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Autovalori ed Autovettori

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Alessio Massetti    Geometria ed Algebra Lineare   

 

 

Autovalori ed Autovettori 

Definizione 

Def Dato T endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo un numero scalare 

si dice autovalore  di T se esiste un vettore non nullo 

v V

(detto autovettore di T) tale che T v( )

v 

Interpretazione geometrica 

Un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella  trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato  autovalore. 

Teo Un endomorfismo T di uno spazio Vn

 

ha una matrice associata diagonale se e solo se Vn

 

ha 

una base costituita da autovettori di T. 

Es. Spazio: 

V  

2 

1 0

0 2

A  

  

 

 

2

x x

A y y

   

 

   

   

1 0

0 e 1

   

   

   

(le due colonne della matrice) sono autovettori. 

La matrice base è

1 0 0 1

 

 

 

ed il vettore degli autovalori è 

1 2

   

 

Più in generale possiamo definire A in questo modo: 

Spazio: 

V  

n 

1 2

3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 n

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

Alessio Massetti    Geometria ed Algebra Lineare   

 

 

Polinomio caratteristico 

Calcoliamo ora gli autovalori e gli autovettori di un endomorfismo qualunque T. 

E’ necessario verificare prima il seguente Teorema  Teo. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 

1) Lo scalare 

 è un autovalore di T  2)

  x 0 in

2

| Ax   x

 

3) det

A

In

0  Dim.  

Se vale la prima allora esiste     

T v ( )   v

  con  v0  Ma per la seconda abbiamo    Ax

x  con  x0  E siccome 

T v ( )  Ax

perché 

è autovalore sono verificate. 

Per quanto riguarda la terza se è vero che Ax

x

Ix  Allora vale 

 

 

 

 

0 0 (binet)

det det 0

det 0

Ax Ix A I x

A I x A I x

 

 

 

 

 

Abbiamo due casi 

 

 

det 0 0

det 0 0

A I x

A I x

   

   

 

Ma per la seconda è per forza il primo. 

Def. Il polinomio nella variabile 

P

  

det

A

In

 è il polinomio caratteristico dell’endomorfismo T. 

Es. Data la matrice A 

0 1 1

1 1 0

1 0 1 A

  

 

  

 

 

 

Il suo polinomio caratteristico è  

   

   

3 2

1 1

det det 1 1 0 2 2

1 0 1

2 1 1

P A I

n

     

  

 

 

 

           

   

 

    

 

Gli autovalori sono quindi 2, 1, ‐1 

 

 

(3)

Alessio Massetti    Geometria ed Algebra Lineare   

 

 

Diagonalizzabilità 

Teo. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se vale la seguente proprietà: 

 

1 h

i i

En

 

  dove lo spazio dell’endomorfismo T è generato dagli autovalorisp T( )

 

1, ,

h

  Possiamo infatti scrivere il polinomio caratteristico come: 

1

 

1 2

2

     

( )

m m

...

n mh

P T           f

 

Dove mima

  

i   (ovvero quante volte quell’autovalore è soluzione)   

Vale quindi che 

1 2

...

h

mm   mn

 

Questa relazione vale sempre nei complessi, non sempre nei reali. 

Oss. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono reali. 

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