Calcolo della Numerosità

Calcolo della Numerosità

Binomiale 5 prove

0.031

0.156

0.313 0.313

0.156

0.031

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350

0 1 2 3 4 5

successi

probabilità

Calcolo della Numerosità

Binomiale 6 prove

0.016

0.094

0.234

0.313

0.234

0.094

0.016

0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350

probabilità

Calcolo della Numerosità

Binomiale 12 prove

0,000 0,003

0,016

0,054

0,121

0,193

0,226

0,193

0,121

0,054

0,016

0,003 0,000

0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

successi

probabilità

n s -

= x

t 2

o

T-Test

test sulla media di un gruppo

1. H0:  = o

² nota viene utilizzata la distribuzione normale N(o,²/n)

² ignota si utilizza

T-Test

T-Test

T-Test T-Test

confronto fra le medie di due gruppi

2. H0: 

= 

₁² = ₂² ignote si utilizza

n ) + 1 n

( 1 s

- x

= x t

2 1

2p

2 1

x )

x - ( ) +

- x ( x SSQ

+ SSQ

2 2 2j n

1 2 1 1j n

1 2

1 2

2

1 

 



T-Test T-Test

osservazioni correlate

3. H0: 

= 0

• Si calcolano per ogni soggetto le differenze d

n s

= d

t 2

d

Analisi della Varianza

• Quando i gruppi sono più di due non è più

possibile applicare il t test per il confronto fra ‑ due medie

• Bisogna allora ricorrere all'analisi della varianza.

Il suo presupposto fondamentale è che, se è vera l'ipotesi nulla che non vi sia differenza fra i

gruppi, la variabilità all'interno dei gruppi è uguale alla variabilità fra i gruppi

Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza

• Si tratta quindi di un confronto di varianze che può essere saggiato con la distribuzione F

• Per ciascun soggetto i del gruppo j lo scarto dalla media generale può essere scomposto in uno

scarto dalla media di gruppo più uno scarto della media di gruppo dalla media generale

Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza

• Vale cioè la relazione:

x_ij - x.. = (x_ij - x._j) + (x._j - x..)

• La stessa scomposizione può essere fatta anche sulle somme degli scarti al quadrato (SSQ)

SSQ_tot = SSQ_intgr + SSQ_tragr

Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza

• La somma dei quadrati degli scarti totali è

calcolata sui valori di tutti i soggetti del campione rispetto la media generale

• La somma dei quadrati degli scarti tra i gruppi si ottiene attribuendo a ciascun soggetto il valore medio del suo gruppo e calcolando gli scarti dei valori così modificati dalla media generale

• La somma dei quadrati degli scarti all'interno dei gruppi si ottiene per differenza

Analisi della Varianza Analisi della Varianza

• Le relative varianze si ottengono dividendo le somme dei quadrati degli scarti per i rispettivi

gradi di libertà. La varianza all'interno dei gruppi è nota anche come varianza residua

• La variabile statistica su cui viene effettuato il test è data dal rapporto:

GRUPPI INTERNO

VARIANZA

GRUPPI TRA

VARIANZA F 

Analisi della Varianza Analisi della Varianza

Gruppo 1 Gruppo 2

16 12

14 14

17 11

13 13

14 14

16 12

15 15

17 12

14 11

15 13

N Mean Std.

Deviation Std. Error Mean

Gruppo 1 10 15.1 1.370 .433

Gruppo 2 10 12.7 1.337 .423

Analisi della Varianza Analisi della Varianza

Punteggi t df Sig (2-

tailed) Mean

Difference 95% Confidence Interval of the Difference Equal

variances

assumed 3.963 18 .001 2.4 1.28 3.672

Equal variances

not assumed 3.963 17.989 .001 2.4 1.28 3.672

t-test

Sum of

Squares df Mean

Square F Sig

Beteewn

Groups 28.8 1 28.800 15.709 .001

ANOVA

Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza

• L'interazione rappresenta l'effetto di particolari combinazioni degli effetti principali non imputabili semplicemente alla somma degli effetti componenti.

• Essa può anche essere vista come una mancanza di parallelismo tra un fattore e l 'altro.

