Matteo Moda Geometria e algebra lineare Autovalori e autovettori
Autovalori ed autovettori
Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo K. Uno scalare q appartenente a K si dice autovalore di T se esiste un vettore non nullo
L’insieme degli autovalori si dice spettro di T (sp(T)).
Se A è una matrice quadrata in Mn(K), chiameremo autovalori e autovettori di A gli autovettori e gli autovalori dell’endemorfismo di Kn definito da A, cioè x si dirà autovettore di A se e solo se: Ax=qx .
Teorema: Un endomorfismo T di uno spazio Vn(K) ha una matrice associata diagonale se e solo se Vn(K) ha una base costituita da autovettori di T
Dimostrazione MB(T)=D= diag(d1,…) B=(v1,….)
T(v1)=d1v1 con d1 autovalore e v1 autovettore T(vi)=divi
Endomorfismi diagonalizzabili: T è diagonalizzabile se e solo se ha una matrice associata diagonale.
Una matrice A sarà detta diagonalizzabile per similitudine se e solo se è simile a una matrice diagonale.
Esempi:
1.
Tϑ Rotazione intorno a retta r. Se: Sp(Tϑ)={-1,…,1} con ϑ=Kπ (k dispari)
Sp(Tϑ)=1 con ϑ= Kπ (k pari)
È diagonalizzabile. Invece in altri casi non è diagonalizzabile (es Sp(Tϑ)=1), cioè esistono degli autovettori, ma non sono sufficienti a formare una base
2.
Tϑ Rotazione rispetto all’origine( es. )Se ϑ =k=kπ allora:
Per k dispari sp(Tϑ)=-1 ->
Per k pari sp(Tϑ)=1->Se
Caso 1
Matteo Moda Geometria e algebra lineare Autovalori e autovettori
3. V= R
n[x] polinomi di grado << n
1,x,x
2,…,x
nsono indipendenti dim V= n+1 T(f)=f’
T(f)=qf q=0 se spettro T(f)=0f=0
Sp(Tf)=0
Autospazio: Sia q autovalore di T. L’insieme
Il nucleo N(T-q idv) è autospazio se e solo se contiene vettori non nulli, cioè se l’endomorfismo T-q idv non è iniettivo
Sia T: V->V lineare. Se v1,…,vn sono autovettori di T corrispondenti ad autovalori distinti q1,…,qn, allora v1,…,vn sono linearmente indipendenti
Se V ha una dimensione finita n, allora T ha al più n autovalori distinti. Scegliendo n autovettori distinti agli auto valori distinti si ottiene una base, e quindi T è diagonalizzabile.
Teorema: Le seguenti condizioni sono equivalenti:
Lo scalare q appartenente a K è autovalore di T
Polinomio caratteristico: Il polinomio nella variabile q:
Considero E(q) l’autospazio relativo a q. Sappiamo che:
dim E(q)+dim Im(T)=n dim E(q)=n-rg(A-qI)
ma(q) è la molteplicità algebrica di q, mentre mg(q) è la molteplicità geometrica. Si può dimostrare che
Teorema: T è diagonalizzabile se e solo se
Teorema: Dato un polinomioIl teorema non vale per i numeri Reali
Molteplicità di una radice r di f(x):
