6 MODELLAZIONE ED ANALISI DELLA STRUTTURA

6 MODELLAZIONE ED ANALISI DELLA STRUTTURA

6.1 Scelta del tipo di analisi

Secondo quanto prescritto dalle NTC 2008 il modello della struttura deve essere tridimensionale e rappresentare in modo adeguato le effettive distribuzioni di massa, rigidezza e resistenza dell'edificio. Gli elementi strutturali secondari e quelli non strutturali possono essere rappresentati unicamente in termini di massa, se possiedono resistenza e rigidezza tali da non influenzare il comportamento del modello.

La valutazione della risposta spettrale di un edificio nei confronti dell'azione sismica può essere effettuata impiegando analisi lineari e analisi non lineari: nel caso in esame, data la scarsa conoscenza delle proprietà meccaniche dei materiali, si è scelto di procedere ad un'analisi lineare. Inoltre data la complessità globale della costruzione, non è stato possibile procedere ad un'analisi statica equivalente, poiché l'edificio non può essere ricondotto ad un oscillatore semplice13_.

Nella presente tesi è stata quindi effettuata un'analisi dinamica lineare (o analisi modale), individuata dalle NTC 2008 come il metodo di analisi lineare di riferimento per determinare gli effetti dell'azione sismica.

L'analisi dinamica lineare consiste:

• nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione (analisi modale);

• nel calcolo degli effetti dell'azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto per ciascuno dei modi di vibrare;

• nella combinazione di questi effetti.

La risposta dinamica di un sistema a molti gradi di libertà (MDOF) è espressa come la sovrapposizione di singole forme modali che costituiscono le oscillazioni periodiche libere del sistema elastico non smorzato, determinate dalla spettro di risposta

13 L'analisi statica equivalente si applica in genere ai soli edifici regolari in pianta ed in elevazione con una massa associata al primo modo di vibrare maggiore o uguale all'85% di quella totale.

di un sistema a un grado di libertà. Gli effetti globali si ottengono combinando in modo opportuno i valori massimi di sollecitazione e spostamenti associati a ciascun modo di vibrare della struttura. La normativa impone di considerare tutti i modi con massa partecipante maggiore del 5% e comunque in numero tale che la massa partecipante sia superiore all' 85% di quella totale.

Per la combinazione degli effetti relativi ai singoli modi deve essere utilizzata una combinazione quadratica (SRSS) degli effetti relativi a ciascun modo, secondo la relazioni riportate di seguito14_.

E=

_

_

Ej: valore dell'effetto relativo al modo j-esimo;

ρij: coefficiente di correlazione tra il modo i-esimo e il modo j-esimo; _ij= 8

2 _ij3/ 2

1_ij[1−_ij24 2_ij] (6.2) ξ: smorzamento viscoso dei modi i-esimo e j-esimo;

βij: rapporto tra l'inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi.

La normativa inoltre impone di tener conto della eccentricità accidentale del centro di massa, mediante l'applicazione di carichi statici costituiti da momenti torcenti dovuti all'eccentricità accidentale del baricentro della masse rispetto alla sua posizione di calcolo.

6.2 Definizione del modello numerico

È stato realizzato un modello numerico ad elementi finiti (FEM) della struttura, impiegando il software SAP 2000 v.11.0

Il metodo FEM prevede la modellazione dei setti murari come elementi finiti 14 NTC 2008 Formule 7.3.3. e 7.3.4.

bidimensionali. In questo caso l'accuratezza del modello dipende dalle dimensioni delle mesh: tanto più piccole esse sono, maggiore è la correttezza dei risultati, ma al contempo aumenta il tempo di calcolo necessario al software.

Le analisi di questo tipo forniscono come risultati mappe dello stato tensionale puntuale delle mesh murarie. Per eseguire le verifiche prescritte dalla normativa è necessario, tramite operazioni di media e integrazione eseguite dal programma, estrapolare i valori delle caratteristiche di sollecitazione relative a una certa sezione.

I setti murari portanti individuati in base al rilievo geometrico e strutturale del fabbrico, sono stati modellati come elementi bidimensionali (shell-thin) di spessore pari a quello effettivo al netto dell'intonaco. I tamponamenti interni realizzati in forati di spessore 10 cm non sono stati inseriti all'interno del modello, tenendo in considerazione il loro contributo in termini di massa. Le nicchie presenti nelle pareti interne dell'edificio, sono state considerate come aperture, essendo lo spessore murario troppo ridotto per essere ritenuto un elemento portante. Le scale sono state inserite come elemento shell-thin al fine di tenere conto del loro contributo sia in termini di massa che di rigidezza. Gli elementi shell sono stati divisi in mesh di dimensioni massime 50x50 cm.

I cordoli di piano, le travi, i pilastri e i travetti della copertura sono stati rappresentati invece, come elementi monodimensionali (frame). I “costoloni” presenti nei corridoi in corrispondenza delle pareti divisorie tra le aule, sono stati anch'essi modellati come elementi frame, presentando una dimensione nettamente maggiore rispetto alle altre due.

Non essendo presente una soletta di ripartizione, il solaio di copertura è stato modellato inserendo i soli travetti in calcestruzzo.

I solai sono stati considerati infinitamente rigidi nel proprio piano; in corrispondenza della loro quota è stato inserito un vincolo interno a diaframma che impone uguali spostamenti e rotazioni nel piano a tutti i punti a cui è applicato. Il contributo in termini di massa dei solai è stato considerato applicando un carico permanente agli elementi su cui esso scarica.

Non avendo ricavato dalle indagini in situ informazioni sufficientemente approfondite, le fondazioni non sono state inserite nel modello. È stata tuttavia considerata l'interazione fra terreno e struttura modellando il terreno come un suolo elastico secondo il modello di Winkler. La costante di sottofondo (k), o costante di Winkler, è il parametro fondamentale che caratterizza il terreno e dipende non solo dalle sue caratteristiche, ma anche dai carichi applicati, dalla forma e della dimensione della fondazione. La costante di sottofondo è stata ricavata in base ai dati ottenuti dalle indagini geotecniche realizzate nel cortile della scuola secondo il programma di Figura 6.1: viste del modello 3D realizzato con il software SAP2000.

Valutazione degli Effetti Locali (VEL) realizzato dalla Regione Toscana15 _{(sondaggio S1} nel comune di Villafranca in Lunigiana).

Sul terreno sono state eseguite sia la prova penetrometrica standard (SPT)16_{, che la} prova Down-Hole17_{. Attraverso i parametri meccanici ricavati dalle due prove, secondo} relazioni fornite dalla letteratura, è stato possibile calcolare la costante di sottofondo del terreno pari a:

K = 191 N/cm3

Per ottenere la rigidezza delle molle in direzione verticale da inserire nel modello si deve moltiplicare la costante di sottofondo per la larghezza della fondazione (b) e 15 Il programma regionale di Valutazione degli Effetti Locali nei centri urbani e per edifici strategici e rilevanti, si colloca nell'ambito della L.R. 30 Luglio 1997 n. 56 e ha riguardato nella fase sperimentale le zone della Lunigiana e della Garfagnana. Il suo obbiettivo è quello di caratterizzare all'interno di ambiti territoriali a scala subcomunale, le aree a comportamento omogeneo sotto il profilo della risposta sismica locale in modo da definire i possibili effetti sui principali centri urbani, con particolare attenzione agli edifici pubblici e strategici.