EFFETTI PRINCIPALI

INTERAZIONE

Trattati M Controlli M Trattati F Controlli F

Trattati Controlli

DISEGNO SPERIMENTALE

Definisce il modo di dividere in gruppi il campione sperimentale

C^{RITERI DI} CLASSIFICAZIONE

Definiscono i modi di raggruppamento e quindi gli effetti studiati

Trattati Controlli M

31 39

35 41

34 43

32 38

36 40

F

36 41

37 36

38 35

33 41

38 38

EFFETTI PRINCIPALI

EFFETTI PRINCIPALI

INTERAZIONE INTERAZIONE

Parametri descrittivi

EFFETTI PRINCIPALI

EFFETTI PRINCIPALI

INTERAZIONE INTERAZIONE

Mean Std.

deviation n

Trattati M 33.6 2.074 5

F 36.4 2.074 5

Controlli M 40.2 1.924 5

F 38.2 2.775 5

Totale 37.1 3.227 20

EFFETTI PRINCIPALI

EFFETTI PRINCIPALI

INTERAZIONE INTERAZIONE

Source SS df MS F Sig

constant 27528.2 1 27528.2 5505.64 .000

trattamento 88.2 1 88.2 17.64 .001

sesso .8 1 .8 .16 .694

Tratt x Sesso 28.8 1 28.8 5.76 .029

Within factor 80.0 16 5.0

Analisi della Varianza

Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza Analisi della Varianza

Calcolo dell’interazione

) y y

( )

y y

( y

= principali

effetti



 



trattati trattati M

M -effetti principali y

= scarto

Valori Sperimentali

trattati controlli media

Maschi 33.6 40.2 36.9

Femmine 36.4 38.2 37.3

media 35.0 39.2 37.1

EFFETTI PRINCIPALI

EFFETTI PRINCIPALI

INTERAZIONE INTERAZIONE

Interazione

30 35 40 45

Trattati Controlli

M F

Analisi della Regressione Lineare

• Permette di analizzare la relazione fra due o più variabili quantitative gaussiane utilizzando un modello di riferimento costruito a partire dai dati sperimentali.

• Può essere Lineare semplice o Lineare Multipla

Analisi della Regressione Lineare Analisi della Regressione Lineare

Nel caso in cui la variabile indipendente sia una sola il modello utilizzato è di tipo lineare semplice e l’equazione che lo determina e l’equazione della retta:

y=a+bx

La determinazione dei parametri a e b è fatta con il metodo dei minimi quadrati

Analisi della Regressione Lineare Analisi della Regressione Lineare

s

= s b

x

b - y

=

a ₂

x

 xy

1 - n

) y y -

( ) x x -

( s =

i i n

xy 1

 

Dove:

Analisi della Regressione Lineare

Analisi della Regressione Lineare

• Coefficiente di Determinazione R

SSQ modello R² =

SSQ totale

• Coefficiente di Correlazione

• Parametro F

varianza modello F =

varianza residua

Analisi della Regressione Lineare Analisi della Regressione Lineare

s s

= s r

y x

xy



Analisi della Regressione Lineare Analisi della Regressione Lineare

44 46 48 50 52 54 56 58 60 62

25 26 27 28 29 30

Media Esami

Voto Maturità

SV

SH DE

Modello Lineare Generale (GLM)

dove y_ijk rappresenta la variabile dipendente misurata e  e  e  rappresentano i parametri relativi agli effetti e all’interazione che influenzano la variabile dipendente. Il coefficiente b rappresenta la relazione fra x e y. Il parametro e rappresenta il termine errore dovuto alla variazione casuale dei dati.

y

=  + 

+ 

+ 

+ b·x + e

• Di ogni parametro viene data la significatività

• I parametri vengono calcolati eliminando gli effetti di tutti gli altri parametri

• Si possono calcolare contrasti multipli ortogonali

Modello Lineare Generale Modello Lineare Generale

(GLM)

(GLM)

Permette:

• l’uso di fattori qualitativi e quantitativi

• il confronto fra prove ripetute, di dati correlati

• l’uso di più variabili dipendenti (analisi multivariata)

Modello Lineare Generale Modello Lineare Generale

(GLM)

(GLM)

Modelli Non Parametrici

Accuracy and certainty are competitors:

The surer we want to be, the less we must demand.

Basic Ideas of Scientific Sampling di Alan Stuart, Griffin, London, 1968

Modelli Non Parametrici Modelli Non Parametrici

Una serie di dati

- binomiale - chi quadrato

- runs (numero di valori consecutivi superiori o inferiori a un valore soglia)

Due serie di dati correlati

- McNemar (proporzioni)

- Sign (distribuzione dei valori) - Wilcoxon

Più serie di dati correlati

- Friedman

Due serie di dati indipendenti

- Mann-Whitney

- Kolmogorov-Smirnov

Più serie di dati indipendenti

Modelli Non Parametrici Modelli Non Parametrici

Misure di associazione

 Tavole di contingenza: associazione fra due variabili qualitative

 Modelli Log-Lineari: associazione fra più variabili qualitative

 Modelli Log-Lineari Gerarchici: associazione fra più variabili qualitative

Modelli Regressivi

 Regressione Logistica: modello generale in cui è possibile esprimere una variabile qualitativa (dicotomica) come funzione di una o più

variabili sia qualitative che quantitative.

