CAPITOLO IV
RISULTATI
In quest’ultimo capitolo saranno presentati i risultati ottenuti durante il lavoro di tesi: la scelta del modello che meglio interpreta la dinamica del processo, tra i modelli presentati precedentemente, la scelta dell’ordine del modello scelto e in conclusione le curve risultanti dopo il processo di filtraggio, con le varie condizioni di rumore descritte nel capitolo precedente.
Nell’ultima sezione viene effettuata la verifica della bontà della stima dei parametri cinetici del modello compartimentale, utilizzando i modelli ARMAX seguendo l’approccio già descritto, dalle curve filtrate.
L’estrazione, il filtraggio e la stima parametrica è avvenuta utilizzando l’ambiente per il calcolo numerico e l'analisi statistica MATLAB (abbreviazione di Matrix Laboratory).
4.1 Modelli in MATLAB
In MATLAB la stima dei parametri del modello ARMAX avviene in modo molto semplice:
sys = armax(data,[na nb nc nk])
dove gli ingressi sono data, un oggetto iddata costituito dalle curve ingresso-uscita, e [na nb nc nk], che rappresentato rispettivamente ordine del polinomio A(z), B(z) +1, C(z) ed infine un eventuale ritardo ingresso-uscita.
L’uscita è un idpoly, un sistema tempo discreto naturalmente costituito dai parametri individuati. L’individuazione del modello avviene attraverso iterazioni minimizzando l’errore quadratico di predizione.
In ugual modo possono essere stimati i parametri del modello ARMA ma inserendo in ingresso solamente la curva di output e quindi ponendo l’ingresso esogeno, u(t), pari a zero.
sys = arx(data,[na nb nk])
quindi non deve essere inserito l’ordine del polinomio C(z), come per definizione. Inoltre anche in questo caso se poniamo a zero l’input otteniamo la stima del modello AR.
4.2 System Identification Tool
In questo studio è stato anche utilizzato un toolbox disponibile in MATLAB, System Identification Tool, con il quale può essere stimato in modo molto veloce qualsiasi modello ed analizzare l’uscita. Ident è una GUI (graphical user interface) del System Identification Toolbox, che permette di costruire modelli di sistemi dinamici dalla misurazione di dati di input/output.
Caratteristiche chiave del toolbox:
identificazione di modelli lineari non lineari da un data set appartenente al dominio del tempo o della frequenza.
semplice identificazione di modelli a tempo continuo di primo, secondo, terzo ordine. fornisce strumenti per il detrending, filtraggio e ricostruzione dei dati mancanti. sono disponibili blocchi simulink per la simulazione dei modelli identificati. è possibile trasferire i dati da/al workspace di matlab.
L’identificazione di un modello con la GUI avviene per mezzo dei seguenti passi:
Importazione dati nella GUI.
Analisi e Preprocessing dei dati (preparazione dei dati alla stima). Stima dei modelli basati sul data-set.
Analisi dei modelli.
Una volta importati i dati, è possibile preprocessarli, trascinando un data set all’interno del riquadro, working data; aprendo il menu a tendina “<--Preprocess” è possibile scegliere le operazioni da compiere sui dati per prepararli alla stima.
Dopo l’eventuale preprocessing dell’iddata può essere scelto che tipo di modello stimare, l’ordine dei polinomi, lo stato iniziale, il ritardo dell’ingresso e cosi via. Aprendo il menu a tendina “Estimate–>” è possibile stimare i parametri del modello scelto, il quale ad operazione compiuta verrà automaticamente trasferito nell’output dove è possibile validarlo e confrontarlo con gli altri modelli ritenuti più opportuni all’identificazione del processo.
Stimati i parametri del modello possiamo visualizzare l’uscita di quest’ultimo ed analizzare anche l’autocorrelazione dei residui e la crosscorrelazione tra l’uscita e l’ingresso.
4.3 Scelta del modello
Il primo passo di questo lavoro è stato scegliere il modello da utilizzare per effettuare il filtraggio delle curve tempo-attività ottenute dalle immagini PET. Sono stati applicati i modelli AR, MA, ARMA, ARX e ARMAX, presentati precedentemente.
La scelta dell’ordine del modello deve essere effettuata in modo molto accurato poiché il modello non deve effettuare un fitting pari la 100% poichè otterremmo ancora rumore nella curva di output. Le curve utilizzate sono curve TAC alle quali è stato aggiunto rumore gaussiano, con deviazione standard crescente 5% e 10% il valore massimo della curva, e rumore di Logan, come descritto nel capitolo precedente.
Per verificare con precisione le performance di ogni modello, la ricerca dell’ordine dei polinomi è avvenuta confrontando la curva di output con la curva TAC non rumorosa. Quindi per ogni modello sono stati stimati i parametri variando l’ordine dei polinomi ed è stato preso il caso migliore di filtraggio.