16 La prova SPT consiste nel misurare il numero di colpi necessari all'infissione di un campionatore standardizzato sotto i colpi di un maglio di peso e volata noti. La prova viene eseguita in situ sul fondo di un foro di sondaggio alla profondità desiderata; si effettuano tre avanzamenti successivi di 15 cm ciascuno, di cui il primo contiene anche l'avanzamento dovuto al peso proprio del maglio. La resistenza alla penetrazione del terreno è data dal numero di colpi necessari a realizzare il secondo e il terzo avanzamento. Se con 100 colpi non è stato raggiunto l'avanzamento di 30 cm, si dice che la prova è andata “a rifiuto” e l'infissione viene sospesa annotando il relativo avanzamento raggiunto. Questa prova, grazie all'attraversamento diretto del terreno, è molto utile per conoscerne la stratigrafia. Inoltre grazie alle formule empiriche fornite dalla letteratura, è possibile ricavare alcuni parametri meccanici del terreno, quali la densità relativa, il modulo elastico, la coesione non drenata, ecc.

17 La prova Down-Hole è finalizzata alla determinazione dei profili delle onde di compressione (P) e di taglio (S) in funzione della profondità. Questa consiste nel produrre sulla superficie una perturbazione grazie a una sorgente meccanica e misurare attraverso due geofoni posti al fondo di un foro, il tempo di arrivo delle onde dirette P e S all'aumentare della profondità. Da questa prova si ricava la velocità di propagazione delle due onde, necessaria per la determinazione della categoria del sottosuolo indicata dalla normativa (per un'applicazione vedi Cap. 6.4.5 )

l'interasse tra i vincoli (i) (tanto più è ridotto l'interasse delle molle, tanto meglio è approssimata la condizione ideale di suolo elastico). La rigidezza nelle direzioni orizzontali è stata stimata pari a un quarto di quella verticale.

b = 0,80 m stimata in base allo spessore dei muri esterni nel seminterrato; i = 0,5 m dimensione massima delle mesh.

k_z=K⋅b⋅i = 76400 kN/m rigidezza della molla in direzione verticale;

k_x=k_y=1

4 kz= 19100 kN/m rigidezza della molla in direzione orizzontale.

6.3 Caratterizzazione meccanica dei materiali

6.3.1 Le murature

Le tipologia delle tessiture murarie sono state rilevate mediante l'esecuzione dei saggi, di cui al capitolo precedente.

In base a quanto rilevato e facendo riferimento alle prescrizioni riportate nella Tabella C8A.2.1, è stata dedotta la resistenza meccanica delle murature da impiegare in sede di verifica. In questa tabella per le diverse tipologie di muratura, sono riportati i valori massimi e minimi di alcuni parametri riferiti a precise condizioni:

• malta di caratteristiche scarse; • assenza di ricorsi;

• paramenti semplicemente accostati o mal collegati; • muratura non consolidata;

• tessitura (nel caso di elementi regolari) a regola d'arte.

Nella Tabella 6.1 sono riportati tali parametri per le tipologie murarie utilizzate nell'edificio oggetto di studio.

Tabella 6.1: stralcio della Tabella C8A.2.1 della C.M. 2/2/2009 n. 617. Sono indicati per le diverse murature i valori massimo e minimo della resistenza media a compressione della muratura (fm), della resistenza media a taglio della muratura (τ0), del valore medio del modulo di elasticità normale (E), del valore medio del modulo di elasticità tangenziale (G) e del peso specifico medio della muratura (w).

TIPOLOGIA MURATURA fm [N/cm2] τ0 [N/cm2] E [N/mm2] G [N/mm2] w [kN/m3]

Muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato spessore e nucleo interno

200 300 3,5 5,1 1020 1440 340 480 20

Muratura in mattoni pieni e malta di calce 240 400 6,0 9,2 1200 1800 400 600 18

Poiché è stato scelto un livello di conoscenza LC2, per le resistenze e i moduli elastici è stata eseguita la media tra il valore massimo e minimo fornito dalla tabella, secondo quanto prescritto dalla normativa.

Nel caso in cui la muratura presenti caratteristiche migliori rispetto a quelle di riferimento della tabella precedente, si applicano dei coefficienti correttivi che migliorano le caratteristiche meccaniche in funzione del tipo di miglioramento, della tipologia muraria e del parametro meccanico stesso. Nel caso in esame, gli elementi migliorativi sono due: la presenza di ricorsi in alcune murature e la presenza di malta di cemento (e non malta di calce) per le murature in laterizio pieno (Tabella 6.2).

Tabella 6.2: coefficienti correttivi estrapolati dalla Tabella C8A.2.2 C.M. 2/2/2009 n.617, da applicare ai vari parametri meccanici in funzione del tipo di miglioramento e della tipologia muraria .

MIGLIORAMENTO fm τ0 E G

Muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato spessore e nucleo interno

RICORSI 1,2 1,2 1 1

Muratura in mattoni pieni e malta di calce

MALTA DI BUONA QUALITÀ 1,5 1,5 1,5 1,5

stato possibile fare riferimento alle tipologie murarie fornite in Tabella C8A.2.1 della C.M. 2/2/2009 n. 617; infatti questi elementi presentano una percentuale di foratura troppo elevata (> 70%) per rientrare nelle categorie indicate dalla normativa. Per tale tipologia di tessitura muraria la letteratura fornisce i seguenti valori massimo e minimo:

fm = 183 ÷ 307 N/cm2 τ0 = 3,5 ÷ 5,5 N/cm2 E = 924 ÷ 1341 N/mm2

Anche in questo caso per ciascun parametro, è stato utilizzato il valore medio dell'intervallo indicato. In Figura 6.2 sono indicati i materiali utilizzati per ciascun setto murario.

Si riportano schematicamente le varie tipologie di tessitura muraria e i corrispondenti valori della caratteristiche meccaniche.

Figura 6.2: nel modello 3D estrapolato dal software SAP2000 sono indicati i materiali dei vari elementi frame e shell

Pareti interne ed esterne dell'ala sud realizzate in muratura costituita da elementi sbozzati in pietra calcarea compatta, legati con malta di scarsa qualità. Non sono presenti ricorsi. La parete è intonacata da ambo i lati.

fm = 2,5 N/mm2 τ0 = 0,043 N/mm2 E = 1230 N/mm2 G = 410 N/mm2 w = 20 kN/m3 t = 45 cm t = 60 cm t = 80 cm UBICAZIONE PT e 1P Seminterrato

Pareti esterne dell'ala nord e divisori tra aule realizzati in muratura costituita da elementi sbozzati in pietra calcarea compatta, legati con malta di scarsa qualità. Sono presenti ricorsi orizzontali costituiti da due file di mattoni in laterizio pieno (5x12x25 cm) a due teste. La parete è intonacata da ambo i lati.

fm = 3 N/mm2 τ0 =0,052 N/mm2 E = 1230 N/mm2 G = 410 N/mm2

w = 20 kN/m3 t = 25 cm t = 45 cm t = 60 cm t = 80 cm UBICAZIONE Divisori tra aule PT e 1P Seminterrato

Muratura costituita da elementi in laterizio pieno (5x12x25 cm) posti per piano (t = 12 cm) o a due teste (t = 25 cm), legati con malta cementizia. Tranne che nel sottotetto le pareti sono intonacate da ambo i lati.

fm = 4,8 N/mm2 τ0 = 0,114 N/mm2

E = 2250 N/mm2 G = 750 N/mm2

w = 18 kN/m3 t = 12 cm t = 25 cm

UBICAZIONE Sottofinestra Porzione parete E2 e sottotetto Muratura costituita da un unico paramento di laterizio forato tipo “occhialoni” di dimensioni 13x23,5x48 cm con foratura > 70% con ricorsi in malta esclusivamente orizzontali (1,5 cm), intonacato da ambo i lati (t = 25 cm).

fm = 2,45 N/mm2 τ0 = 0,045 N/mm2

E = 1133 N/mm2 w = 9,4 kN/m3

UBICAZIONE Parete I1 e porzione al primo piano della parete I4

6.3.2 Travi e pilastri in muratura

laterizi pieni (5x12x25 cm). Solo il “costolone” nell'ala nord è composto da laterizi misti: forati, pieni o tipo “occhialoni” (Figura 5.8). Data la difficoltà nel valutare le caratteristiche meccaniche di un materiale così composto, è stato considerato anch'esso realizzato con laterizi pieni. Le caratteristiche meccaniche utilizzate sono state le stesse indicate nel capitolo precedente.