Tavole di Contingenza

Permettono di analizzare la relazione fra due variabili di tipo qualitativo.

L’ipotesi nulla (assenza di relazioni)

corrisponderà alla proporzionalità fra le

diverse condizioni delle variabili.

Un esempio…

Tavole di Contingenza Tavole di Contingenza

Soggetti Risultato negativo Risultato positivo Totale

Gruppo A 41 216 257

Gruppo B 64 180 244

Totale 105 396 501

Tavole di Contingenza Tavole di Contingenza

Per confrontare le frequenze sperimentali con l’ipotesi nulla si crea una corrispondente

tabella per l’H

costituita dalle frequenze teoriche che rappresentano la condizione di proporzionalità.

In formule…

Tavole di Contingenza Tavole di Contingenza

Calcolo dei valori teorici T_i nell’ipotesi di

proporzionalità (Ho)

Valutazione della differenza fra i valori teorici e i valori sperimentali applicando la formula del



T E ) T -

= (

i

2 i i i

2 



totale tot tot

Ti = ^{riga colonna}



Tavole di Contingenza Tavole di Contingenza

Calcolo i valori teorici T nell’ipotesi di proporzionalità (Ho vera)

totale tot tot

Ti = ^{riga colonna}



Risultato negativo Risultato positivo Totale Gruppo A 41 53.9 216 203.1 257 Gruppo B 64 51.1 180 192.9 244

Totale 105 396 501

Valuto l’entità della differenza fra i valori

teorici e i valori sperimentali applicando la formula del 

^.

²= (41-53.9)² /53.9 + (64-51.1)² /51.1 + (216-203.1)² /203.1+

+ (180-192.9)² /192.9 = 7.978

Tavole di Contingenza Tavole di Contingenza

T E ) T -

= (

i

2 i i i

2 



• Valuto la significatività: se p<0.05 posso concludere che c’è differenza nei due gruppi rispetto ai risultati

positivi/negativi.

• Confronto il valore di ² ottenuto con il limite di

falsificazione per (r 1)‑ (c 1) gradi di libertà che in questo ‑ caso corrisponde a 2.05,1=3.84 < 7.978

Posso Respingere H0

Tavole di Contingenza

Tavole di Contingenza

Test del Segno

• Utilizzato per confrontare due serie di dati correlati, ad esempio fra due prove misurate con punteggi che vanno da 1 a 10.

• Il confronto si effettua sulle differenze fra seconda e prima prova, applicando la

Distribuzione Binomiale per valutare la

diversità fra miglioramenti e peggioramenti.

Un esempio...

Soggetti Prova1 Prova2 Differenza

1 6 8 2

2 5 6 1

3 5 8 3

4 6 5 -1

5 4 7 3

6 7 7 =

7 6 8 2

8 7 6 -1

9 6 9 3

10 5 4 -1

11 4 7 3

12 6 6 =

Escludendo le

situazioni di assenza di differenze,

confronto i 7

miglioramenti sui 12 casi.

Attraverso il Test del Segno la differenza non è significativa in

Se avessimo applicato il t-test per prove ripetute...

t= 2.382 che, con 11 gradi di libertà, fornisce una significatività di 0.036. Il valore del

parametro t viene calcolato dalla media delle differenze e dalla loro deviazione standard.

Mean N Std. Deviation Std. Error Mean

PROVA1 5.58 12 0.996 0.288

PROVA2 6.75 12 1.422 0.411

PROVA2 - PROVA1 1.17 12 1.697 0.490

Una soluzione alternativa: il Test dei Ranghi di Wilcoxon

• Si basa sulla classificazione dei soggetti in base

alla differenza ottenuta nelle due prove e utilizza il numero d’ordine (rango) dei soggetti come nuova variabile da sottoporre a verifica statistica.

• Attraverso un’opportuna elaborazione di tale variabile si ottiene un parametro con una

distribuzione prossima ad una distribuzione

normale standard che viene utilizzata per eseguire il test.

Test dei Ranghi di Wilcoxon

• Per effettuare il test si parte mettendo i dati sia del primo che del secondo gruppo in ordine crescente in un unico elenco. Si associa a ogni dato il suo

numero d'ordine nella scala così ottenuta.

L'ipotesi nulla, come al solito, è che non vi sia

differenza fra i due gruppi. Se questo è verificato i dati del primo gruppo saranno dispersi in modo uniforme nella scala costruita. Se l'ipotesi nulla è falsa essi saranno concentrati nella parte alta o bassa della scala. Nel caso precedente p=0.039.

Test di McNemar

• Misura la concordanza fra due variabili.

