Meccanica 14 19 aprile 2011

Meccanica 14

19 aprile 2011

Oscillatore armonico, energia meccanica Oscillatore smorzato

Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`

Oscillatore armonico

• Abbiamo visto diversi sistemi che si muovono di moto armonico

– Un punto sotto l’azione di una molla, il pendolo, il pendolo di torsione

• Altri sistemi fisici presentano grandezze che seguono la stessa legge oraria

– Solidi elastici, fluidi, circuiti elettrici, campi elettromagnetici

– Strutture meccaniche che si allontanano di poco dall’equilibrio, per cui le forze di richiamo sono lineari rispetto agli spostamenti

Oscillatore armonico

• Tutti questi fenomeni sono regolati da equazioni (in generale più d’una) del tipo

• Ove le  

 sono opportune grandezze che caratterizzano il sistema e le pulsazioni

 

 sono costanti che dipendono dai parametri del sistema ^

d



dt

  



Oscillatore armonico

• Le soluzioni di queste equazioni sono

• Ove le ampiezze A_k e le fasi _k sono costanti calcolabili conoscendo le condizioni iniziali





  t ^{ A}

sin  

t  







 t  0 

d 

dt



  

 

t 0 ₄

Energia dell’oscillatore armonico

• Riferiamoci al caso particolare del punto

materiale sotto l’azione della forza elastica F=-kx

• Questa forza è conservativa, quindi l’energia meccanica si conserva. Verifica:



K t   ^{ 1}

2 mv

  t ^{ 1}

2 m dx dt



  

 

2

 1

2 mA



cos

  t   



U t   ^{ 1}

2 kx

  t ^{ 1}

2 kA

sin

  t   



E  K t   ^{ U t}   ^{ 1}

2 A

 m 

cos

  t    ^{ k sin}

 ^{ t }

^  

Energia dell’oscillatore armonico

• Poiché abbiamo

• Che è costante nel tempo

• Possiamo riscrivere K e U in termini di E

• I valori medi su un periodo sono





 k m



E  1

2 m 

A

 1

2 kA

  ^{t  E}  ^{ t  } 

K cos

^U   ^{t  E sin}

 ^{ t  } 

  ^{t dt E}

T K

K

2 1

1 

  ^U   ^{t dt E}

U T

2 1

1 

 

OA smorzato da forza viscosa

• L’oscillatore armonico sia smorzato da una forza viscosa, cioe` proporzionale e opposta alla velocita`

• L’equazione del moto e` omogenea e ha forma

• Detto il coefficiente di smorzamento e

la pulsazione naturale, l’eq. si puo` riscrivere

v F   

2

0

2

  x 

m k dt

dx m

dt x

d 

m

 2

 

m

 k



0

2

2

2

  x 

dt dx dt

x

d  

OA smorzato da forza viscosa

• Per risolvere questa equazione,

studiamo le soluzioni dell’eq. algebrica associata (EAA)

• Queste sono

• Abbiamo tre casi, a seconda del valore del discriminante

0 2

2

    



2 0 2

2 ,

1

  

    

OA smorzato da forza viscosa

• Caso smorzamento forte, le

soluzioni dell’EAA sono entrambe negative

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`

• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali



 

2 0 2

1

  

     

    

 

  ^{t Ae}

^Be

x 



• Caso smorzamento debole, le

soluzioni dell’EAA sono complesse coniugate

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`



 















  i    i



  ^{t Ae}

^Be

^e

 ^Ae

^Be



x 







OA smorzato da forza viscosa















  i    i



• Usando la formula di Eulero e ridefinendo le costanti, abbiamo

• Ove C e  si determinano specificando le condizioni iniziali

• La soluzione e` una sinusoide smorzata esponenzialmente. Si definisce lo

pseudoperiodo e in un tempo T l’ampiezza si riduce di

  ^{t  Ce}

 ^{ t  } 

x

sin

OA smorzato da forza viscosa



 2 

T ^x  ^{t  T}    ^{x t  e}

• Caso smorzamento critico, le soluzioni dell’EAA sono negative e uguali

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`

• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali



 









 

  ^{t Ate Be e}  ^{At B} 

x 







OA smorzato da forza viscosa

Proprieta` asintotica

• In tutti e tre i casi la soluzione tende a zero per tempi sufficientemente grandi