I pilastrini presenti nel sottotetto a sostegno della falda inferiore, non sono stati considerati portanti, considerando l'inefficacia del collegamento con la copertura (Figura 5.22). Si è comunque tenuto conto della loro presenza in termini di massa, applicando sulle strutture sottostanti un carico concentrato pari al loro peso.

I pilastri hanno le seguenti dimensioni:

• pilastri del sottotetto ala nord: 40x50 cm (superiori) e 50x50 cm (inferiori); • pilastri del sottotetto ala sud: 40x75 cm (superiori) e 50x75 cm (inferiori); • pilastri piano terra e primo piano: 45x45 cm e 45x35 cm;

• “costoloni”: 25x45cm e 25x25cm.

6.3.3 Travi e cordoli in cemento armato

Tutte le travi, i travetti e i cordoli presenti nell'edificio sono realizzati in calcestruzzo. Non essendo stato possibile effettuare delle prove per verificare la qualità di questo materiale, è stato scelto in via cautelativa un calcestruzzo di bassa qualità C16/20 con le seguenti caratteristiche meccaniche18_:

w = 24 kN/m3 _{peso per unità di volume;}

Rck = 20 N/mm2 _{resistenza caratteristica a compressione cubica;} Resistenza caratteristica a compressione cilindrica:

f_ck=0,83 R_ck =16,6 N/mm2 _(6.3)

Resistenza media a trazione semplice per classi ≤ C50/60:

f ctm=0,3 fck2 /3 = 1,33 N/mm2 (6.4)

Resistenza caratteristica a trazione semplice del calcestruzzo:

f_ctk=0,7 f_ctm = 0,9 N/mm2 _(6.5)

Modulo elastico istantaneo del calcestruzzo:

Ecm=22000



10



= 28821 N/mm2 _(6.6)

I cordoli di piano e le travi al piano terra e al primo piano poste in corrispondenza dei “costoloni” o dei pilastri, non sono armate, come è stato possibile vedere nei saggi in situ. Non è stato possibile individuare se sia presente o meno l'armatura nei travetti dei solai e nelle travi del sottotetto. Gli elementi strutturali hanno le seguenti sezioni: • cordoli dei solai: 45x15 cm (primo piano) e 45x36 cm (sottotetto);

• travetto della copertura: 12x16 cm;

• travi di colmo del sottotetto: 40x30 cm (superiore) e 40x43 cm (inferiore) • travi al primo piano e al piano terra: 45x33 cm.

6.4 Analisi dei carichi

Del peso proprio degli elementi strutturali (G1) si è tenuto conto direttamente in fase di modellazione, attribuendo agli elementi portanti un opportuno materiale. Le NTC 2008 definiscono i carichi permanenti non strutturali (G2) come “i carichi non

rimovibili durante il normale esercizio della costruzione”19_{. Questi devono essere} valutati in base alle dimensioni effettive degli elementi in opera e dei pesi dell’unità di 19 Cap. 1.3.3, D.M. 16 Gennaio 2008 “Norme tecniche per le costruzioni”.

volume dei materiali costituenti.

Se il solaio presenta un'opportuna capacità di ripartizione, come avviene nel caso di studio (il solaio è stato considerato rigido nel proprio piano), i carichi permanenti portati ed i carichi variabili possono considerarsi uniformemente distribuiti.

I carichi permanenti portati valutati nel caso in esame sono di seguito descritti. SOLAI DEL PRIMO PIANO E DEL PIANO TERRA

I solai del primo piano e del piano terra sono realizzati in laterocemento 12+4 cm con pignatte e travetti in calcestruzzo. Probabilmente è presente anche un massetto di allettamento di 4 cm per la pavimentazione. Inferiormente il solaio è intonacato. In Tabella 6.3 è riportato il calcolo del carico superficiale.

Tabella 6.3: calcolo del carico superficiale permanente dovuto ai solai del primo piano e del piano terra.

ELEMENTO PESO SPECIFICO

[kN/m3_] SPESSORE [m] PESO/m2 [kN/m2_] Solaio in laterocemento 12+4 cm 0,16 2,23 Massetto di allettamento 21,00 0,04 0,84 Pavimentazione in marmo 22,00 0,02 0,44

Intonaco malta di calce 18,00 0,02 0,36

TOTALE 0,22 3,87

Il carico è stato distribuito linearmente sulle murature portanti in base all'orditura dei solai. Il solaio del piano terra scarica direttamente sul terreno; per questo motivo è stato considerato il carico dovuto al suo peso proprio solo in corrispondenza dei locali del seminterrato.

SOLAIO DEL SOTTOTETTO

Il solaio del sottotetto è realizzato in laterocemento di spessore 16 cm: nell'ala nord è composto da travetti in calcestruzzo e tavelle (con o senza getto di completamento), mentre nell'ala sud è formato da pignatte e travetti (Figura 5.14). Nelle Tabelle 6.4, 6.5 e 6.6 è riportato il calcolo del carico al metro quadro dovuto per le tre tipologie di solaio.

Tabella 6.4: calcolo del carico uniformemente distribuito dovuto al solaio del sottotetto dell'ala sud.

ELEMENTO PESO SPECIFICO

[kN/m3_]

SPESSORE [m]

PESO/m2

[kN/m2_]

Solaio in laterocemento realizzato con pignatte 45x30x16cm e travetti in cls 12x16cm con fondello in laterizio

0,16 1,55 Intonaco con malta di calce 18,00 0,02 0,36

TOTALE 0,18 1,91

Tabella 6.5: calcolo del carico uniformemente distribuito dovuto al solaio del sottotetto dell'ala nord senza getto di completamento.

ELEMENTO PESO SPECIFICO

[kN/m3_]

SPESSORE [m]

PESO/m2

[kN/m2_]

Tavelle in laterizio forato 60x25x4cm 0,04 0,21

Travetti in cls 12x16cm 24,00 0,16 0,92

Intonaco con malta di calce 18,00 0,02 0,36

Tabella 6.6: calcolo del carico uniformemente distribuito dovuto al solaio del sottotetto dell'ala nord con getto di completamento.

ELEMENTO PESO SPECIFICO

[kN/m3_]

SPESSORE [m]

PESO/m2

[kN/m2_]

Tavelle in laterizio forato 60x25x4cm 0,04 0,21

Travetti in cls 12x16cm 24,00 0,16 0,92

Getto di completamento 18,00 0,12 2,16

Intonaco con malta di calce 18,00 0,02 0,36

TOTALE 0,18 3,65

Sulla base dell'orditura dei solai, i carichi sono stati ripartiti sulle murature portanti su cui scaricano.

