0.1 Energetica nucleare
Ogni reazione in cui i reattantiA, B, ... formano il prodotto C, D,... puo’ essere scritta simbolica- mente come
A + B + · · · → C + D + · · · (1)
SeMi rappresenta la massa dell’i-esimo componente, la variazione di massa nella reazione e’
△M = (MA+ MB+ · · ·) − (MC+ 0D+ · · ·) (2) e l’energia emessa in + o in - e’
△E = △Mc2 (3)
Nelle reazioni chimiche la massa del reattante convertita in energia e’ solo dell’ordine di 10−8% del reattante quindi difficile da misurare con la precisione ottenibile attualmente, mentre nelle reazioni nucleari l’energia emessa (o assorbita) e’ molto grande e quindi la variazione di massa e’
misurabile,10−4− 10−5%.
La variazione di massa si puo’ calcolare o dalla variazione di BE o direttamente dalle masse
△Mc2 = [ZM(11H) + (A − Z)mn− M(AZX)]c2 = BE(AZX) (4)
0.1.1 Reazioni nucleari
Le reazioni nucleari giocano un ruolo importante nella scienza ed ingegneria nucleare e di con- seguenza nelle applicazioni, perche’ e’ con queste reazioni vari tipi di radiazione sono prodotte o rivelate, o si hanno informazioni sulla struttura interna dei nuclei e quindi della materia. Tutte le reazioni nucleari si possono classificare in due grandi categorie:
1. Nella prima categoria il reattante e’ un singolo atomo o nucleo che spontaneamente si mod- ifica emettendo una o piu’ particelle
X → Y1+ Y2+ · · · (5)
Tale reazione si chiama decadimento radioattivo, questo tipo di reazione e’ necessariamente esotermica i.e. la massa deve diminuire nel processo di di decadimento e deve essere emessa energia, generalmente sotto forma di energia cinetica dei prodotti della reazione
2. Nella seconda categoria si trovano le reazioni binarie in cui due particelle nucleari ( nuclei, nucleoni, elettroni o fotoni ) interagiscono per formare particelle nucleari differenti. La reazione piu’ comune si puo’ indicare come
x + X → Y + y, X(x, y)Y (6)
x e y indicano le particelle piu’ leggere della coppia.
0.1.2 Esempi di reazioni nucleari binarie
Le semplici regole per scrivere una reazione nucleare sono: conservazione della carica e del nu- mero di massa.
reazione(α, p) : La prima reazione nucleare fu descritta da Rutherford
42He +147 N→178 O +11H, 147 N(α, p)178 O
reazione(α, n) : Nel 1932 Chadwick scopri’ il neutrone bombardando berillio con particelleα
42He +94Be→126 C +10n 94Be(α, n)12c C
reazione(γ, n) : Neutroni si possono produrre bombardando ad es. deuterio con raggi gamma energetici
γ+21H→11H +10n 21H(γ, n)11H o 21H(γ, p)10n
reazione(p, γ) : I protoni possono indurre reazioni nucleari tipo la cattura radiativa del protone es.
11H +73Li→84Be +γ 73Li(p, γ)84Be
Il prodotto84Be non e’ legato e si scinde quasi immediatamente in due particelleα ( decadimento radioattivo).
84Be→42He +42He
reazione (γ, αn) : Esempio di reazione con uno stato finale a tre corpi, un fotone di alta energia incide su17O che a sua volta si scinde in12C , unα ed un neutrone con la reazione
γ+178 O→126 C +42He +10n o 178 O(γ, n)176 C
reazione (n,p) : I neutroni veloci possono causare diversi tipi di reazioni nucleari. La reazione procede chiaramente in due passi con la formazione di un nucleo composto che poi decade radoattivamente in piu’ prodotti
10n +168 O→167 N +11p o 168 O(n, p)167 N
0.1.3 Reazioni a stato finale multiplo
In generale quando una particella x interagisce con un nucleo X si possono avere piu’ tipi di reazioni a cui e’ associato uno stato finale. Ad es. nell’urto di un neutrone di media alta energia (
∼ MeV) con il nucleo3216S si possono avere scattering elastico
10n +3216S→3216S +10n
Questa e’ una reazione(n, n). Un secondo tipo di reazione e’ uno scattering inelastico in cui il
3216S e’ lasciato in uno stato nucleare eccitato
10n +3216S→ (3216S)∗+10n’
con(3216S)∗ stato eccitato del nucleo3216S e con il neutrone che cede energia nell’urto inelastico.
