sione y r i s p e ~ o s d una. conics ~ di F, Ssle ehe il e e n t r o di y sis il polo di r rispet~o s ~, esiste u n s b e n d e t e r m i n s t s conies di F p a s s u n t e p e r A , A'~ B, B ' , ls qusle ~ degenere, se dei p u n t i A, A ' , B, B ' due n o n e o r r i s p o n d e n t i in y sono s ] l i n e s t i con I o con J .

~n ~ n fsscio iperbo]ico di eoniche di F~ oltre ls conics degenere c o n t e n e n t e ls r e t t s r, esis~ono s ] t r e due eo~iehe d e g e n e r i in due r e t i e ~-esli e dishing.e, men%re in u n f~scio p s r s b o l i c o ol~re I s conics d e g e n e r e eon~enente l s ret~s r esis~e ~n'sltra. conics dege- n e r e in due re%e r e s l i e dis~in~e. I n a n lsscio elli~¢ico di eoniche di I~ oltre l s conics