14 8

2 6

METODO1 ottimisti

pessimisti

ottimisti pessimisti METODO2

METODO1 & METODO2

Test di McNemar Test di McNemar

• Questo test considera solo le risposte discordanti dei due metodi e formula l’ipotesi nulla che non vi sia differenza fra i due metodi, nel senso che si

possono avere indifferentemente soggetti

classificati ottimisti dal primo metodo ma non dal secondo o l’opposto di questo. Il test non

considera cioè quanto i due metodi sono concordi ma solo se le discordanze hanno una direzione

preferenziale.

Test di McNemar Test di McNemar

• Nell’esempio in corso abbiamo 10 soggetti

con risposta discorde. L’ipotesi nulla è che

di questi 5 siano ottimisti col primo metodo

ma non con il secondo e che 5 siano nella

situazione opposta. In realtà per questi due

gruppi abbiamo ottenuto 8 e 2.

Test di McNemar Test di McNemar

• Utilizzando la distribuzione binomiale, valutiamo se i valori ottenuti sono significativamente diversi dai valori attesi. La distribuzione binomiale ci permette di ottenere un test esatto e, data la bassa numerosità del campione, rappresenta il metodo idoneo. Per numerosità maggiori viene spesso utilizzata la distribuzione ² che, pur essendo un test approssimato, necessita di calcoli più semplici.

• La significatività che si ottiene da questi dati è di 0.109 che non ci permette di falsificare l’ipotesi nulla e di sostenere una reale differenza fra i due metodi.

Regressione Logistica

• Trasforma la variabile qualitativa dicotomica (evento, non evento) in una variabile quantitativa utilizzando il

parametro odds

• 1.Variabile 0,1

• 2.Probabilità 0 1

• 3.Odds 0 

) (

) (

evento non

p

evento odds  p

Regressione Logistica Regressione Logistica

ODDS

) (

) (

)

| (

)

| (

event non

p

event p

exposure event

p

exposure event

odds  p 









odds p odds

odds p

odds p

p odds

p odds odds p

 













 

 1

) 1

1 (

Regressione Logistica Regressione Logistica

Per poter utilizzare una equazione nel campo dei numeri reali si esegue una ulteriore trasformazione

logarimica che prende il nome di logit

Odds logit

(valore - --- 0 --- +)

) (

) log (

logit

nonevento p

evento

 p

Regressione Logistica Regressione Logistica

La variabile può essere vista come funzione dei fattori in un modello regressivo:

logit (variabile)= b

+ b

 x

+ b

 x

+ b

 x

….







 e

e

odds

Regressione Logistica Regressione Logistica

Stima dei Parametri (b)

viene fatta con metodo a successive approssimazioni.

Il loro significato si può dedurre dall’odds ratio:

1 0

1 0

1 1

1

0

.

.

b b

x

x

e

e e e

odds R odds

O 









 







Odds Ratio e Rischio relativo

a b c d

Disease Non Disease Exposed

Non Exposed

OR= a/b c/d

RR= a/(a+b) c/(c+d)

Regressione Logistica Regressione Logistica

• La regressione logistica fornisce le significatività per:

 il modello globale

 i singoli parametri, togliendo gli effetti dei parametri già considerati

Analisi fattoriale

• ridurre il numero delle variabili in esame;

• trasformare le variabili in studio in variabili mutuamente indipendenti;

• individuare le fonti delle variabili sperimentali;

• assegnare ad esse un significato reale.

Analisi fattoriale

Il punto di partenza dell’analisi fattoriale è la matrice di correlazione delle variabili esaminate, attraverso la quale vengono calcolate nuove variabili, dette fattori, fra loro indipendenti. Vi sono diversi metodi matematici per ottenere queste nuove variabili. Un metodo, noto come metodo delle componenti principali, si avvale del calcolo degli autovalori e autovettori della matrice di correlazione.

Analisi fattoriale

• capacità argomentativa

• desiderabilità sociale

• coinvolgimento emotivo

• ricerca della certezza

• atteggiamento di intransigenza

Factor Eigenvalue Pct of Var Cum Pct 1 1.58165 31.6 31.6

2 1.31683 26.3 58.0 3 .87879 17.6 75.5 4 .65468 13.1 88.6 5 .56805 11.4 100.0

Analisi fattoriale

Variable Factor 1 Factor 2 argoment. .79211 -.03512 des.soc. -.06178 .82247 emotiv. .00558 .76485 certezza .63892 .21603

ND D

‘ND’

‘D’

‘D’ ‘ND’

TP/(TP+FN) TN/(TN+FP)

TP/(TP+FP)

TN/(TN+FN) (TN+TP)/ALL