Il neutrone incidente puo’ essere assorbito ed espellere un protone
10n +3216S→3215P +10p
quindi una reazione(n, p), oppure semplicemente catturato con emissione di un gamma
10n +3216S→3316S +γ
quindi una reazione di cattura radiativa o reazione(n, γ) in cui la BE del neutrone al nucleo e’
emessa come raggio gamma.
Le condizioni cinematiche di queste reazioni sono diverse, lo scattering elastico e la cattura sono possibili a tutte le energie, lo scattering inelastico mentre per le altre e’ necessario che il neutrone abbia una certa energia cinetica per superare una certa soglia.
0.2 Q-value di una reazione
In ogni reazione nucleare l’energia totale deve essere conservata X
i
[Ei + mic2] =X
i
[Ei′+ m′ic2] (7)
essendoEi(Ei′) l’energia cinetica nello stato iniziale (finale) e mi(m′i) le masse a riposo.
questo significa che ogni variazione di energia cinetica totale prima e dopo ogni reazione deve essere accompagnata da una equivalente variazione delle masse a riposo.
Q = KEf − KEi = (X
i
m −X
i
m′) (8)
La reazione si dice esotermica quandoQ < 0, enrgia cinetica nello stato finale maggiore di quella nello stato iniziale o massa a riposo nello stato iniziale maggiore della massa nello stato finale, si ha una reazione endotermica quando inveceQ < 0, che significa che l’energia cinetica dello stato iniziale viene convertita in massa a riposo dello stato finale. Questo tipo di reazione richiede che le particelle nello stato inziale abbiano una certa energia cinetica per superare la soglia di reazione.
Da ricordare in ogni reazione nucleare, in cui il numero di neutroni e protoni e’ conservato il Q-value deve essere calcolato sostituendo ogni particella carica con il suo atomo neutro.
Nel caso di reazioni che producono nuclei eccitati il Q-value deve essere calcolato tenendo conto che la massa del nucleo eccitato e’ maggiore del corrispondente nucleo nello stato fondamentale di una quantita’ pari aE∗/c2, doveE∗ e’ l’energia di eccitazione. La massa di un atomo eccitato quindi sara’
M(AZX∗) = M(AZX) + E∗/c2 (9) essendoM(AZX) la massa dell’atomo nello stato fondamentale1
0.3 Radioattivita’
I nuclei radioattivi e la loro radiazione hanno proprieta’ che sono alla base di molte delle idee ed applicazioni delle tecniche della fisica nucleare. Dal primo esperimento di Rutherford alle produzione attuale di radionuclidi artificiali i nuclei radiattivi hanno segnato la fisica nucleare e sono diventati elemnto indispensabile alla moderna tecnologia in svariati campi.
Tipi di decadimento
Ci sono diversi tipi di decadimenti spontanei (trasmutazione) che possono avvenire nei radionuclidi. In ciascuna trasmutazione, il nucleo dell’atomo genitoreAZP e’ modificato dall’emissione di una o piu’ particelle. Se il numero di protoni (Z) e’ cambiato, anche il numero
1Esempio - Qual’e’ il valore del Q-value della reazione10B(n, α)7Li* in cui il nucleo di7Li* e’ lasciato in uno stato eccitato (0.48 MeV) sopra il suo stato fondamentale?
Q= [mn+ M (105 B) - M(42He) - M(73Li*)]c2 essendo quindi M(73Li*) = M(73Li) + 0.48 MeV/c2il calcolo diventa
Q= [mn+ M (105 B) - M(42He) - M(73Li)]c2- 0.48 MeV
= [ 1.0086649 + 10.0129370 - 4.0026032 - 7.0160040] u× 931.5 MeV/u - 0.48 MeV = 2.310 MeV .
di elettroni orbitali dell’atomo figlio D deve essere cambiato o con rilascio di elettroni o con assorbimento di elettroni dalla materia. Nella seguente tabella sono illustrati i tipi piu’ comuni di decadimento radioattivo.