4.4 Rumore gaussiano con deviazione standard del 5%
In questo paragrafo faremo un confronto tra i risultati ottenuti con i diversi modelli sulle curve tempo-attività affette da rumore gaussiano con deviazione standard pari al 5% del massimo del segnale. Nel caso degli ARMAX e ARX, come ingresso esogeno è stata utilizzata l’input function.
Nelle figure successive sono rappresentate gli output dei modelli presi in considerazione, sovrapposte alle curve di input. I primi modelli presi in considerazione sono i modelli autoregressivi, AR e ARX stimato seguendo il criterio di Akaike.
Questo criterio, come spiegato precedentemente, serve per l’individuazione del modello ottimo; nel System identification tool, nel caso di AR e ARX, è molto semplice da utilizzare, basta scegliere l’opzione per la scelta del modello ottimo, e avremo una rappresentazione grafica del valore del criterio associato ad ogni modello di ordine crescente.
In questo modo sarà il sistema a consigliare quale ordine del modello utilizzare, come rappresentato nella figure precedente.
Nel caso successivo prenderemo in considerazione gli ARX, sarà sempre riportato il filtraggio migliore delle curve prese in considerazione, utilizzando anche in questo caso il criterio di Akaike.
Dopo aver considerato i modelli autoregressivi, costituiti da solo poli, adesso utilizziamo i modelli misti, autoregressivi e a media mobile, ARMA e ARMAX. In questo caso si rende necessario applicare manualmente il criterio FPE, Final Prediction error, quindi si è considerato un massimo di 10 poli e 10 zeri ed è stato individuato il caso migliore, tra tutti i modelli considerati.
Nella figure successive sono rappresentate le due matrici (la prima per gli ARMA la seconda per gli ARMAX), dove ogni punto corrisponde ad un modello, e il valore corrisponderà al FPE; naturalmente prendiamo il primo minimo che coincide con il modello ottimo.
Come si evince dalla figura nel caso degli ARMA dobbiamo utilizzare 2 poli e 2 zeri, mentre nel caso degli ARMAX usiamo 2 poli e uno zero.
Una volta presi in considerazione tutti i modelli, possiamo vedere dalle figure riportate in questo paragrafo come i modelli autoregressivi e a media mobile, garantiscono un filtraggio migliore rispetto ai modelli a solo poli; inoltre confrontando gli ARMA e gli ARMAX, con la seconda tipologia di modelli otteniamo un ottimo filtraggio ma con un ordine del polinomio del numeratore inferiore.
4.5 Rumore gaussiano con deviazione standard del 10%
In questo paragrafo prendiamo in considerazione le curve tempo-attività affette da rumore gaussiano con deviazione standard pari al 10% del massimo del segnale. Anche in questo caso l’ingresso esogeno è rappresentato dall’input function.
Come nel caso precedente consideriamo prima i modelli autoregressivi con solo poli, utilizzando il criterio di Akaike all’interno del System identification tool, come riportato a titolo di esempio per gli AR.
Come di vede dalle figure precedenti aumentando la deviazione standard del rumore sia i modelli AR che i modelli ARX non riescono a filtrare il rumore correttamente quindi anche le curve di output sono corrotte dal rumore gaussiano.
Per quanto riguarda i modelli misti, come nel paragrafo precedente, il modello ottimo sarà calcolato con il criterio FPE, Final Prediction Error; le curve di output sono riportate nelle figure successive.
Dalle curve di output si può evincere come i modelli misti, autoregressivi e a media mobile, sono più adatti al filtraggio delle curve tempo-attività, in quanto nelle simulazioni effettuate riesco a rimuovere il rumore in modo efficiente. Inoltre tra i modelli misti si può notare che l’utilizzo degli ARMAX comporta un netto miglioramento del rapporto segnale rumore, quindi da adesso in poi useremo solo quest’ultima tipologia di modelli, per effettuare il filtraggio delle TAC.
In conclusione, il modello ARMAX è stato scelto ed applicato alle TAC estratte dalla serie di immagini PET, poiché negli altri modelli presi in analisi nella maggior parte dei casi la curva di output contiene ancora rumore.
4.6 Filtraggio curve da fantoccio con rumore di Logan
Il modello scelto è stato utilizzato per filtrare le curve ottenute dal volume di dati, contenente 100 immagini PET acquisite ad istanti temporali successivi. Come spiegato precedentemente alle curve è stato applicato un modello di rumore che riproduce gli artefatti che affettano le TAC, il rumore di Logan.
Il modello utilizzato è l’ARMAX mentre l’ordine del modello viene scelto in maniere automatica, come visto nell’esempio precedente, utilizzando il criterio FPE. Nella figura successiva vediamo, a titolo di esempio, una curva tempo attività.
Nella figura sono rappresentate tre curve: rumorosa, non rumorosa, ed infine la curva in uscita dal sistema di filtraggio. Come si evince dalla figura il sistema di filtraggio riesce a rimuovere il rumore e riottenere la curva non corrotta. Con il filtraggio temporale proposto, anche le immagini filtrate saranno con rumore ridotto; infatti nelle figure successive sono riportate le immagini di tre istanti temporali diversi.