SOLAIO DI COPERTURA

Sui travetti della copertura gravano i carichi dovuti alle pignatte e al manto di copertura realizzato in coppi e embrici. Il calcolo del carico superficiale dovuto a questi elementi non strutturali è indicato in Tabella 6.7.

Tabella 6.7: carico permanente dovuto agli elementi non strutturali della copertura.

ELEMENTO SPESSORE[m] PESO/m2 _[kN/m2_]

Pignatta in laterizio 45x30x16cm 0,16 0,74

Manto di copertura 0,10 0,71

Moltiplicando per l'interasse tra i travetti si ottiene il carico uniformemente distribuiti da applicare; ovviamente sui travetti esterni agisce la metà del carico.

G2(cop) = 1,448 kN/m2· 0,57 m = 0,825 kN/m travetti interni G2(cop) = 1,448 kN/m2· 0,29 m = 0,413 kN/m travetti esterni COPERTURA DELL'INGRESSO

Sulle travi e le murature laterali dell'ingresso che sporge dal corpo di fabbrica, gravano sia il solaio del primo piano, sia una copertura realizzata in coppi e embrici. Considerando che questi elementi siano realizzati come gli altri descritti nei paragrafi precedenti, in Tabella 6.8 è indicato il calcolo del relativo carico permanente.

Tabella 6.8: calcolo del carico permanente dovuto al solaio e alla copertura che gravano sulla trave e sulle pareti laterali dell'ingresso.

ELEMENTO SPESSORE

[m]

PESO/m2

[kN/m2_]

Solaio in laterocemento 12+4 e massetto di allettamento

4 cm, intonacato inferiormente. 0,16 3,51

Intonaco con malta di calce 0,02 0,36

Copertura realizzata in laterocemento con pignatte 45x30x16cm e travetti in cls 12x16cm con fondello in laterizio

0,16 3,39

Manto di copertura in laterizio realizzato in coppi e

embrici 0,10 0,71

TOTALE 8,10

TAMPONAMENTI INTERNI DEL PRIMO PIANO E DEL PIANO TERRA

I tamponamenti interni non portanti al primo piano e al piano terra si suppongono realizzati in laterizio forato di spessore 8 cm. In Tabella 6.9 è riportato il calcolo del peso proprio di questi divisori.

Tabella 6.9: calcolo del carico permanente dovuto ai tamponamenti interni al primo piano e al piano terra. ELEMENTO PESO/m 2 [kN/m2_] ALTEZZA [m] PESO/m [kN/m]

Tamponamenti interni realizzati da un unico paramento in mattoni forati posti per coltello di 8 cm intonacato da ambo i lati (1 cm).

0,94

1P = 3,72 3,50

PT = 3,78 3,56

Il carico è stato ripartito sulle murature portanti sulla base dell'orditura del solaio. Anche in questo caso per quanto riguarda il piano terra, sono stati considerati solo i carichi gravanti sul solaio dei locali soprastanti il seminterrato.

TAMPONAMENTI ESTERNI DEL SOTTOTETTO

I tamponamenti esterni del sottotetto sono realizzati con un paramento in laterizi 5x12x25 cm posti per piano, intonacati solo dal lato esterno. Questi vanno a chiudere lo spazio tra le due travi di colmo (superiore e inferiore) e hanno un'altezza di 0,68m. Il calcolo del carico permanente è indicato in Tabella 6.10.

Tabella 6.10: calcolo del carico permanente dovuto ai tamponamenti esterni nel sottotetto.

ELEMENTO PESO SPECIFICO

[kN/m3_]

SPESSORE [m]

PESO/m2

[kN/m2_]

Muratura in mattoni pieni 18,00 0,12 2,16

Intonaco 18,00 0,03 2,61

TOTALE 0,15 2,61

Moltiplicando il peso al metro quadro del tamponamento per la sua altezza si trova il carico uniformemente distribuito gravante sulla trave di colmo inferiore:

PILASTRI NON PORTANTI DELLA COPERTURA

I pilastrini non portanti nel sottotetto sono stati schematizzati come un carico puntuale pari al loro peso proprio gravante sulle strutture sottostanti. Il peso specifico dei pilastri dell'ala sud in mattoni semipieni è di 15 kN/m3 20_{. La posizione del carico e il} calcolo della sua entità è riportata in Tabella 6.11.

Tabella 6.11: calcolo del carico dovuto ai pilastri non portanti nel sottotetto.

VOLUME CARICO Lx [m] Ly [m] H [m] [kN] Laterizio semipieno (15 kN/m3₎ 0,75 0,50 2,00 11,25 0,50 0,50 1,47 5,51 0,75 0,50 2,00 11,25 0,50 0,50 1,47 5,51 0,50 0,50 0,85 3,19 1,20 0,25 2,10 9,45 Laterizio pieno (18 kN/m3₎ 0,50 0,38 1,86 6,36 0,50 0,38 1,10 3,76 0,50 0,38 1,86 6,36 0,50 0,38 1,10 3,76 0,50 0,38 1,86 6,36 0,50 0,38 1,10 3,76 6.4.2 Carichi di esercizio

I carichi variabili d'esercizio sono definiti dalla normativa in funzione della destinazione d'uso dell'edificio e del tipo di struttura. Essi sono costituiti da: carichi verticali uniformemente distribuiti (qk); carichi verticali concentrati (Qk) e carichi orizzontali lineari (Hk). Quest'ultimi due devono essere utilizzati solo per verifiche locali. In Tabella 6.12 sono indicati i valori dei carichi considerati.

20 Valore preso dalla Tabella C8A.2.1 per “muratura in mattoni semipieni con malta cementizia” C.M. 2/2/2009 n. 617.

Tabella 6.12: stralcio della Tabella 3.1.II NTC 2008 dei carichi variabili d'esercizio per le categorie

di interesse.

CATEGORIA/AMBIENTE qk [kN/m2]

Cat. C1 Scuole 3,00

Cat. C2 Scale comuni 4,00

Cat. H1 Coperture e sottotetti accessibili per la sola manutenzione 0,50

I carichi superficiali sono stati ripartiti in base all'orditura del solaio sulle murature portanti.

6.4.3 Azione del vento

Il vento, la cui direzione si considera di regola orizzontale, esercita sulle costruzioni azioni che variano nel tempo provocando, in generale, effetti dinamici. Per le costruzioni usuali tali azioni sono convenzionalmente ricondotte alle azioni statiche equivalenti. Queste si traducono in pressioni e depressioni agenti normalmente alle superfici, sia interne che esterne, degli elementi che compongono la costruzione (Cap 3.3 NTC 2008). Per ogni elemento deve essere considerata la condizione più gravosa tra le quattro derivanti da vento proveniente da sinistra (+) o da destra (-) e spirante lungo la direzione X o Y.

La pressione del vento è data da normativa:

p=q_b⋅c_e⋅c_p⋅c_d (6.7)

dove:

qb: pressione cinetica di riferimento; ce: coefficiente di esposizione; cp: coefficiente di forma; cd: coefficiente dinamico.

PRESSIONE CINETICA DI RIFERIMENTO La pressione cinetica di riferimento è data da:

q_b=1 2⋅⋅vb 2 (6.8) dove: ρ = 1,25 kg/m3 _{densità dell'aria;} vb: velocità di riferimento.