Tipo decadimento Reazione Descrizione
Gamma(γ) AZP*→AZP +γ Nucleo eccitato emette gamma Alpha (α) AZP→A−4Z−2D +α nuclide decade alpha Beta- (β−) AZP→AZ+1D +β−+ ν neutrone nel nucleo in p,e,ν Beta+ (β+) AZP→AZ−1D +β++ ν protone nel nucleo in n, e+, ν Electron Capture (E.C.) AZP + e→AZ−1D* +ν Orbital electron assorbito
Proton (p) AZP→A−1Z−1D +p protone nucleare espulso da nucleo Neutrone (n) AZP→A−1Z D +n neutrone nucleare espulso dal nucleo Conversione interna (IC) AZP*→ [AZP]+ Elettrone orbitale espulso
0.3.1 Diagramma di decadimento radioattivo
Per quantificare il decadimento di un radionuclide sono necessari dati dati empirici come i tipi di decadimenti possibili, la probabilita’ per ciascun modo di decadimento, il tempo di dimezzamento del radionuclide, i prodotti figli del decadimento, l’eccitazione prodotta nel nuclei figli, la loro vita media, la frequenza ed energia della radiazione emessa nel passare dallo stato eccitato allo stato fondamentale. Un modo per presentare tali dati e’ il diagramma di decadimento radioattivo.
In un diagramma di decadimento radioattivo, a volte chiamato nuclear-level diagram, l’asse-y rappresenta le masse ( o energie equivalenti) dei vari stati eccitati dei prodotti che sono indicati
con linee orizzontali. Gli stati fondamentali sia del nuclide genitore che quello dei figli sono rappresentati con linee orizzontali piu’ marcate. L’asse-x rappresenta il numero di protoni nei vari nuclidi. Poiche’ il processo di decadimento e’ sempre esotermico per cui le masse dei nuclidi figli sono sempre bf minori della massa del nuclide genitore.
L’asse verticale energia/massa e’ su una scala relativa con il livello fondamentale a energia ZERO per ciascun i figlio. Le energie di ciascun stato eccitato sono scritte sopra o di fianco ai livelli rappresentanti lo stato. Per uno stato ecitato di energiaEi sopra lo stato fondamentale, il nuclide eccitato ha un eccesso di massa pari a△mi = Ei/c2 rispetto al nucleo nello stato fondamentale.
Spesso viene anche indicato il Q-value per il decadimento allo stato fondamentale. Il O-value per un decadimento ad uno stato eccitato e’ il Q-value dello stato fondamentale meno l’energia di eccitazione dello stato eccitato.
Nel diagramma ciascuna freccia al livello fondamentale od eccitato e’ etichettato col tipo di decadimento, e dalla probabilita’ di decadimento (o frequenzaf ), es. f (α); ogni frequenza e’
data in percentuale che indica la probabilita’ che quel modo di decadimento avvenga per decadimento del nuclide genitore.
Gli stati eccitati decadono quasi immediatamente via processi radiativi con emissione di raggiγ aventi energie pari alla differenza di energia tra i vari stati. Se lo stato eccitato persiste per un tempo apprezzabile allora si parla di stati metastabili, ed e’ etichettato con il tempo di dimezzamentoT1/2, es. AmZ+1BT1/2.
La Table of Isotopes [Fireston and Shirley 1996] di 3100 pagine contiene i diagrammi dei livelli nucleari di quasi tutti i nuclidi conosciuti.
0.4 Energetica dei decadimenti
L’interesse maggiore e’ per l’energia delle particelle emesse, in quanto nella maggior parte dei casi nel processo di decadimento l’energia cinetica del nuclide genitore e’ trascurabile.
0.4.1 Decadimento gamma
In molte reazioni nucleari nello stato finale si ha un nuclide che si trova in uno stato eccitato. I nuclidi eccitati generalmente decadono allo stato fondamentale in un tempo molto breve,10−9s, emettendo un raggio gamma.
γ decay: AZP*→AZP +γ
La conservazione dell’energia richiede che
M(AZP*)c2 ≡ M(AZP)c2+ E∗=M(AZP)c2+ EP + Eγ
Se il nuclide genitore e’ a riposo,il Q-value e’ dato dalla somma delle energie cinetiche dei due prodottiQγ = EP + Eγ = E∗. valendo la conservazione del momento si ha che
Eγ/c =p2MPEP (10)
conMP = M(AZP). Sostituendo si ricava l’energia delgamma Eγ = Qγ
1 + Eγ
2MPc2
−1
≃ Qγ = E∗ (11)
L’approssimazione e’ giustificata perche’Eγ e’ al massimo 10-20 MeV che e’ molto piccola a confronto di2MPC2 > 4000 MeV.
