Superconduttori anisotropi

Superconduttori anisotropi

YBa₂Cu₃O_7-x

Bi₂Sr₂CaCu₂O_8+x

LaFeAsO_0.89F_0.11

O/F

Richiami

●

Materiale isotropo: vettore effetto (e.g. ) // vettore causa (e.g. ):

●

Materiale anisotropo: in genere non è // a

●

Rappresentazione

⃗ E ⃗ J

⃗ E=ρ⃗J ^{⃗ E ⃗ J}

⃗ E=̄̄ρ⃗J ^{⃗ E ⃗} _J

⃗ E ⃗ J

scalare

tensore

( ^{E E E}

) ^{= ( ρ ρ ρ}

^{ρ ρ ρ}

^{ρ ρ ρ}

⁾ ( ^{J J J}

)

x

y z

Se assi rif.=assi principali & no Hall

( ^{E E E}

) ^{= ( ρ 0 0}

^{ρ 0 0}

^{ρ 0 0}

⁾ ( ^{J J J}

)

matrice matrice diagonale

Altri esempi:

D=ϵ ⃗E⃗

⃗q=−k ⃗∇T ...

Misure di resistenza

⃗ E ⃗ J

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

⁾ ( ^{J J}

)

x

y

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

^{) ( J 0 ) =ρ}

^{J ̂x=E}

^{x ̂ ρ}

^=ρ

⃗ E ⃗ J

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

^{) ( 0 J ) =ρ}

^{J ̂y=E}

^{̂ y ρ}

^=ρ

x

⃗ E ⃗ J

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

^{) ( J cos θ J sin θ ) = J} ( ^{ρ ρ}

^{cos θ} sinθ ) ^ρ

^{= ?}

x y

y θ

n ̂

Caso

anisotropo (2D):

Caso

isotropo:

ρ

= E J

imposto misurato

⃗ E∥⃗J

⃗ E∥⃗J

⃗ E∥⃗J

misure lungo assi principali: singoli elementi del tensore

Misure di resistenza

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

⁾ ( ^{J J}

)

⃗ E ⃗ J

( ^{E E}

) ^{= ( ρ 0}

^{ρ 0}

^{) ( J cos θ J sin θ ) = J} ( ^{ρ ρ}

^{cos θ} sinθ ) ^ρ

^{= ?}

x y

θ

n ̂

Anisotropia (2D):

Isotropia:

ρ

= E J

ρ

= E

J = E⋅̂J ⃗

J =ρ

cos

θ+ρ

sin

θ ρ

= E

J = ⃗ E⋅̂n

J = sin θcos θ(ρ

−ρ

) n= ̂ ( ^{−sin θ} cos θ )

Misure lungo due direzioni: e

∥⃗ J

⊥ ⃗ J

NB: in esperimenti reali, imporre e controllare l'effettivo percorso della corrente è tutt'altro che banale

∥⃗ J

i.e.

∥̂ n

⊥ ⃗ J

oss.: dipendenza

dall'angolo θ tra assi di anisotropia e stimolo

Tensore massa efficace

●

Modello di Drude

●

Materiale anisotropo, riferimento con assi principali:

●

Superconduttori con anisotropia uniassiale:

ρ= m n e

τ

m= ̄̄ ( ^{m 0 0}

^{m 0 0}

^{m 0 0}

)

x=a

y=b

̄

̄ ρ= m ̄ ̄ n e

τ

m= ̄̄ ( ^{m 0 0}

^{m 0 0}

^{m 0 0}

) ^{= m ( 1 0 0 0 0 1 γ 0 0}

^{) γ} fattore di

^{= m m}

^{= m m}

^{> 1} anisotropia

tensore di massa

oss.: si assume che τ sia uno scalare

m

≃ m

≪ m

Resistenza anisotropa nei cuprati

(stato normale)

YBa₂Cu₃O_7-x

ρ_c

ρ_ab=γ²≈60−80(290 K )

Bi₂Sr₂CaCu₂O_8+x

γ≈7−9 γ≈250

Moderatamente anisotropo Fortemente anisotropo

Hagen etal, PRB 37, 7928 (1988)

Martin etal, PRL 60, 2194 (1988)

Anisotropia nello stato misto: teoria GL

1

2m ∣ ⁽ −i ℏ ∇ +2e ⃗A ) ψ(⃗ r ) ∣

1

2 ( −i ℏ ∇ +2e ⃗ A )