La velocità di riferimento si determina in funzione dell'altitudine sul livello del mare del sito dove sorge la costruzione (as):

v_b=v_{b ,0} per as ≤ a0 (6.9)

v_b=v_{b ,0}k_a⋅a_s−a₀ _{per a0 < as ≤ 1500 m (6.10)}

I valori dei parametri necessari alla determinazione di velocità di riferimento sono forniti in Tabella 3.3.I NTC 2008 in funzione della regione in cui è ubicato l'intervento. Considerando che la Toscana rientra in Zona 3, tali valori sono:

vb,0 = 27 m/s a0 = 500 m ka = 0,20 1/s

Poiché as = 310 m s.l.m. Nel caso in esame si rientra nel campo della formula (6.9) e quindi:

vb =27 m/s. qb = 456 N/mq

COEFFICIENTE DI ESPOSIZIONE

Il coefficiente di esposizione dipende dall'altezza sul suolo (z) del punto dell'edificio considerato e dalla categoria di esposizione del sito in cui sorge la costruzione. Tale categoria viene individuata in Figura 3.3.2 NTC 2008 in funzione di: • classe di rugosità del terreno = A (aree urbane in cui almeno il 15% della

superficie sia coperta da edifici la cui altezza media superi i 15m); • zona =3 (Toscana)

• distanza dalla costa = 23 km

Ne risulta che la categoria di esposizione del terreno è la IV. Dalla Tabella 3.3.II NTC 2008 si ricavano i valori dei parametri kr , Z0 e Zmin necessari per determinare il valore del coefficiente di esposizione dato dalle seguenti formule:

ceZ =kr

2

⋅ct⋅ln Z / Z0⋅[7ct⋅ln Z / Z0] per z ≥ zmin (6.11)

c_eZ =c_eZ_min _{per z< zmin (6.12)}

dove: kr = 0,22 Z0 = 0,30 m Zmin = 8 m

ct = 1 coefficiente di topografia (costante per tutte le categorie di esposizione) Dalle formule (6.11) e (6.12) risulta che il coefficiente di esposizione (e quindi di conseguenza anche la pressione del vento p) ha andamento costante fino all'altezza di 8 m dal suolo (ce = 1,63) e poi cresce con andamento non lineare fino al valore massimo in sommità pari a 1,86. A favore di sicurezza è stato considerato:

per z > 8 m ce = ce (max) =1,63 COEFFICIENTE DI FORMA

Questo coefficiente dipende dall'inclinazione degli elementi su cui agisce il vento. Nella sua valutazione si deve considerare la combinazione più gravosa sia della pressione agente sulla superficie esterna, sia della pressione agente sulla superficie interna dell'elemento.

cp=cpecpi (6.13)

dove:

cpi: coefficiente di forma pressione interna.

Per quanto riguarda la pressione esterna, tenendo conto che le pareti verticali sono inclinate di 90° e che i travetti della copertura hanno un angolo con l'orizzontale di circa 22°, sono stati presi i seguenti valori di cpe (Cap. C3.3.10.1 C.M. 2/2/2009 n. 617): • elementi sopravento: α = 90° (α ≥ 60°) → cpe = +0,8

• elementi sopravento: α = 22° (20°< α < 60°)→ cpe = +0,03α -1 = -0,34 • elementi sottovento: α = 90° e 22° → cpe = -0,4

Il coefficiente di forma di pressione interna (cpi) per costruzioni che hanno una parete con aperture di superficie minore di 1/3 di quella totale vale ±0,2 in modo tale da essere sempre a favore di sicurezza. Il fatto che nella parete O2 il rapporto tra superficie aperta e chiusa sia di poco superiore a 1/3, è stato trascurato in considerazione della ridotta estensione di questa parete in relazione all'intero fabbricato.

COEFFICIENTE DINAMICO

Il coefficiente dinamico è stato assunto cautelativamente peri a 1 secondo quanto indicato dalle NTC 2008, in quanto l'edificio è di forma regolare, non ha altezza superiore a 80 m e presenta una tipologia ricorrente.

CALCOLO DELLA PRESSIONE DEL VENTO

Dalla formula (6.7) è stato calcolato per ogni elemento il valore della pressione del vento alle varie altezze. Il vento agisce sulle pareti esterne, sui travetti della copertura e sui pilastri superiori della copertura che sorreggono la trave di colmo. In Tabella 6.13 è indicato il valore del carico dovuto al vento: il segno è concorde con gli assi (nel caso dei travetti il segno meno indica che la forza è rivolta verso l'alto).

Tabella 6.13: calcolo del carico dovuto al vento agente sui vari elementi. Nel caso dei pilastri con (i) si è indicata la larghezza dell'area di interesse di ciascun elemento.

ELEMENTO ALTEZZA SOPRAVENTO SOTTOVENTO

Pareti esterne Z ≤ 8 m ± 0,745 kN/m

2 _{± 0,447 kN/m}2 Z > 8 m ± 0,845 kN/m2 _{± 0,507 kN/m}2 Travetti copertura Z > 8 m - 0,260 kN/m - 0,289 kN/m Pilastri copertura Z > 8 m ± 0,845 · i kN/m ± 0,507 · i kN/m

Il carico lineare agente sui travetti è stato ottenuto moltiplicando quello superficiale per l'interasse degli elementi (0,57 m). Per i travetti esterni il carico è risultato pari alla metà. In Figura 6.3 è rappresentato una schema del carico agente sulle pareti esterne e sugli altri elementi in funzione della direzione del vento.

6.4.4 Il carico neve

Il carico dovuto alla neve sulle coperture è dato al Cap. 3.4.1 NTC 2008 dalla formula:

q_s=₁⋅q_sk⋅C_E⋅C_t (6.14)

dove:

μi : coefficiente di forma della copertura;

qsk : valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo; CE : coefficiente di esposizione;

Ct : coefficiente termico.

Figura 6.3: schema del carico uniformemente distribuito che agisce sulle pareti esterne, sui travetti e sui pilastri della copertura, in condizioni di sopravento e sottovento.

VALORE CARATTERISTICO DI RIFERIMENTO DEL CARICO NEVE AL SUOLO Il valore di qsk per località poste a quota inferiore di 1500 m s.l.m. (come nel caso di analisi) è un valore caratteristico relativo a un tempo di ritorno pari a 50 anni e deve essere calcolato per la zona II (in cui ricade la provincia di Massa Carrara) secondo le seguenti formule:

qsk=1 kN /m2 as ≤ 200m (6.15)

qsk=0,85⋅[1as/481

2

]kN / m2 as > 200m (6.16)

Poiché as = 130 m s.l.m. , si ricade nel campo della formula (6.15). COEFFICIENTE DI ESPOSIZIONE E COEFFICIENTE TERMICO

Il coefficiente di esposizione per aree in cui non è presente una significativa rimozione di neve sulla costruzione prodotta dal vento, a causa del terreno, altre costruzioni o alberi (topografia normale) è pari a 1, secondo quanto indicato dalla Tabella 3.4.I NTC 2008.

Il coefficiente termico che tiene conto della riduzione del carico neve a causa dello scioglimento della stessa per perdita di calore della costruzione, può essere assunto pari a 1 in mancanza di appropriati studi sull'isolamento termico dell'edificio. COEFFICIENTE DI FORMA

Nel caso di tetto a due falde in cui non vi sia impedimento allo scivolare della neve, il coefficiente di forma deve essere assunto non inferiore a 0,8 per qualsiasi inclinazione della falda. Con riferimento alla Figura 6.4 si devono verificare tre diverse condizioni:

• caso I: carico neve in assenza di vento; • casi II e III: carico neve in presenza di vento.