0.4.2 Decadimento Alpha
Per i nuclidi pesanti ricchi in protoni un possibile modo di portarsi in una configurazione piu’
stabile e’ l’emissione di una particellaalpha, cioe’ il nucleo di42He che come sappiamo e’ molto stabile.
α decay: AZP→A−4Z−2D2−+42α →A−4Z−2D +42He
Il Q-value, in questo caso assommabile alla energia di disintegrazione misura la diminuzione di massa a riposo dei prodotti
Qα/c2=M(AZP) - [M(A−4Z−2D2−) + m(42α)] ≃ M(AZP) - [M(A−4Z−2D) +2me+ m(42α)He]
≃ M(AZP) - [M(A−4Z−2D) +M(42He)]
Il Q-value del decadimento equivale all’energia cinetica dei prodotti; tenuto conto che il momento totale deve essere zero essendo il momento del nucleo genitore zero i prodotti di decadimento sono colineari con momento uguale e di segno opposto. In regime non relativistico, perche’ le energie in gioco sono piccole, si puo’ scrivere
Qα = ED+ Eα = 1
2MDv2D+ 1
2Mαv2α, MDvD = Mαvα (12) Riscrivendo in termini divα lavD nella espressione dellaQαsi ricava l’energia cinetica dei prodotti
Eα = Qα[ MD
MD + Mα] ≃ Qα[ AD
AD+ Aα
], ED = Qα[ Mα
MD+ Mα] ≃ Qα[ Aα
AD+ Aα
] (13)
0.5 Beta decay
Molti nuclidi ricchi in neutroni o protoni si portano ad un livello energetico fondamentale piu’
stabile con la conversione di un neutrone in protone o viceversa con la emissione di elettroni o positroni,particelleβ− e β+, e antineutrini o antineutrini , ν e ν, scivolando cosi’ lungo la valle di stabilita’ fino a raggiungere il livello fondamentale ad energia minore.
0.5.1 Beta minus
La reazione generale del decadimentoβ−e’ la seguente
β−decay:AZP→ [AZ+1D]++0−1e +νe
dove sono evidenziati il nucleo figlio che si trova carico positivamente, per cui dovra’ acquisire un elettrone dal mezzo circostante per annullare la carica e l’antineutrino elettronico.
Se si trascura la massa dell’antineutrino (. eV), il Q-value e’ solo la differenza tra le masse del nuclide genitore e quella del foglio
Qβ−/c2 = M(AZP ) − [M(AZ+1D+) + mβ−+ mν] ≃ M(AZP ) − [{M(AZ+1D) + me} + mβ−] (14)
Il Q-value, nel caso in cui il decadimento avvenga su un livello eccitato del nucleo figlio, deve tener conto della differenza di energia tra lo stato fondamentale ed il livello eccitato
Qβ−/c2 = M(AZP ) − M(AZ+1D) − E∗/c2 (15)
0.5.2 Beta plus
Il decadimentoβ+ e’ il decadimento favorito dai nuclidi con un eccesso di protoni. Nel processo di disintegrazione si forma uno ione negativo in quanto il nucleo figlio ha un protone in meno, ma l’elettrone viene ceduto al mezzo circostante ristabilendo la neutralita’ atomica. L’equazione del decdimento e’
β+decay:AZP→ [AZ−1D]−+0−1e +νe
Seguendo lo schema dell’equazione per ilβ− il Q-value si calcola tenendo conto dell’elettrone che si viene a trovare in eccesso nello ione figlio
Qβ+/c2 = M(AZP ) − [M(AZ−1D−) + mβ++ mνe] ≃ M(AZP ) − [{M(AZ−1D) + me} + mβ−] (16)
≃ M(AZP ) − M(AZ−1D) − 2me (17)
Il positrone emess perde la sua energia cinetica ionizzando ed eccitando gli elettroni atomici muovendosi nel mezzo circostante, a volte puo’ formare uno pseudoatomo il positronio
catturando un elettrone prima di annichilarsi e convertirsi in un fotone. Il momento totale essendo zero, prima di annchilarsi, cosi’ deve essere dopo quindi i fotoni creati debbono essere colineari e di direzione opposta e portarsi via l’energia pari a2me/c2/2 = 0.511MeV.