Come si evince dalle immagini precedenti anche nelle singole slice si ha una netta riduzione del rumore; questo può essere dedotto, anche, dal grafico successivo che rappresenta il rapporto segnale di una ROI all’interno dell’immagine nei vari istanti temporali.
Il degrado dell’ SNR introdotto dal rumore viene rimosso dal sistema di filtraggio, quindi si ha un netto miglioramento della qualità dell’immagine, e quindi dell’informazione contenuta.
4.7 Stima parametri cinetici
In quest’ultimo paragrafo applicheremo il metodo per la stima dei parametri cinetici del modello compartimentale, utilizzando i coefficienti del modello ARMAX, calcolati sulle curve ottenute dal modello 4K a tre compartimenti, implementato con il toolbox di MATLAB Simbiology.
L’obiettivo di questa sezione è andare a verificare che il sistema di filtraggio proposto rimuovendo il rumore non alteri le informazioni intrinseche e quindi non modifichi i parametri cinetici stimati. Le curve risultanti con questi parametri sono state utilizzate per ottenere il fantoccio toracico, quindi abbiamo quattro tessuti: muscolo, osso, polmone e lesione.
Nella tabella successiva sono riportate le costanti cinetiche stimate, utilizzando i coefficienti del modello ARMAX, ottenute dalle TAC non rumorose; i valori rappresentano le medie dei parametri stimati su 50 simulazioni, non è stata riportata la varianza poiché è prossima a zero.
K1 K2 K3 K4
Muscolo 0,0013 0,1842 0,2897 0,2836
Osso 0,0074 0,0513 0,9082 1,3368
Polmone 0,0003 0,1842 0,2897 0,2836
Lesione 0,0078 0,0690 0,5249 0,9732
L’algoritmo è stato applicato anche alle curve con sovrapposto del rumore gaussiano bianco con 1% e 5% di deviazione standard. I risultati ottenuti sono riportati nelle tabelle successive, dalle quali si può evincere come l’introduzione del rumore discosta i parametri stimati da quelli veri ed aumenta anche la varianza degli stessi.
1 % K1 K2 K3 K4
Muscolo 0,0865 (0.1910) 0,1851 (0.1452) 0,3396 (0.1712) 0,2690 (0.0369) Osso 0,0210 (0.0188) 0,1174 (0.0456) 0,6229 (0.8197) 0,6623 (0.9652) Polmone 0,0140 (0.0246) 0,1272 (0.0547) 0,2033 (0.2802) 0,5176 (0.3017)
Lesione 4,0147 (5.3878) 0,1144 (0.0359) 0,2495 (0.2040) 0,5946 (0.2636) 5 % K1 K2 K3 K4 Muscolo 0,0804 (0.0769) 0,1478 (0.0297) 0,3062 (0.0991) 0,3623 (0.2069) Osso 0,4961 (1.6101) 0,1264 (0.0370) 0,3686 (0.3497) 0,4903 (0.4537) Polmone 0,3724 (1.9211) 0,1509 (0.0179) 0,2355 (0.1131) 0,3364 (0.0939) Lesione 8,2148 (16.4036) 0,1453 (0.0269) 0,2260 (0.1284) 0,3856 (0.1584)
Un modo per stimare i parametri come nel primo caso affrontato, è andare a filtrare le curve con il sistema di filtraggio proposto precedentemente quindi utilizzando i modelli ARMAX. Nelle figure successive sono riportate le curve pre e post filtraggio; come si può dedurre il nostro sistema riesce a rimuovere il rumore introdotto.
Una volta filtrate possiamo stimare i parametri cinetici in modo analogo ai casi precedenti. filtrate K1 K2 K3 K4 Muscolo 0,0185 0,1423 0,1315 0,4054 Osso 0,0076 0,0517 0,8998 1,3287 Polmone 0,0049 0,1423 0,1316 0,4054 Lesione 0,0079 0,0692 0,5220 0,9704
Effettuando un confronto si può dedurre che i parametri stimati sono analoghi al caso delle curve tempo-attività non rumorose, quindi il sistema di filtraggio non corrompe le informazioni intrinseche e quindi i parametri fisiologici non vengono alterati.
K1 non rumorose K1 filtrata K2 non rumorose K2 filtrata K3 non rumorose K3 filtrata K4 non rumorose K4 filtrata Muscolo 0,0013 0.0185 0,1842 0.1423 0,2897 0.1315 0,2836 0.4054 Osso 0,0074 0.0076 0,0513 0.0517 0,9082 0.8998 1,3368 1.3287 Polmone 0,0003 0.0049 0,1842 0.1823 0,2897 0.1316 0,2836 0.4054 Lesione 0,0078 0.0079 0,0690 0.0690 0,5249 0.5220 0,9732 0.9704
In conclusione per la stima dei parametri cinetici da curve tempo-attività rumorose è necessario utilizzare un sistema di filtraggio temporale, come quello basato sui modelli misti, proposto in questo lavoro di tesi.