Nel caso di analisi è risultato: qs(μi) = 0,8 kN/m2

qs(0,5 μi) = 0,4 kN/m2

Moltiplicando per l'interasse dei travetti è stato ottenuto il carico lineare da applicare agli elementi. Il carico è stato applicato considerando le combinazioni riportate in Figura 6.5 e valutando la situazione più gravosa.

Figura 6.4: condizioni di carico per copertura a due falde (Figura 3.4.3 NTC 2008).

Per i travetti posti alle estremità il valore del carico è esattamente pari alla metà.

6.4.5 L'azione sismica

Secondo quanto indicato dalla normativa (NTC 2008 Cap. 3.2), la definizione delle azioni sismiche di progetto si basa sulla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione. Nell'analisi modale l'azione sismica viene modellata attraverso lo spettro di risposta elastico in accelerazione. Infatti il sisma è un'azione dinamica che può essere assimilata a “onde” agenti nelle tre direzioni principali (due orizzontali X e Y e una verticale Z). La risposta di un edificio a queste azioni dipende del periodo proprio della struttura e può essere espressa in termini di accelerazione, spostamenti o velocità a cui corrispondono altrettanti spettri. Lo spettro di risposta in termini di accelerazione riporta sull'asse delle ordinate i valori dell'accelerazione massima e sull'asse delle ascisse il periodo (T); a ciascun diagramma spettrale corrisponde un determinato valore dello smorzamento (maggiore è lo smorzamento, minore è l'accelerazione a parità di periodo). Lo spettro di risposta fornito dalla normativa è stato ricavato attraverso lo studio di un gran numero di terremoti, inviluppando i relativi spettri di risposta in modo tale da ottenere una funzione con validità statistica (Figura 6.6). Inoltre lo spettro è normalizzato, ovvero tutte le ordinate sono divise per il valore dell'accelerazione di picco al suolo che coincide con l'ordinata corrispondente a un periodo prossimo a zero. In questo modo tutti gli spettri risposta iniziano con valore unitario e risultano confrontabili tra loro in ampiezza a parità di smorzamento.

Lo spettro di risposta elastico in accelerazione Se(T) è funzione dei seguenti parametri:

• accelerazione orizzontale massima (ag) dipendente dal comune in cui si trova la costruzione;

• periodo di riferimento legato alla vita nominale del fabbricato e alla sua destinazione d'uso;

• probabilità di eccedenza (PVR) dipendente dallo stato limite considerato in sede di verifica;

• categoria del sottosuolo e condizioni topografiche.

Lo spettro di risposta elastico in accelerazione dato dalla normativa è riferito ad uno smorzamento convenzionale del 5% su un sito di riferimento rigido21 _orizzontale. Sia la forma spettrale che il valore di ag variano al variare della probabilità di superamento del periodo di riferimento PVR

Gli spettri di risposta sono due: il primo per le componenti ortogonali indipendenti che descrivono il moto orizzontale, il secondo per la componente che descrive il moto 21 Categoria di sottosuolo A: ammassi rocciosi affioranti o terreni molto rigidi caratterizzati da valori di Vs,30 superiori a 800 m/s, eventualmente comprendenti in superficie uno strato di alterazione, con spessore massimo pari a 3 m (Tabella 3.2.II NTC 2008).

Figura 6.6: esempio dello spettro di risposta elastico fornito dalla normativa ottenuto attraverso l'inviluppo degli spettri di risposta di terremoti reali.

verticale. Quest'ultima nel caso in oggetto non è stata presa in considerazione, poiché la struttura non presenta elementi di grande luce, piani sospesi, strutture spingenti ecc.

Nel grafico dello spettro di risposta si possono individuare tre periodi principali che caratterizzano l'inizio e la fine di un determinato tratto (Figura 6.6):

Periodo corrispondente all'inizio del tratto di spettro ad accelerazione costante:

T_B=Tc

3 = 0,133 s (6.17)

Periodo corrispondente all'inizio del tratto di spettro a velocità costante:

TC=CC⋅TC* = 0,399 s (6.18)

dove:

Cc = 1,417 coefficiente funzione della categoria di sottosuolo;

T*_{c= 0,281 s periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in} accelerazione orizzontale (è dato dalla normativa).

Periodo corrispondente all'inizio del tratto di spettro a spostamento costante:

T_D=4,0⋅ag

g 1,6 = 2,493 s (6.19)

dove:

g: accelerazione di gravità.

Quale che sia la probabilità di superamento considerata, lo spettro di risposta elastico della componente orizzontale è definito dalle seguenti espressioni:

0 ≤ T ≤ TB SeT =ag⋅S⋅⋅F0

[





]





TD ≤ T S_eT =a_g⋅S⋅⋅F₀⋅



T2



dove:

S : coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche:

S=SS⋅ST = 1,183 (6.24)

Ss: coefficiente di amplificazione stratigrafica da valutarsi in funzione della categoria di sottosuolo;

St: coefficiente di amplificazione topografica da valutarsi in funzione della categoria topografica;

η : fattore che altera lo spettro di risposta elastico per i coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali ξ diversi dal 5% mediante la relazione: =



5≥0,55 = 0,667 (6.25)

ξ : è espresso in percentuale e deve essere valutato sulla base di materiali, tipologia strutturale e terreno di fondazione;

F0 = 2,427 fattore che quantifica l'amplificazione spettrale massima, su un sito di riferimento rigido orizzontale ed ha valore minimo pari a 2,2.

TEMPO DI RITORNO E PERICOLOSITÀ SISMICA

In funzione della destinazione d'uso del fabbricato se ne stabilisce la vita nominale e la classe d'uso22_{. Per le opere ordinarie la vita nominale (VN) è maggiore o uguale a 50} anni23_{. Gli edifici scolastici ricadono nella classe III, per i quali si prevedono} affollamenti significati. Il periodo di riferimento dell'azione sismica è dato da:

VR=VN⋅Cu = 75 anni (6.26)

22 Cap. 2.4.1 e 2.4.2 NTC 2008. 23 Tabella 2.4.I NTC 2008.

dove:

Cu = 1,5 per edifici di classe d'uso III24_.

La probabilità di superamento del periodo di riferimento è fornita in Tabella 3.2.I NTC 2008, in funzione dello stato limite a cui si eseguono le verifiche. I quattro stati limite definiti dalla norma25 _{individuano azioni sismiche crescenti che producono un} progressivo danneggiamento del fabbricato.

Per la valutazione della sicurezza sugli edifici esistenti le NTC 2008 prevedono che le verifiche possano essere eseguite per i soli stati limite ultimi, scegliendo indifferentemente lo stato limite di salvaguardia della vita (SLV) o di collasso (SLC). Nel caso in esame le verifiche sono state eseguite allo stato limite di salvaguardia della vita. Questo è definito come lo stato limite in cui “a seguito del terremoto la

costruzione subisce rotture e crolli dei componenti non strutturali ed impiantistici e significativi danni dei componenti strutturali cui si associa una perdita significativa di rigidezza nei confronti delle azioni orizzontali; la costruzione conserva invece una parte della resistenza e rigidezza per azioni verticali e un margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni sismiche orizzontali”26_.

Per lo stato limite di salvaguardia della vita la probabilità di superamento PVR è definita del 10%27_{. In funzione del periodo di riferimento e della probabilità di} superamento si ottiene il periodo di ritorno del sisma, che nel caso in esame è pari a:

T_R= VR

ln 1−PVR

= 712 anni (6.27)

In Figura 6.7 sono indicati i valori del tempo di ritorno (TR) e della probabilità di superamento dell’azione sismica (PT=50) riferito ad un periodo di riferimento.