0.5.3 Electron Capture
Nel modello quantistico dell’atomo gli elettroni orbitali , specialmente quelli delle shell piu’
interne come la K, hanno una probabilita’ piccola ma finita di trovarsi all’interno del nucleo, e quindi esiste una certa probabilita’ che l’elettrone sia catturato da un protone, che cosi’ si trasforma in neutrone. Questa trasformazione si puo’ assimilare al processoβ+,
p +0−1e → n + ν, con l’elettrone assorbito invece che il positrone emesso, il neutrino e’
necessario per la conservazione di energia e momento.
La reazione di decadimento EC si scrive come
EC decay: AZP→AZ−1D∗ +νe
dove il nuclide figlio generalmente e’ lasciato in uno stato eccitato. Susseguentemente solo l’emissione di raggigamma porta il nuclide allo stato fondamentale.
L’energia del decadimento si ricava dal Q-value, assumendo che il nuclide figlio sia lasciato nello stato fondamentale
QEC/c2 = M(AZP ) − [M(AZ−1D) + mνe] ≃ M(AZP ) − M(AZ−1D) (18)
Se il nucleo figlio e’ lasciato in uno stato eccitatoE∗, bisogna includere questa energia nel calcolo del Q-value.
Un esempio di un radionuclide che decade per EC e’ il74Be, la cui reazione e’
74Be→73Li +νe
In un processo EC un elettrone orbitale ( usualmente delle shell piu’ interne ) scompare lasciando una lacuna. La successiva cascata di elettroni dalle shell interne fino a quelle esterne esterne per occupare la lacuna genera generalmente una emissione di raggi X. Tuttavia e’ possibile che la variazione di energia elettronica invece che essere trasformata in raggi X sia trasferita ad un elettrone orbitale esterno con la sua espulsione dall’atomo, elettrone Auger.
0.5.4 Neutron decay
Ci son o alcuni nuclidi ricchi in neutroni che decadono emettendo un neutrone producendo cosi’
un isotopo dello stesso elemento. Il nuclide figlio e’ generalmente in uno stato eccitato e si riporta allo stato fondamentale emettendo raggigamma.
Un esempio di decadimento neutronico e’ la seguente reazione13854 Xe→13754 Xe + n.
Lo schema della reazione e’
n decay:AZP→A−1Z P∗ +10n
Sebbene il decadimento del neutrone sia raro, esso e’ un processo importante sfruttato nei reattori nucleari. Una piccola frazione degli atomi radioattivi prodotti nella reazione di fissione decadono emettendo neutroni, con un tempo di decadimento di decine di secondi; questi neutroni
contribuiscono a mantenere la reazione a catena, rallentandola ma rendendo possibile il suo controllo. Il Q-value di tale processo e’ il seguente
Qn/c2 = M(AZP ) − [M(A−1Z P∗) + mn] ≃ M(AZP ) − M(A−1Z P ) − mn− E∗/c2 (19)
0.5.5 Proton decay
Alcuni nuclidi ricchi di protonidecadono emettendo un protone, in questo modo l’atomo figlio si trova elettronegativo, con un elettrone in piu’ che viene poi ceduto all’ambiente circostante.
p decay: AZP→ [A−1Z−1D∗]− +11p
Il Q-value si calcola tenendo conto che l’atomo figlio e’ ionizzato negativamente e quindi nel conto deve comparire la massa dell’elettrone in piu’. Alla fine la relazione sara’
Qp/c2 = M(AZP ) − [M([A−1Z−1D∗]−) + mp] ≃ M(AZP ) − M(A−1Z−1D) − M(11H) − E∗/c2 (20)
0.5.6 Internal Conversion
Il nucleo figlio in un processo di decadimento spesso e’ lasciato in uno stato eccitato e si riporta ( usualmente in circa 10−9s ) allo stato fondamentale con emissione di fotoni gamma. Puo’ tuttavia seguire un’altra strada e cioe’ trasferire l’energia di eccitazione ad un elettrone orbitale (
generalmente della shell K) con la conseguente espulsione dell’elettrone e lasciando l’atomo ionizzato. Lo schema e’ il seguente
IC decay: AZP∗ → [AZP]++0−1e
Nel calcolo del Q-value entra la BE dell’elettrone della shell K, (BEKe ), che e’ fortemente legato, specialmente nei nuclei pesanti.
