Alessio Massetti Geometria ed Algebra Lineare
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Autovalori ed Autovettori
Definizione
Def Dato T endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo un numero scalare
si dice autovalore di T se esiste un vettore non nullov V
(detto autovettore di T) tale che T v( )
vInterpretazione geometrica
Un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore.
Teo Un endomorfismo T di uno spazio Vn
ha una matrice associata diagonale se e solo se Vn
hauna base costituita da autovettori di T.
Es. Spazio:
V
21 0
0 2
A
2
x x
A y y
1 0
0 e 1
(le due colonne della matrice) sono autovettori.La matrice base è
1 0 0 1
ed il vettore degli autovalori è1 2
. Più in generale possiamo definire A in questo modo:Spazio:
V
n1 2
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 n
A
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Polinomio caratteristico
Calcoliamo ora gli autovalori e gli autovettori di un endomorfismo qualunque T.
E’ necessario verificare prima il seguente Teorema Teo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) Lo scalare
è un autovalore di T 2) x 0 in
2| Ax x
3) det
A
In
0 Dim.Se vale la prima allora esiste
T v ( ) v
con v0 Ma per la seconda abbiamo Ax
x con x0 E siccomeT v ( ) Ax
perché
è autovalore sono verificate.Per quanto riguarda la terza se è vero che Ax
x
Ix Allora vale
0 0 (binet)
det det 0
det 0
Ax Ix A I x
A I x A I x
Abbiamo due casi
det 0 0
det 0 0
A I x
A I x
Ma per la seconda è per forza il primo.
Def. Il polinomio nella variabile
P
det
A
In
è il polinomio caratteristico dell’endomorfismo T.Es. Data la matrice A
0 1 1
1 1 0
1 0 1 A
Il suo polinomio caratteristico è
3 2
1 1
det det 1 1 0 2 2
1 0 1
2 1 1
P A I
n
Gli autovalori sono quindi 2, 1, ‐1
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Diagonalizzabilità
Teo. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se vale la seguente proprietà:
1 h
i i
E n
dove lo spazio dell’endomorfismo T è generato dagli autovalorisp T( )
1, ,
h
Possiamo infatti scrivere il polinomio caratteristico come:
1
1 2
2
( )
m m...
n mhP T f
Dove mi ma
i (ovvero quante volte quell’autovalore è soluzione)Vale quindi che
1 2
...
hm m m n
Questa relazione vale sempre nei complessi, non sempre nei reali.
Oss. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono reali.