Sezione d'urto e − μ − → e − μ −

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

Lezione n. 11

2.11.2020

Scattering di Coulomb spin 0

Interazione di particelle di spin ½ Regole di Feynman

Sezione d'urto e ⁻ μ ⁻ → e ⁻ μ ⁻

Teoria dello Scattering

y Noi siamo interessati al seguente problema y Dato lo stato iniziale

|i>

= |p

,q

>

y Calcolare la probabilità di avere uno stato finale

|f>

= |p

,q

>

y Lo stato finale sono particelle libere che nel futuro hanno momenti p₂ e q₂ y Nel passato

|p

,q

>

|p

,q

>

libere con i momenti indicati (evoluzione di particelle libere) y Osserviamo che:

y Se facciamo variare

|i>

S|i>

y Ciò è conseguenza della unitarietà della Matrice

S

y Anche gli stati

S|i>

y La matrice

S

t o −∞

t o +∞

y Non considera esplicitamente i dettagli dell’interazione posta a

t = 0

y In conclusione la probabilità cercata è

Rappresentazione d’Interazione

y Quando si introducono le interazioni non si può più usare la rappresentazione di Heisenberg perché non si conoscono soluzioni esatte delle equazioni di campo y In particolare non si sa calcolare l’effetto dell’operatore di evoluzione

y Consideriamo di nuovo l’equazione di Schrödinger (

H

y Definiamo, tramite l’operatore di evoluzione libero (

t

= 0

y Moltiplichiamo a sinistra per

exp[iH

t]

Pertanto nella rappresentazione d’interazione l’equazione di evoluzione della H è l'Hamiltoniano completo

Calcolo della Matrice S

y Troviamo una soluzione formale per

ψ

y Integrando l’equazione

y Lo stato ψ_I(−∞) non è nient’altro che |i>_in introdotto precedentemente

y L’equazione può essere risolta iterativamente y Primo ordine

y Secondo ordine

Calcolo della Matrice S

y Sommando la serie formalmente

y Ricordiamo che per t → +∞ abbiamo definito ψ_I(∞) = S|i>_in y Per confronto troviamo un’espressione per la matrice S

y Nella formula abbiamo ribadito la natura operatoriale delle grandezze y Osserviamo che i tempi sono ordinati: t₁ > t₂ > … > t_n

y Definiamo l’operatore di ordinamento cronologico T

y Si dimostra che si possono estendere tutti gli integrali a +∞ e si ottiene

Sviluppo perturbativo

y Isoliamo il contributo n = 0

y Notiamo che la matrice

S

1

y Si dimostra che gli operatori H'_I sono esprimibili in funzione dei campi liberi y Per il calcolo delle sezioni d’urto o delle larghezze di decadimento occorre

calcolare elementi di matrice fra stato iniziale e finale

y Abbiamo implicitamente definito l’ampiezza di transizione A_fi y Vedremo che l’ampiezza A_fi contiene a sua volta una

funzione

δ(p

– p

)

Sezione d’urto e vita media

y Nella Fisica delle Particelle Elementari si studiano sostanzialmente due fenomeni y La diffusione (scattering) di due particelle o sezione d’urto

y Proiettile – Bersaglio o σ y Fasci in collisione o σ

y Il decadimento di una particella o larghezza di decadimento

y Vita media o τ

y Larghezza di decadimento o Γ τ

y Entrambi i processi vengono descritti per mezzo dell’ampiezza invariante di transizione M

Spazio delle Fasi Flusso Incidente

Scattering di Coulomb per particella di spin 0

y Calcoliamo ancora una volta la sezione d'urto per la diffusione Coulombiana y Questa volta utilizzando la teoria quantistica dei campi

y La lagrangiana del campo complesso di Klein Gordon è

y L'introduzione dell'interazione elettromagnetica porta al termine di interazione (confronta con la slide )

y Nel seguito faremo un calcolo perturbativo al primo ordine e quindi trascuriamo il termine proporzionale a e²

y Abbiamo bisogno l'Hamiltoniana di interazione

y Trascurando il termine in e², nonostante L' contenga derivate dei campi

y In definitiva

117392

L’elemento di Matrice S

y L’elemento di Matrice che vogliamo calcolare è S

f _S _i ! y Ricordiamo lo sviluppo

y Approssimando al primo ordine (i ≠ f)

y Calcoliamo l’elemento di matrice della corrente

potenziale dato non è quantizzato

L’elemento di matrice della corrente j ^μ

y Inseriamo gli stati _i ! e _f !

y Sviluppiamo i termini nella prima riga (inseriremo alla fine le normalizzazioni)

y Sviluppiamo i termini nella seconda riga a

b

a

b

<f|A |i> è la differenza delle due espressioni a e b

L’elemento di matrice della corrente j ^μ

y Otteniamo pertanto

y Per finire valutiamo l'ultimo valore di aspettazione

L’elemento di matrice della corrente j ^μ

y Riepilogando

y Otteniamo

y Possiamo calcolare l'elemento della matrice S

y Confrontando con la definizione di A_fi y Otteniamo

y Abbiamo ritrovato il risultato ottenuto con la meccanica quantistica relativistica (slide )¹¹⁷⁶95