QIC/c2 = M(AZP∗) − [M([AZP ]+) + me]
≃ {M(AZP ) − E∗/c2} − [{M(AZP ) − me+ BEeK/c2} + me]
= [E∗− BEeK]/c2
L’elettrone emesso e l’atomo ionizzato si dividono l’energia del decadimento. Per la
conservazione del momento zero iniziale i due frammenti sono colineari e in direzione opposte.
Ee = ( M(AZP ) M(AZP ) + me
)[E∗− BEeK] ≃ E∗− BEeK (21)
e
ED = ( me
M(AZP ) + me
)[E∗− BEeK] ≃ 0 (22)
In un processo IC oltre all’elettrone monoenergetico, si ha emissione di una cascata di raggi X ed elettroni Auger per il fatto che la lacuna viene occupata da un elettrone di shell superiore e cosi’
in cascata tutte le shell via via saranno di nuovo occupate.
0.6 Reazioni nucleari binarie
Le reazioni binarie ( vedi sopra) sono le piu’ importanti tra le reazioni nucleari. Tutti i nuclidi con piu’ di qualche protone sono stat creati dalle reazioni binarie nelle stelle e l’energia rilasciata da queste reazioni sono essenziali per la vita. Schematicamente le reazioni binarie sono descritte come
A + B→ C + D + E + · · ·
In tutte le reazioni in cui sono coinvolte solo le forze nucleari sono conservate parecchie quantita’
: l’energia totale, il momento angolare (spin), il momento lineare, la carica, il numero barionico, ed altre quantita’ meccano-quantistiche che in questo contesto non sono considerate.
Sebbene in una reazione binaria i prodotti della reazione possono essere piu’ di due, di gran lunga quelle piu’ frequenti hanno solo due prodotti
x + X → y + Y o semplicemente X(x, y)Y
0.6.1 Meccanismi delle reazioni
Nucleoni o nuclei leggeri con energie cinetiche maggiori di circa 40 MeV hanno lunghezze d’onda di de Broglie comparabili con le dimensioni dei nucleoni in un nucleo targhetta e quindi hanno la possibilita’ di interagire o con un singolo nucleone o con pochi vicini. Questo tipo di reazione e’ chiamata interazione diretta, i rimanenti nucleoni del nucleo targhetta non sono interessati. Questo tipo di reazione e’ anche chiamata interazione periferica.
Se il proiettile ha energia di pochi MeV, la sua lunhezza d’onda di de Broglie e’ grande e
confrontabile con le dimensioni del nucleo per cui l’interazione avverra’ con tutto il nucleo, cioe’
con tutti i nucleoni simultaneamente, formando inizialmente un nucleo composto altamente eccitato. Questo nucleo decade in circa 10−14s dalla sua formazione in uno dei differenti modi possibili con differenti prodotti di reazione.
Nucleo composto
Nelle reazioni nucleari, quando la particella incidente ha pochi MeV di energia cinetica, essa interagisce col nucleo intero, nel senso che viene assorbita e la sua energia cinetica trasferita al nucleo come un tutto. Il nucleo eccitato ha una vita media ( 10−15- 10−13s) molto maggiore della nuclear lifetime, il tempo che impiegherebbe il proiettile ad attraversare il nucleo targhetta che e’
tra 10−21e 10−17s.
Gli stati eccitati del nucleo composto sono chiamatistati virtuali o livelli virtuali perche’ esso decade con emissione di particelle, da distinguersi dagli stati legati del nucleo eccitato che decade solo per emissione di raggiγ.
Reazioni che coinvolgono un nucleo composto sono reazioni che avvengono in due tempi: prima si forma un nucleo eccitato a vita media lunga e successivamente c’e’ il decadimento in due o piu’
prodotti.
x + X → (x + X)∗ → y + Y
A causa della vita media relativamente lunga il nucleo composto si dimentica di come si e’
formato e della direzione della particella incidente, per cui nella disintegrazione i prodotti sono
emessi in tutte le direzioni e i modi di decadimento sono indipendenti da come si e’ formato il nucleo. Questo e’ verificato sperimentalmente, ad es. in questa reazione ( Mayo 1998)
p +63Cu α +60Ni →
64Zn∗ →
63Zn + n
62Cu + n + p
62Zn + 2n
I differenti modi in cui il nucleo composto si disintegra si dicono canali di uscita, la probabilita’
di osservare una particolare uscita e’ indipendente dal modo con cui il nucleo si e’ formato.
