Autovalori e autovettori 04/12
Riassunto
Si ricordi che una matrice quadrata A ∈ Rn,n definisce un endomorfismo f : Rn → Rn usando colonne: f (v) = Av.
Un vettore non-nullo v ∈ Rn,1 si dice autovettore di A o di f se esiste λ ∈ R tale che
Av = λv, v 6= 0.
Il numero λ (eventualmente 0 ) è l’autovalore associata a v.
Più in generale un autovalore di A è qualsiasi numero per cui esiste v come sopra, equivale a dire
(A − λI)v = 0, v 6= 0.
Segue che λ è un autovalore di A se e solo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:
ker(A − λI) 6= {0}, r (A − λI) < n, det(A − λI) = 0.
Quindi gli autovalori soddisfano l’equazione p(t) = 0, dove p(t) = det(A − tI)
= (−1)ntn− (−1)n(tr A)tn−1· · · + (det A), è il cosiddetto polinomio caratteristico di A. Se
p(t) = (λ1− t)(λ2− t) · · · (λn− t),
allora le radici λ1, . . . , λn (non necessariamente distinte) sono gli autovalori e
trA = λ1 + · · · + λn, detA = λ1λ2· · · λn,
mentre (per definizione) la traccia trA è la somma degli ele- menti lungo il diagonale principale di A.