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato l’Hamiltoniana d’interazione

y Nel calcolo abbiamo considerato il potenziale A^μ un campo classico noto y Abbiamo trattato il più semplice problema dello scattering da potenziale y Consideriamo adesso il caso in cui il campo A^μ sia quantizzato

y In questo caso i processi che possono essere descritti dall’approssimazione al primo ordine devono contenere un fotone nello stato iniziale o nello stato finale

y Ad esempio la particella emette (oppure assorbe) un fotone

y Lo stato iniziale contiene un elettrone

y Lo stato finale contiene un elettrone e un fotone y L'elemento di matrice è

y Gli operatori j_μ e A_μ contengono gli opportuni operatori di creazione e distruzione tali che l'elemento di matrice sia diverso da zero

y Senza un fotone nello stato finale l'elemento di matrice sarebbe nullo

p_i p_f q_f

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Ad esempio senza un fotone nello stato finale (o iniziale) l'elemento di matrice sarebbe

y Ricordiamo la sviluppo di A^μ

y Sviluppando l’elemento di matrice come abbiamo fatto per lo scattering da potenziale

y Gli operatori c possono essere portati a destra e danno contributo nullo y Gli operatori c^† possono essere portati a sinistra e danno contributo nullo

y Concludiamo pertanto che se lo stato iniziale o finale non contengono un fotone l’elemento di matrice è nullo

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Tuttavia il processo appena descritto non è cinematicamente permesso

y Infatti, se la particella iniziale e finale coincidono il processo con un fotone reale non è possibile perchè violerebbe la conservazione del 4-momento

y Il segno ± si riferisce alla emissione o all’assorbimento di un fotone rispettivamente

y Elevando al quadrato ambo i membri (ricordiamo che per un fotone reale si ha q² = 0)

y Sviluppando il prodotto scalare nel sistema di riposo dell'elettrone finale (p_f) abbiamo pertanto

y Vediamo pertanto che la reazione in esame è possibile solo per un fotone reale di energia nulla

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Concludiamo che il primo termine non nullo dello sviluppo perturbativo è del secondo ordine

y Nel calcolo dell’elemento di matrice per un processo

y Abbiamo i seguenti stati iniziale e finale

y Dobbiamo pertanto calcolare

y In forma più estesa

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Non calcoleremo in dettaglio l’elemento di matrice

y Faremo delle considerazioni generali y Innanzitutto, dal momento che i campi

del fotone e dei fermioni commutano

y Nel caso del processo che stiamo esaminando non ci sono fotoni negli stati iniziale e finale

y I campi fotonici agiscono direttamente sugli stati di vuoto y Possiamo pertanto fattorizzare l’elemento di matrice

y Si definisce propagatore fotonico l’espressione

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Si può dimostrare che

y Il propagatore dipende solo dalla differenza delle coordinate x₁ e x₂

y Il propagatore è la funzione di Green dell'equazione del campo elettromagnetico (equazione dell’onda elettromagnetica)

y La forma esplicita

y La sua trasformata di Fourier

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Consideriamo adesso la parte dell'elemento di matrice relativa ai fermioni

y Occorrerebbe trattare attentamente l'eventualità di particelle identiche y Per questi calcoli sono state messe a punto tecniche molto efficaci

y In particolare

y Contrazione di operatori di campo y Teorema di Wick

y Regole di Feynman

y Ai nostri fini diciamo che per particelle non identiche (esempio scattering elettrone – protone) l'elemento di matrice si fattorizza in due pezzi

y Infine (faremo il calcolo in seguito)

y Notiamo che abbiamo ritrovato la forma delle correnti di transizione

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Ricordiamo l'espressione per la matrice S al secondo ordine

y Occorre integrare su x₁ e x₂ y Inoltre

y Pertanto

y La corrente j₁(x₁) interagisce con A_μ nel punto dello spazio-tempo x₁ y Il propagatore D_μν(x₁−x₂) propaga l'interazione da x₁ a x₂

y La corrente j₂(x₂) interagisce con Aμnel punto dello spazio tempo x₂ y Passiamo nello spazio dei momenti

y Facciamo un cambio di variabile

y Ricordiamo il risultato appena trovato y Otteniamo (u → u , α = 1,2,3,4)