0.6.2 Cinematica delle reazioni binarie a due corpi
Dai constraint imposti dalla conservazione dell’energia totale e momento lineare si determinano l’energia e la direzione dei prodotti. Di seguito si assumera’ che il nucleo bersaglio sia a riposo.
Indicando conEil’energia dell’i-esimo nucleo eQ il Q-value, essendo EX = 0, la conservazione dell’energia totale richiede, essendoEX = 0
Ex = Ey+ EY + Q
Per il momento lineare, si deve tener conto che i momenti delle tre particelle, quella incidente e dei due prodotti, debbono giacere su uno stesso piano, quindi
p2Y = p2x+ p2y+ 2pxpycosθy (23) Per particelle non relativistiche si ha chepi =√
2miEiper cui sostituendo si puo’ ricavare l’espressione dell’energia della particella piu’ leggera
pEy =q
mxmyEx
(my+mY)2cosθy ±q
mxmyEx
(my+mY)2cosθy2+ [(mmY−mx
y+mY)Ex+ (mmYQ
y+mY)]
La soluzione ha formapEy = a ±√
a2+ b, da cui si capisce che perpEy possono esserco o zero, una o due soluzioni accettabili, dipendeno dal segno dia2+ b, in ogni caso perche’ una oluzione sia realistica e’ necessario che essa sia reale e positiva. Se(a2+ b < 0) la soluzione e’
non fisica e la reazione non puo’ avvenire. I termini che possono contribuire a rendere la soluzione energeticamente impossibile sono: 1)un valore di Q-value negativo, 2) un proiettile pesante cosicche’mY − mx < 0 e 3) un grande angolo di scattering tale che cosθy < 0.
Reazione esoenergetica ( Q>0) Se Q > 0 e mY > mx, il termine sotto radice e’ sempre positivo e solo la soluzioneEy = (a +√
a2+ b) con il segno + ha significato.
PerEx → 0 la q
Ey →√
b che significa che il Q-value e’ semplicemente la somma delle energie cinetiche dei prodotti,Q = Ey+ EY
Ey → mY
my + mY
Q (24)
Reazioni endoenergetiche (Q<0) Il termine (a2+ b) risulta minore di zero se Q < 0, mY > mx maEx e’ troppo piccolo, in questo caso la reazione non e’ possibile. Al crescere diExpero’ il termine sotto radice diventa positivo, e sono possibili due soluzioni perpEy concosθ > 0.
Questi due valori diEy corrispondono a due gruppi di particelley che sono emesse avanti e indietro nel centro di massa .
Quindi nel caso di reazioni endoenergetiche e’ necessario che la particella incidente abbia un minimo di energia cinetica affinche’ la reazione avvenga, cioe’ prima che il valore diEy abbia significato fisico, questo indica che c’e’ una soglia minima per la reazione, soglia di reazione.
0.6.3 Energia di soglia di reazione
Per le reazioni con Q< 0, o anche per Q > 0 quando mY < mx, la particella incidente deve fornire una certa quantita’ minima di energia Experche’ la reazione avvenga, energia di soglia; ci sono due tipi di energia di soglia di reazione: soglia cinematica e soglia della barriera
Coulombiana.
Soglia cinematica
Per le reazioni endoenergetiche, affinche’ la reazione sia possibile l’energia minima della particella incidente (dalla 24)deve essere tale che
(Ex)θy > mY(my+ mY)Q
(my+ mY)(mY − mx) + mxmycos2θy
(25)
In questa espressione si ha il minimo di enegia quanfo il denominatore ha valore massimo, quindi quandoθy e’ uguale a zero, cosi’ l’energia di soglia cinematica della reazione e’
Exth = − my + mY
my + mY − mx
Q (26)
Nella maggior parte delle reazionimi >> Q/c2,my + mY ≃ mx+ mX emy+ mY − mx ≃ mX per cui si ha la semplificazione:
Exth ≃ −(1 + mx
mX
)Q (27)
La particella finaley e’ emessa dal nucleo composto, alla soglia della reazione, con velocita’
trascurabile; man mano che l’energia della particella incidenteExcresce, la particellamy e’
priettata in avanti con angoloθy con due distinte energie, dettate dal doppio segno±, ma che si riduce al solo termine composto da segno + perExgrande in modo cheEy abbia un valore realistico.
