Capitolo 2: Metodi Analitici per il calcolo del VaR

Capitolo 2: Metodi Analitici per il calcolo del VaR

Quando si considerano degli asset il cui VaR può essere calcolato direttamente dalla distribuzione degli asset stessi si possono utilizzare metodi non parametrici, di cui il più usato è la Simulazione Storica, in cui non vengono sfruttati modelli statistici ne particolari parametri, e parametrici, come Moving Average, Exponentially Weighted Moving Average e GARCH, che invece si basano sulla stima della distribuzione sottostante dei rendimenti.

Quando invece si vuole stimare il Value at Risk di asset come opzioni ed obbligazioni il procedimento è diverso, poiché il valore intrinseco di questi asset cambia con il passare del tempo; le principali difficoltà in tale calcolo derivano dalla difficoltà di stima della deviazione standard dei rendimenti di una opzione / obbligazione, per cui si deve fare affidamento su una trasformazione dal fattore di rischio di riferimento al rischio dell' opzione o dell' obbligazione. I due approcci principali a questa trasformazione sono i Metodi Analitici ed il Metodo Montecarlo.

2.1 Obbligazioni

Una obbligazione è uno strumento a reddito fisso che prevede il pagamento da parte dell' emittente di interessi a scadenze regolari (le cedole), e la restituzione all'obbligazionista del capitale alla data di scadenza. Per adesso, si assuma che la curva dei rendimenti sia piatta, così che il tasso di interesse r sia lo stesso per ogni scadenza. Il prezzo di tale strumento corrisponde al valore attuale dei flussi di cassa, cioè il pagamento delle cedole, e l' ultimo pagamento comprende anche il capitale: P=g (r ,t)=

∑

interesse e tempo; visto che adesso si considera unicamente r, la funzione viene denotata come g(r).

Ciò che interessa è riuscire a mettere in relazione la casualità insita nei tassi di interesse con il rischio dell'obbligazione; solitamente servirebbe anche il rischio di default dell'obbligazione, ma qua viene ignorato, poiché si assume che tale titolo sia emesso da un ente privo di rischio. Il problema più grande nell'analisi del rischio di una obbligazione è che una variazione simmetrica del tasso di interesse si riflette in una variazione asimmetrica del prezzo dell'obbligazione. 2.2 Duration Normal VaR

Dunque, per accertare la sensitività del prezzo della obbligazione come funzione della sensibilità dei tassi di interesse viene utilizzata la Duration Modificata Dm. Quindi, partendo dalla formula (2.1), cioè g(r), si considera l' impatto di una piccola variazione del tasso di interesse r, e si può esprimere tale impatto come una funzione della derivata prima di g(r):

g(r+dr)≈ g (r)+(dr) g ' (r) (2.2)

La Duration Modificata è definita come il rapporto tra la derivata prima g'(r) ed i prezzi, a cui si applica un segno negativo:

Dm=−1

P g '(r) (2.3)

Quindi il primo passo da effettuare nel calcolo del VaR per una obbligazione è definire le variazioni della distribuzione dei tassi di interesse; si assume che esse siano definite con

rt−rt−1=dr∼N (0 , σr

2

) (2.4)

prezzi delle obbligazioni, da cui si definisce la distribuzione dei rendimenti di queste ultime:

RObbl∼N (0 ,(Dm σr)

2

) (2.5) Da cui deriva direttamente il Value At Risk:

VaR_Obbl( p)≈ Dm×σr×γ( p)×ϑ (2.6)

dove il livello di significatività è la distribuzione normale inversa per la probabilità p, cioè

γ( p)=Φ−1( p) (2.7) L' accuratezza di queste approssimazioni dipende dalla grandezza della Duration e dall' orizzonte temporale del VaR, e le principali fonti di errore sono l' assunzione di linearità ed una curva dei rendimenti piatta. Le problematiche relative al Duration Normal VaR vengono dimostrate attraverso la Fig 2.1. e la Fig 2.2.

Fig 2.2. Errore per vari livelli di volatilità del Duration Normal VaR

La Fig 2.1. presenta il rapporto tra prezzo e rendimento per due obbligazioni, entrambe con valore nominale pari a 1000 $ e cedola pari a 50$, ma una con scadenza di 1 anno, l'altra di 50 anni. Dalla figura emerge che l' approssimazione della Duration è abbastanza accurata per l' obbligazione con scadenza vicina nel tempo (nel nostro caso 1 anno), mentre per quella con scadenza più lontana tale approssimazione non è precisa. Quindi, quando si calcola il VaR con metodi che si basano sull'approssimazione del Duration Normal VaR, la scadenza incide profondamente sull'accuratezza del calcolo.