• Cioe` la soluzione generale dell’eq.

omogenea soddisfa

  ^{t Ae}

^Be

x 



  ^{t  Ce}

 ^{ t  } 

x

sin

  ^{t e}  ^{At B} 

x 



 0



 0



 0





 t

  ⁰

lim 





x

t

t

OA forzato

• Il moto di un OA si puo` rendere persistente, in presenza di attrito viscoso, applicando una forza esterna sinusoidale

• L’equazione del moto diviene non omogenea

• La pulsazione della forza, , e` in generale diversa dalla pulsazione naturale

t F

F 

sin  m t

x F dt

dx dt

x

d

2  

sin 

2

  

OA forzato

• Nella teoria delle eq. differenziali si dimostra che la soluzione generale dell’eq. non omogenea e` somma della soluzione generale dell’eq. omogenea e di una soluzione particolare dell’eq. non omogenea

• Cerchiamo allora se esiste una soluzione particolare di forma sinusoidale con pulsazione uguale a quella della forza esterna e dipendente da due parametri da determinare A e 

part

omo non

gen omo gen

omo

non

x x

x

 

 ^

^ 

  A t

x_non^part _omo sin

OA forzato

• Inserendo la soluzione di prova nell’eq.

differenziale, eseguendo le derivate, sviluppando seni e coseni e raggruppando, otteniamo

• L’eguaglianza deve valere ad ogni tempo e

questo puo` accadere se e solo se le espressioni in parentesi quadre sono entrambe nulle

 

 

 





cos

sin 2

cos sin

2 2

0

0 2

2 0









































A A

t

m F

A A

t

OA forzato

• Dalla seconda ricaviamo il valore di 

• Per evitare la singolarita` della tangente in ridifiniamo la fase:

 

0

2





 



0

 

 

  

2  





sin cos

cos sin





OA forzato

• Avremo allora

 



 

 2

2 0 2 

 tg

  









 



  





 A t A t A t

t

x cos

sin 2 sin

     

  



^{ }

2 2 2 0 2

2 0 2

2 cos 2

2 sin







 











 





 





 

OA forzato

• Da cio` si ricava il valore di A

• Abbiamo cosi’ trovato la soluzione particolare cercata

  



0

4 1







 



 

 m

A F

OA forzato

• Caratteristiche della soluzione particolare della funzione spostamento:

– ha la pulsazione della forza esterna, non quella naturale

– e` sfasata rispetto alla forza

– ampiezza e fase dipendono dalla pulsazione esterna

– ampiezza e fase non dipendono dalle condizioni iniziali

Soluzione generale

• Abbiamo visto che la soluzione generale dell’eq. non omogenea si scrive

• E che la soluzione generale dell’omogenea tende a zero per tempi sufficientemente grandi

• Quindi per tempi grandi la soluzione generale della non omogenea si riduce alla soluzione particolare

 ^{( )} 

cos )

( )

(

) ( )

( )

(







 













t A

t x

t x

t x

t x

gen omo

part

omo non

gen omo gen

omo non

 ^{( )} 

cos )

( )

(      



t A t

x

Risonanza

• Cerchiamo il valore di  che rende massimo il valore assoluto dell’ampiezza

• Se il massimo si ha per

• E vale

• Se allora e A_M tende all’infinito, cioe` piu` piccolo e` lo smorzamento, piu` la

pulsazione di risonanza e` vicina alla pulsazione

naturale, maggiore diventa l’ampiezza massima o di risonanza

2 2

0 2











 

0 0

2   

  

 m

A F

A_{M M}





 0



Potenza

• La potenza istantanea e`

• La media temporale della potenza e`

• Il cui massimo si ha per la pulsazione naturale

   

 ^{   } 













sin cos

cos sin

sin

sin sin

0

0

t t

t A

F

t tA

F Fv

t P





















2 2

0 0

cos 4 2

1











 

   



 m

A F F P

 m P _M F

4

2

 0

Larghezza di risonanza

• E` definita dalle due pulsazioni per cui la

potenza media e` meta` della potenza media massima

• Si ottengono due equazioni quadratiche in , le cui due soluzioni accettabili sono

• La larghezza di risonanza e`



























M 2 P P 

Fattore di merito

• E` definito come

• E` tanto maggiore quanto piu` stretta (cioe`

migliore) e` la risonanza







Q 

  ⁰