Interazione elettromagnetica: spin ½

y Otteniamo pertanto

y Le parti evidenziate sono rispettivamente y Una funzione δ()

y La trasformata di Fourier del propagatore (o Funzione di Green) y Abbiamo in definitiva

y Abbiamo definito il 4-momento trasferito y Inoltre ricordiamo che

y Per finire

q = p₄ – p₂

Regole di Feynman

y Diamo le regole di Feynman per l'ordine perturbativo più basso y Il cosiddetto tree-level (livello d'albero)

y Non ci sono loop

y In un diagramma ci sono linee esterne e linee interne y Le linee esterne corrispondono alle particelle negli

stati iniziale e finale (particelle reali)

y Le linee interne corrispondono a stati virtuali tramite i quali descriviamo l'interazione (particelle virtuali, propagatori)

y Per ogni elemento occorre introdurre un fattore (funzione) nella ampiezza –iM

entranti uscenti fermioni

spin 0

Particelle esterne Particelle interne Vertici

Sezione d'urto e ⁻ μ ⁻ → e ⁻ μ ⁻

y Calcoliamo adesso la sezione d'urto del processo e⁻ μ⁻ → e⁻ μ⁻ utilizzando le regole di Feynman

y Il diagramma di Feynman del processo è y Abbiamo due fermioni entranti

y Abbiamo due fermioni uscenti

y Ci sono due vertici fermione fotone y C'è un propagatore fotonico

y L'ampiezza invariante è

y Se fosse e⁻ e⁻→ e⁻ e⁻ ci sarebbero 2 diagrammi y Con p₃ e p₄ scambiati (e un segno meno relativo)

y Per il calcolo di |M|² possiamo utilizzare le tecniche di tracce delle matrici γ sviluppate precedentemente

y In particolare sappiamo che le due correnti portano ai due tensori

Sezione d'urto e ⁻ μ ⁻ → e ⁻ μ ⁻

y Il calcolo dei due tensori dà (vedi diapositiva )

y Il modulo quadrato dell'ampiezza è

y Nel limite ultra-relativistico trascuriamo le masse

y Ricordiamo la formula della sezione d'urto

1151197

Spazio delle Fasi Flusso Incidente

Variabili di Mandelstam

y Consideriamo lo scattering 1 + 2 → 3 + 4 y Ricordiamo la conservazione del 4-momento y Definiamo le variabili di Mandelstam

y Specializziamo le relazioni nel centro di massa trascurando le masse delle particelle (p² = 0, E² = p²)

y Calcoliamo l'elemento di matrice in funzione di s, t, u

θ p₁

p₃

p₄

p₂

Cinematica reazione 1 + 2 → 3 + 4

y Prima di iniziare il calcolo del flusso e dello spazio delle fasi discutiamo alcuni aspetti della cinematica della reazione y Analizziamo lo stato finale

y Abbiamo 2 particelle per un totale di 8 variabili cinematiche

y La relazione E² = m² + p² riduce le variabili a 6

y Inoltre la conservazione dell’energia-impulso totali (4 relazioni) riduce ulteriormente a 2 le variabili indipendenti

y In assenza di polarizzazione nello stato iniziale una rotazione di un angolo φ intorno all’asse definito dal fascio è inessenziale

y Pertanto, per descrivere lo stato finale, è sufficiente una sola variabile y Sono possibili diverse scelte; ad esempio

y Angolo di deflessione θ

y Energia E di una delle due particelle 3,4

y Variabile di Mandelstam t (relativisticamente invariante) p₁ p₃ θ

θ p₁

p₃

p₄

p₂

Lo spazio delle fasi 1 + 2 → 3 + 4

y Calcoliamo lo spazio delle fasi per il processo 1 + 2 o 3 + 4(p₁ + p₂ → p₃ + p₄)

y Integrando sul 3-momento p₄ della particella 4

y Questa formula è valida in tutti i sistemi di riferimento

y Specializziamo la formula nel sistema del centro di massa p₃ = −p₄ { q_f

y |q_f| è la quantità di moto delle due particelle nello stato finale, uguale per le due particelle

y Abbiamo pertanto y Definiamo infine

Lo spazio delle fasi 1 + 2 → 3 + 4

y Abbiamo pertanto

y Da cui otteniamo

y Possiamo pertanto riscrivere lo spazio delle fasi

y Integrando su W

Il fattore di flusso

y Infine, calcoliamo il fattore di flusso nel sistema del centro di massa y Nel centro di massa abbiamo p₂ = −p₁ { q_i

y Riassumendo

Cinematica reazione 1 + 2 → 3 + 4

y Elaboriamo ulteriormente le relazioni cinematiche y Per lo spazio delle fasi e il flusso abbiamo trovato

y Calcoliamo l’energia totale e la quantità di moto nel sistema del centro di massa in funzione di quantità invarianti

y Dalla definizione della variabile di Mandelstam s

y Come ultima semplificazione notiamo che nello scattering elastico (m₁ = m₃ e m₂ = m₄) le quantità di moto nel centro di massa sono uguali |q_i| = |q_f|

y Inoltre, dato che abbiamo trascurato le masse ( m_μ e m_e  E ) y In conclusione

Sezione d'urto e ⁻ μ ⁻ → e ⁻ μ ⁻

y Riassumendo

y Possiamo finalmente calcolare la sezione d'urto