Il secondo elemento che incide sull'accuratezza dell'approssimazione è la volatilità delle variazioni dei tassi di interesse; l' errore da essa prodotto viene rappresentato nella Fig 2.2. ed è calcolato tramite il rapporto tra l' indicatore “True” VaR, calcolato attraverso la Simulazione Montecarlo, ed il Duration Normal VaR. Facendo aumentare la scadenza dell' obbligazione da 1 a 60 anni e la volatilità da 0.1% fino a 2%, si osserva che la qualità dell'approssimazione è elevata per bassi livelli di volatilità, mentre decresce per livelli alti.

Di conseguenza questa approssimazione è accurata per obbligazioni con scadenza vicina nel tempo e bassa volatilità.

2.3 Opzioni

Una Opzione è un contratto che da il diritto a chi la possiede, ma non l' obbligo, di comprare (Call) o vendere (Put) un asset sottostante ad una data futura prestabilita ed ad un prezzo prestabilito, chiamato Strike Price. Se l' opzione può essere esercitata solo a scadenza si parla di Opzioni Europee, mentre, se possono essere esercitate in qualsiasi momento, si parla di Opzioni Americane.

Nel caso in cui si stia considerando un' opzione call europea, l' investitore può esercitarla solamente a scadenza; se in tale data il prezzo del sottostante è minore dello strike price, l' opzione non viene esercitata, per cui l' investitore perde l' investimento effettuato. In caso contrario, cioè se il prezzo del sottostante è maggiore dello strike, l' opzione verrà esercitata e l' investitore realizzerà un profitto.

FIG 2.3. profitto derivante dall' acquisto di un' opzione call europea, con P=5$ X=100$.

Qualora si consideri, invece, un' opzione put, l' investitore spera che il prezzo del sottostante diminuisca di valore; infatti eserciterà, realizzando un profitto, se tale prezzo è minore dello strike price, mentre non esercita in caso contrario, realizzando una perdita pari al prezzo dell' opzione.

Per ognuna di queste tipologie di opzione si possono assumere due posizioni: • Long, cioè si acquista l' opzione.

• Short, cioè si vende l' opzione. Il soggetto in questa posizione prende il nome di writer.

FIG 2.4. profitto derivante dall' acquisto di un' opzione put europea, con P=7$ X=70$.

Il writer riceve, a seguito della vendita dell' opzione, il premio versato dal compratore, ma in futuro può subire una perdita, poiché il suo profitto è l' inverso di quello dell'acquirente dell'opzione stessa.

FIG 2.5. profitto del venditore di un' opzione call europea con P=5$ e X=100

Ci sono 4 tipi di posizioni sulle opzioni: • Posizione long su un' opzione call • Posizione short su un' opzione call • Posizione long su un' opzione put • Posizione short su un' opzione put

FIG 2.7. Payoff nelle varie posizioni: (a) long su call, (b) short su call, (c) long su put, (d) short su put

Il payoff derivante da una posizione long su un' opzione call europea corrisponde allora a max(ST− K ,0) , mentre quello di una posizione short sulla stessa opzione corrisponde a −max (ST−K ,0)=min(ST−K ,0) . Viceversa, il payoff derivante da una posizione long su un' opzione put europea corrisponde a

max( K −ST,0) , mentre quello derivante da una posizione short sulla stessa opzione è −max ( K −ST,0)=min( K−ST,0) .

Ponendo l' attenzione su un' opzione europea, poiché è la più semplice (l'analisi può poi essere estesa anche ad altre varianti), il suo prezzo viene calcolato attraverso l' equazione di Black and Scholes. Questa si basa su alcune assunzioni:

• Il prezzo del sottostante segue una distribuzione lognormale, con media e varianza costanti.

• Le vendite allo scoperto sono permesse, e non esistono restrizioni all'utilizzo dei relativi proventi.

• Non esistono costi di transazione ne tasse, ed i titoli sono perfettamente divisibili.

• Il sottostante non paga dividendi durante la vita del derivato.

• Il tasso di interesse free risk a breve è lo stesso per tutte le scadenze.

Putt= X e−r (T −t)−Pt+Callt (2.8)

Callt=PtΦ(d1)−X e −r (T −t)

Φ(d2) (2.9)

dove d1 e d2 sono identificati come

d₁=log(Pt/ X )+(r+σa 2 / 2)(T −t ) σ_a

√

√

√

Pt è il prezzo dell' asset sottostante al tempo t misurato in anni, X è lo strike price, r è il tasso di interesse privo di rischio annuale, T è la scadenza, σa è la volatilità annuale del bene sottostante e Φ è la distribuzione normale standard. Dunque ci riferiamo alla funzione del prezzo g(.), e con g si denota sia l' opzione Call che l' opzione Put. Il valore di un' opzione dipende da diversi fattori del sottostante; comunque, sotto le assunzioni di Black and Scholes, i beni sottostanti hanno rendimenti IID normali continui, con la relativa curva piatta e non casuale. Di conseguenza, per il calcolo del VaR, l' unico fattore di rischio rilevante è il prezzo P. Per definire tale rischiosità all'interno di un' opzione si utilizzano le greche, in particolare il Delta ed il Gamma.