Soglia della barriera coulombiana
Se la particella proiettile incidente e’ un neutrone od un raggio gamma non c’e’ la barriera coulombiana per cui la sola soglia possibile e’ quella cinematica. Per reazioni esoenergetiche (Q > 0), neutroni e fotoni necesitano solo di una energia trascurabile per attivare una reazione, mentre nel caso di(Q < 0) c’e’ l’energia di soglia (27).
Nel caso di un nucleo, (i.e. di H) esso e’ carico positivamente e quindi soggetto alla repulsione coulombiana. Solo se ha energia sufficiente riesce ad arrivare a distanze , ordine del fm, tali che le forze nucleari entrino in gioco e si attivi una reazione nucleare, cio’ indipendentemente dal valore di Q.
La forza repulsivaCoulombiana tra la il proiettile incidentex ( carica ze) e il nucleo bersaglio X(
carica Ze) quando sono separato da una distanzar vale FC = zZe2
4πǫ0r2 (28)
Il lavoro fatto dal proiettile contro il campo elettrico per arrivare ad una distanzab dalla targhetta sara’
WC = − Z b
∞
Fc· dr = −zZe2 4πǫ0
Z dr
r2 = zZe2
4πǫ0b (29)
Il lavoro sara’ fatto a spese dell’energia cinetica del proiettile per lo stesso ammontare. Perche’
avvenga la reazione nucleare il nucleo proiettile ed il nucleo bersaglio debbon essere a distanza della forza nucleare, ordine delf m, per cui sosrtituendo i valori delle costanti perche sia superata la barriera Coulombiana l’energia cinetica del proiettile deve essere
ExC ≃ WC = 1.2 zZ
A1/3x + A1/3X (MeV ) (30) Il lavoro speso si trasforma prima in energia di eccitazione ed energia cinetica di rinculo del nucleo composto successivamente in massa ed energia cinetica dei prodotti di decadimento.
Energia di soglia totale
Ricapitolando, per reazioni con neutri ( neutroni e gamma) non ci sono energie di soglia , per reazioni con nuclei bisogna tener conto del tipo di reazione se e’ endotermica o esotermica. In
generale per queste reazioni si puo’ scrivere la reazione seguente per l’energia minima per innestare la reazione
(Exth)min = max(ExC, Exth). (31) e l’energia cinetica minima dei prodotto tella reazione sara’ data da(Ey+ EY) = Q + (Exth)min.
Reaction Q-value ExC Exth Reaction min(Ey + EY)
Path (MeV) (MeV) (MeV) Condition (MeV)
13C(d, t)12C 1.311 1.994 0 Ex > ExC 3.305
14C(p, n)14N -0.6259 2.111 o.6706 Ex > ExC 3.305
14N(n, α)11B -0.1582 0 0.1695 Ex > Exth 3.305
0.6.4 Applicazioni delle reazioni binarie
Le reazioni binarie sono all’origine di molte applicazioni, tra cui le reazioni per la rivelazione di neutroni o per la produzione di neutroni.
Una reazione per la rivelazione di neutroni
I neutroni non ionizzano direttamente la materia attraversandola, quindi per rivelarli bisogna prima che i neutroni interagiscano con un nucleo e che la reazione produca una particella carica che sara’ rivelata. Una reazione tipica per rivelare neutroni e’ la seguente3He(n, p)3H con un protone nello stato finale. E’ una reazione esoenergetica, con un un Q = 0.764 MeV, che non necessita di soglia Coulombiana.
METTERE FIGURA pag 162
Per neutroni con energia cinetica trascurabile , il protone ed il trizio si suddividono l’energia Q disponibile, il protone acquista un’energia cinetica diEp = 0.573 MeV mentre il nucleo di trizio rincula con un’energia di 0.191 MeV. Al crescere dell’energia del neutrone incidente, si puo’
vedere dalla figura che l’energia del protone diventa lineare, in funzione dell’angolo di scattering.
Una reazione per produzione di neutroni
I neutroni possono essere prodotti in molte reazioni binarie, una di queste ad es. e’ la
7Li(p, n)7Be. Questa e’ una reazione endoenergetica con Q=-1.644 MeV, e quini c’e’ una piccola regione di Ep del protone in cui il neutrone puo’ avere cinematicamente ( vedi eq. 24) due valori di energia.
METTERE FIGURA pag 163
La reazione ha due soglie di energia: la soglia cinematica e Coulombiana, rispettivamente di 1.875 e 1.236 MeV.