24 Tabella 2.4.II NTC 2008.

25 Stati limite di esercizio: stato limite di operatività e stato limite di danno.

Stati limite ultimi: stato limite di salvaguardia della vita e stato limite di prevenzione del collasso. 26 Cap. 3.2.1, NTC 2008.

Questo approccio ha portato al superamento della classificazione del territorio italiano in quattro classi, per ciascuna delle quali veniva fornito il valore di ag relativamente a un unico periodo di ritorno pari a 475 anni. È stato creato un reticolo di 10751 nodi (con passo pari a 0,05° in latitudine e longitudine corrispondenti a circa 5,5 km) per ognuno dei quali relativamente a nove valori del periodo di ritorno (da 30 a 2475 anni) sono indicati i valori dei tre parametri ag, F0 e T*C.

Questi tre parametri definiscono lo spettro di risposta elastico in accelerazione riferito a suolo rigido e orizzontale. Per le zone che non coincidono con un punto della griglia è necessario procedere all'interpolazione dei dati relativi ai quattro nodi circostanti.

Il valore dell'accelerazione orizzontale massima nel caso in esame risulta peri a: ag = 0,223 g

Figura 6.7: stralcio della Tabella C8.2 C.M. 2/2/2009 n. 617. Sono indicati il tempo di ritorno (TR) e la probabilità di superamento dell'azione sismica (PT=50) al variare della classe d'uso e dello stato limite di verifica, per opere con vita nominale pari a 50 anni.

EFFETTI LOCALI DI AMPLIFICAZIONE

Per tenere conto delle effettive condizioni del sito in cui sorge il fabbricato che condizionano la risposta sismica locale, è necessario definire la categoria del sottosuolo e le condizioni topografiche.

La categoria del sottosuolo è stata individuata calcolando il valore della velocità equivalente di propagazione delle onde di taglio (VS,30) entro 30 metri di profondità:

VS ,30= 30

∑

hi : spessore (in metri) dell'i-esimo strato compreso nei primi 30 m di profondità; Vs,i : velocità delle onde di taglio nell'i-esimo strato;

Figura 6.8: mappa di pericolosità sismica per il comune di Villafranca in Lunigiana (Fonte: http://esse1-gis.mi.ingv.it)

N: numero di strati compresi nei primo 30 m di profondità.

Dalla prova Down-Hole eseguita in sito (Figura 6.9) si possono ricavare i valori VS,i e hi con cui è stata calcolata la velocità equivalente di propagazione delle onde di taglio (Tabella 6.14).

Tabella 6.14: calcolo della velocità equivalente di propagazione delle onde di taglio attraverso i risultati della prova Down-hole relativa ai primi 30 m di profondità.

PROFONDITÁ [m] hi [m] Vs,i [m/s] hi/Vs,i [1/s]

0 4,50 4,50 195 0,023 4,5 9,00 4,50 300 0,015 9 18,00 9,00 435 0,021 18 25,00 7,00 650 0,011 25 30,00 5,00 615 0,008 Vs,30 = 386 m/s

Figura 6.9: stralcio del certificato di prova Down-Hole eseguito nel cortile della scuola (saggio S1 del comune di Villafranca in Lunigiana) per il Progetto VEL (fonte: www.regione.toscana.it).

La categoria del sottosuolo risulta dalla Tabella 3.2.II NTC 2008 la B: rocce tenere e depositi di terreni a grana grossa molto addensati o terreni a grana fina molto consistenti con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da un graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con la profondità e da valori di Vs,30 compresi tra 360 m/s e 800 m/s (ovvero NSPT,30 > 50 nei terreni a grana grossa e cu,30 > 250 kPa nei terreni a grana fina)28_.

Per la categoria di sottosuolo B il coefficiente di amplificazione stratigrafica (Ss) e il coefficiente Cc valgono rispettivamente:

S_s=1,40−0,40⋅F₀⋅ag

g = 1,183 1,00 ≤ Ss ≤ 1,20 (6.29) Cc=1,10⋅TC

*

−0,20 = 1,417 (6.30)

Per configurazioni superficiali semplici, la categoria topografica è individuata dalla Tabella 3.2.IV NTC 2008. Le superfici pianeggianti, i pendii e i rilievi isolati con inclinazione media inferiore a 15° rientrano nella categoria T1. Per tale categoria il coefficiente di amplificazione topografica vale 1.

RISORSE POST ELASTICHE DELLA STRUTTURA

Lo spettro di risposta così definito non tiene conto delle risorse post elastiche della struttura; in fase di verifica è eccessivo pensare che gli elementi strutturali debbano resistere a azioni di elevata intensità rimanendo in campo elastico. Pur rimanendo nell'ambito di un'analisi lineare, è possibile considerare il contributo post elastico, abbattendo le ordinate spettrali di un fattore di struttura (q), passando quindi dallo spettro di risposta elastico allo spettro di progetto.

Il fattore di struttura permette di tenere conto della capacità dissipativa della struttura e dipende da:

• la tipologia strutturale;

28 NSPT,30: resistenza penetrometrica equivalente relativa ai primi 30 metri di profondità;

• il grado di iperstaticità;

• i criteri di progettazione adottati (regolarità o non regolarità in pianta e in altezza). Per le costruzioni esistenti in muratura, secondo quanto riportato al Cap. C8.7.1.2 C.M. 2/2/2009 n. 617, il coefficiente di struttura per edifici non regolari in altezza vale:

q=1,5u

₁ (6.31)

dove:

αu : moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, il primo pannello murario raggiunge la sua resistenza ultima (a taglio o a pressoflessione);

αi : è il 90% del moltiplicatore di forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, la costruzione raggiunge la massima forza resistente.

Per costruzioni in muratura ordinaria a due o più piani, nel caso di analisi lineare il rapporto tra i due moltiplicatori vale 1,829_{. Per edifici non regolari in pianta la norma} propone di adottare valori di (αu/αi) pari alla media tra 1,0 e il valore determinato in funzione della tipologia costruttiva. Ne risulta quindi:

αu/αi = 1,4

Tuttavia in via cautelativa, dovendo il fattore di struttura essere compreso tra 1,5 e 3 ed essendo nel caso di edifici esistenti, si è scelto di adottare il valore minimo pari a:

q = 1,5

Lo spettro di risposta di progetto per le azioni orizzontali è rappresentato in Figura 6.10.

6.4.6 Effetti di eccentricità accidentale

Per tenere conto degli effetti dell'eccentricità accidentale del centro di massa rispetto alla sua posizione di calcolo, si applicano a ciascun piano30 _{dei momenti torcenti} pari a:

Mtx=+ Fi , x⋅ey [N·m] (6.32)

Mty=+ Fi , y⋅ex [N·m] (6.33)

dove:

Mtx e Mty : momenti torcenti dovuta all'eccentricità del centro di massa nelle due direzioni principali dell'edificio;

ex=5 % Lx [m] eccentricità in direzione X (6.34) ey=5% Ly [m] eccentricità in direzione Y (6.35)

Lx e Ly : lunghezza totale dell'edificio nelle sue direzioni principali;

Fi,x e Fi,y: risultanti orizzontali delle forze agenti nel piano delle due direzioni principali.

30 Il punto di applicazione dei momenti torcenti nel piano del solaio è indifferente dato che questo elemento è stato considerato infinitamente rigido nel suo piano.

