ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 12
MARTINA LANINI
(1) Si dica se i seguenti anelli sono integri e/o unitari e/o commutativi:
(i) Z7[x], (ii)Z15[x], (iii) Mat2×2(Z2), (iv) Mat2×2(2Z), (v)
a 0 0 b
| a, b ∈ R
.
Per ciascun anello unitario si determini inoltre il suo gruppo moltiplica- tivo (cio`e, i suoi elementi invertibili).
(2) Sia Q(√3
2) := {a + b√3 2 + c√3
4 | a, b, c, ∈ Q}.
(a) Si dimostri che Q(√3
2) `e un campo.
(b) Si determinino il nucleo e l’immagine dell’omomorfismo di anelli Q[x] → Q(3
√
2), f 7→ f (3
√ 2)
e si spieghi cosa dice il Teorema di Omomorfismo in questo caso.
(3) Si considerino le coppie J ⊆ R e si dica se J `e un ideale dell’anello R e, in caso di risposta positiva, si descriva l’anello quoziente:
(a) J = {(x, x) | x ∈ Z} ⊂ R = Z × Z;
(b) J = {(2, 0)x + (3, 1)y | x, y ∈ Z} ⊂ R = Z × Z;
(c) J = {(2, 0)x + (2, 1)y | x, y ∈ Z} ⊂ R = Z × Z;
(d) J = {(x, 0, x) | x ∈ Z} ⊂ R = Z × Z × Z;
(e) J = {(0, x, 0) | x ∈ Z} ⊂ R = Z × Z × Z;
(f) J = {f ∈ R[x] | f `e divisibile per x2− 1} ⊂ R = R[x];
(g) J = {f ∈ R[x] | f `e costante } ⊂ R = R[x].
(4) Si verifichi che I = {f ∈ R[x] | f `e divisibile per x2+ 1} `e un ideale di R = R[x] e si verifichi che la funzione
R/I → Mat2×2(R), a + bx + I 7→
a −b
b a
`
e un omomorfismo di anelli. Se ne determinino nucleo e immagine.
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