2.3.1 Delta

Il Delta è definito come derivata prima del prezzo dell' opzione rispetto al prezzo del sottostante, cioè

∆=∂ g( p)

∂ P ={

Φd₁>0Call

Φd₁−1<0 Put} (2.12)

Il Delta corrisponde a ±1 per le opzioni Deep In The Money, a seconda che si tratti di una Call o di una Put, a ±0.5 per le opzioni At The Money ed a 0 per le opzioni Deep Out Of The Money.

Dunque, per piccole variazioni di P, il prezzo dell' opzione varierà approssimativamente di ∆; la approssimazione è molto buona per beni il cui prezzo è vicino a quello a cui il ∆ è stato calcolato, poi peggiora man mano che ci si allontana da tale prezzo. Questa situazione viene illustrata dalla Fig 2.8.(a) ed (b), le quali appunto mostrano il prezzo di una opzione Call per una serie di strike price; in entrambi i grafici viene mostrato il prezzo alla scadenza, ma nel grafico (a) viene mostrato anche il prezzo ad un mese dalla scadenza, mentre nel (b) a sei mesi dalla scadenza.

Fig 2.8. Opzione Call e Delta, con X=100, r = 0.01 e σ = 0.2

In entrambe le figure il Delta viene calcolato quando l' opzione è At The Money, e viene mostrata la tangente in quel punto. L' approssimazione del Delta è più

accurata per scadenze dell' opzione più lontane nel tempo, e quando l' opzione è Deep In oppure Out The Money.

2.3.2 Gamma

Il Gamma corrisponde alla derivata seconda della funzione di prezzo g(p) rispetto al prezzo del sottostante, cioè

Γ=∂2g

∂ P2=e

−r (T −t) ϕ(d1)

Ptσa

√

(2.13)

Graficamente, si osserva considerando il payoff dell' opzione della Fig 2.8.(a) nella Fig 2.9.

Fig 2.9. Gamma per il payoff dell' opzione nella Fig 2.8.(a)

Si vede dunque che il Gamma è massimo quando l' opzione è Out Of The Money, e diminuisce man mano che il prezzo dell' opzione si allontana dallo strike price. 2.4 Delta Normal Value At Risk

E' possibile utilizzare il Delta per approssimare le variazioni di prezzo delle opzioni come funzioni delle variazioni di prezzo del sottostante. Definendo le

variazioni di prezzo giornaliere delle azioni

dP=Pt−Pt−1 (2.14)

la variazione di prezzo dP implica che il prezzo dell' opzione varierà approssimativamente di

dg=gt−gt−1≈∆ dP=∆( Pt−Pt−1) (2.15)

dove ∆ è il delta dell' opzione al periodo t-1, e g è il prezzo dell' opzione Call o Put. I rendimenti del bene sottostante sono definiti

Rt=

Pt−Pt−1 Pt−1

(2.16)

e, sulla base delle assunzioni di Black and Scholes, i rendimenti sono normalmente distribuiti

Rt∼N (0 , σd

2

) (2.17)

Definendo il VaR dell' opzione VaR0(p), dove p corrisponde alla probabilità, il calcolo si svolge nella seguente maniera:

p=Pr( gt−gt−1≤−VaR0( p)) p=Pr( ∆(Pt−P t−1)≤ −VaR0( p)) p=Pr( ∆ Pt−1Rt≤−VaR0( p)) p=Pr(Rt σ_d ≤− 1 ∆ VaR₀( p) P_t−1σ_d )

La distribuzione dei ritorni standardizzati (Rt / σd) è la normale standard, Φ(.), per cui il livello di significatività è dato da γ( p)=F−1r ( p) . Ne consegue che il VaR relativo al possesso di una opzione su una unità di asset corrisponde a

VaR₀( p)=−∣∆∣×σd×γ ( p)×Pt−1 (2.18)

Questo significa che il VaR dell' opzione corrisponde al Delta moltiplicato per il VaR del sottostante, cioè

Visto che potremmo avere a che fare sia con una Call che con una Put, abbiamo bisogno del Delta in valore assoluto. La qualità dell' approssimazione dipende dal grado di non linearità, il quale a sua volta dipende dal tipo di opzione, dalla sua scadenza, dall' orizzonte temporale del VaR e dalla volatilità dei fattori di mercato del sottostante. In linea generale, minore è l' orizzonte temporale del VaR e migliore è l' approssimazione.