Figura 6.10: spettro di risposta di progetto orizzontale e spettro di risposta elastico di riferimento (per suolo rigido orizzontale e smorzamento pari al 5%).

Per ciascuna direzione vale: F_i=F_h⋅z_i⋅ Wi

∑

Wi e Wj :pesi rispettivamente delle masse i-esima e j-esima;

zi e zj : quote rispetto al piano di fondazione delle masse i-esima e j-esima;

Sd(T1;2): l'ordinata dello spettro di risposta di progetto relativamente al primo e secondo modo di vibrare;

W: peso complessivo della costruzione;

λ = 0,85 per costruzioni con almeno 3 orizzontamenti e T1 < 2 TC.

Nel caso di analisi il primo modo di vibrare è in direzione X, mentre il secondo è in direzione Y31_{. Il peso totale della costruzione è di 46681 kN. Il calcolo delle forze Fh} nelle due direzioni principali è indicato in Tabella 6.15.

Tabella 6.15: calcolo della forza Fh nelle due direzioni principali dell'edificio.

DIREZIONE MODO T [s] Sd/g λ Fh [kN]

X 1 0,27059 0,596 0,85 23646

Y 2 0,25799 0,580 0,85 23033

Per il calcolo delle Fi ai vari piani dell'edificio è stata considerata una profondità del piano di posa delle fondazioni pari a 1 m.

I valori dell'eccentricità nelle due direzioni principali sono: ex = 5% 38,22 m = 1,91 m

ey = 5% 37,03 m = 1,85 m

I momenti torcenti da applicare sia con segno positivo che negativo a ciascun piano sono indicati in Tabella 6.16.

Tabella 6.16: calcolo dei momenti torcenti da applicare a ciascun piano del solaio.

DIREZIONE Mt [kN·m]

SOTTOTETTO PRIMO PIANO PIANO TERRA

X 12196 10711 2596

Y 12447 10931 2649

6.5 Combinazioni di carico

Secondo quanto indicato dal Cap. 2.5.3 del NTC 2008, le verifiche agli stati limite sono state eseguite utilizzando le seguenti combinazioni delle azioni:

• combinazione fondamentale allo stato limite ultimo, impiegata per le verifiche ai carichi verticali:

_G1⋅G₁_G2⋅G₂_P⋅P_Q1⋅Q_k1_Q2⋅₀₂⋅Q_k2_Q3⋅₀₃⋅Q_k3... (6.38) • combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio connessi

all'azione sismica (E):

EG₁G₂P₂₁⋅Q_k1₂₂⋅Q_k2... (6.39) dove:

carichi permanenti:

G1: peso proprio di tutti gli elementi strutturali; G2: peso proprio di tutti gli elementi non strutturali; P: pretensione e precompressione;

carichi variabili:

Qk1: azione principale;

Qkj (j=2,3...n): azioni secondarie; coefficienti:

ψ: coefficienti di combinazione.

I valori dei coefficienti di combinazione e dei coefficienti parziali di sicurezza sono dati rispettivamente dalle Tabelle 6.17 e 6.18.

Tabella 6.17: stralcio della Tabella 2.5.I NTC 2008; per ciascuna categoria sono indicati i coefficienti di combinazione per i carichi variabili.

Categoria / Azione variabile Ψ0j Ψ1 Ψ2

Categoria C: ambienti suscettibili di affollamento 0,7 0,7 0,6

Categoria H: coperture 0,0 0,0 0,0

Vento 0,6 0,2 0,0

Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.) 0,5 0,2 0,0

Tabella 6.18: stralcio della Tabella 2.6.I NTC 2008; sono indicati i coefficienti parziali di sicurezza per le azioni allo stato limite STR.

Coefficiente γF A1 STR Carichi permanenti favorevoli

sfavorevoli γG1

1,0 1,3 Carichi permanenti non strutturali favorevoli

sfavorevoli γG2

0,0 1,5 Carichi variabili favorevoli

sfavorevoli γQj

0,0 1,5

L'approccio progettuale utilizzato per le verifiche agli SLU è stato il numero 2 in cui si impiega una sola combinazione dei gruppi di coefficienti parziali riportati per azioni, resistenza dei materiali e resistenza globale dalla colonna A1 della Tabella 6.18.

Le verifiche ai carichi verticali devono essere eseguite considerando di volta in volta come principale una delle azioni variabili (carico di esercizio, neve e vento).

Gli effetti dell'azione sismica sono stati valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenti carichi gravitazionali32_:

32 Nella modellazione con il software SAP2000 è stata definita l'origine di massa associando ai tre carichi i relativi coefficienti indicati nella formula (6.40).

G1G2

∑

Nelle analisi lineari la risposta all'azione sismica può essere calcolata separatamente per ciascuna delle due componenti del moto lungo X o lungo Y. Gli effetti della struttura (sollecitazioni, deformazioni e spostamenti) sono combinati successivamente applicando le seguenti espressioni:

Sisma X + 0,30 Sisma Y −Sisma X + 0,30 Sisma Y (6.41)

Sisma Y + 0,30 Sisma X −Sisma Y + 0,30 Sisma X (6.42)

dove:

SismaX =ExMtx −SismaX =−Ex−Mtx (6.43)

SismaY =EyMty −SismaY =−Ey−Mty (6.44)

Ex e Ey :sono le azioni associate allo spettro di risposta di progetto relativo alle azioni orizzontali.

Risultano in definitiva per ciascuna componente del moto 16 combinazioni di carico per le verifiche sismiche.

6.6 Risultati dell'analisi modale

Attraverso l'analisi modale sono stati individuati i modi propri di vibrare della struttura e i relativi periodi, conformemente a quanto previsto dalle NTC 2008. Sono stati considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque in numero sufficiente ad ottenere una massa partecipante totale maggiore o uguale all'85% di quella dell'edificio. In Tabella 6.19 sono riportate per ciascun modo la massa partecipante relativa, la massa totale e il periodo.

Tabella 6.19: masse partecipanti per ciascun modo di vibrare e relativi periodi. MODO T [S] Mx My ΣMx ΣMy 1 0,32 59,13% 7,29% 59,13% 7,29% 2 0,31 11,78% 62,97% 70,92% 70,26% 3 0,27 6,20% 7,36% 77,11% 77,62% 4 0,14 0,00% 0,22% 77,12% 77,84% 5 0,14 0,16% 0,00% 77,27% 77,84% 6 0,14 0,01% 0,06% 77,28% 77,90% 7 0,13 1,73% 0,02% 79,01% 77,92% 8 0,12 5,17% 1,20% 84,18% 79,12% 9 0,12 1,77% 5,18% 85,95% 84,30% 10 0,12 0,23% 2,52% 86,18% 86,82%

Per raggiungere l' 85% della massa totale sia per la direzione X che Y è necessario considerare i primi 10 modi. Come ci si aspettava, i periodi risultano piuttosto bassi, essendo la struttura in muratura abbastanza rigida.

Come anticipato nel Cap. 6.4.6 al primo modo di vibrare è associato un moto di traslazione lungo X (infatti la massa Mx partecipante risulta nettamente maggiore rispetto alla massa My), mentre al secondo modo di vibrare una traslazione in direzione Figura 6.11: viste 3D dei primi due modi di vibrare elaborate dal software SAP2000.

Y (My >> Mx). Al terzo modo di vibrare corrisponde una forma modale di tipo torsionale dell'intero edificio (Figure 6.11 e 6.12).

All'ottavo e al nono modo sono associate masse superiori al 5%: entrano infatti in gioco effetti locali relativi agli elementi del sottotetto.