^ψ

^(⃗ r )⋅ [ m ^̄ ̄

( −i ℏ ∇ +2e ⃗A ) ^ψ(⃗ r ) ] ⁼

= 1

2m

∣ ^{( −i ℏ ∇}

^{+ 2e ⃗A}

^{) ψ(⃗ r )} ∣

⁺ _2m ¹

c

∣ ^{( −i ℏ ∂ ∂ z + 2e A}

^{) ψ(⃗ r )} ∣

●

GL (3D) anisotropa, con tensore . Il termine col gradiente

diventa: m ̄̄

isotropo

anisotropo

Anisotropia di ξ e λ

ξ

= ℏ

√ ^2m

∣ (α) ∣ ^∝

1

√ ^m

●

Lunghezza di coerenza:

–

ξ

: variazione di ψ lungo l'asse i-mo

●

Lunghezza di penetrazione di London:

–

λ

: associata all'effetto di schermo dovuto a correnti lungo l'asse i-mo (≠ schermo di campi lungo l'asse i-mo)

ξ

λ

= Φ

2 √ ^{2π B}

con i = ab, c

λ

∝ √ ^m

effetto opposto dell'anisotropia

ξ

>ξ

λ

<λ

x=a

B//c z=c

y=b

λ

z=c B//b

y=b

λ

B//b z=c

y=b

λ

J//a

J//a

J//c

θ: angolo tra B e asse z

Effetti dell'anisotropia su flussoni e B _c2

y=b z=c

ξ_c

ξ_b λ_b

λ_c x=a

y=b

ξ_ab λ_ab

B(0)//c B(90°)//a

B

(0)= Φ

2 π ξ

area sezione del nucleo

B

(90 °)= Φ

2 π ξ

ξ

Sezione circolare (come nel caso isotropo)

sezione ellittica

B_c2(90 °)= Φ₀ γ 2 π ξ²_ab

B

(θ)= Φ

2 π ξ

ξ (θ)

y=b z=c

B(θ)

θ

x=a

ξ(θ) B

ξ_ab

ξ(θ)=ξ_ab

√

Anisotropia: campi critici B _c1 e B _c2

B

(θ)= Φ

2 π ξ

√ ^cos

^{θ+ γ}

^sin

^{θ ∝ 1−T /T}

γ= ( ^{m m}

)

^{= ξ ξ}

^{= λ λ}

^{= B B}

= B

B

ξ ∝ 1

√

( ^B

^{(θ) B}

^{cos θ} )

⁺ ( ^B

^{B (θ)}

^{sin θ} )

⁼¹

Espressione alternativa:

B

∝ 1/λ

Espressione

alternativa:

Ricapitolazione rapporti di anisotropia:

Dipendenze di B

da θ e T

Anisotropia nello stato misto: modello LD

●

Modello di Lawrence-Doniach (2D): strati bidimensionali sovrapposti con accoppiamento Josephson tra strati adiacenti. Energia di Gibbs (termini in B omessi per brevità):

●

Prendendo con lo stesso

●

Limite LD → GL per s<<ξ

(scala di variazione di ψ lungo z):

G= ∑

∫ ^dxdy [ ^{α ∣ ψ}

^∣

^{+ 1 2 β ∣ ψ}

^∣

^{+ 2 m ℏ}

^{( ∣ ∂ ψ ∂ x}

^∣

^{+ ∣ ∂ ψ ∂ y}

^{∣ ) + 2 m ℏ}

^s

^{∣ ψ}

^−ψ

^∣

] ^+...

somma sugli N strati integrale (2D) sul

singolo strato accoppiamento Josephson

integrale (2D) sul

singolo strato distanza tra strati

ℏ

2 m

s

^∣ ψ

−ψ

_∣

= ℏ

m

s

^∣ ψ

_∣

[ ^{1−cos (ϕ}

−ϕ

) ]

ψ

= _∣ ψ

_∣ e

_∣ ψ

_∣ ∀ n

Energia di accoppiamento Josephson con

E_j=ℏ²/m_cs²_∣ψ_n∣²

ℏ

2m

∣ ψ

− ψ

_∣

s

→ ℏ

2 m

∣ ^{∂ ψ} _{∂ z} ∣

YBCO: T*/T_c ~ 0.84, 3D tra T* ~ 78 K e T_c=92 K BSCCO: T*/T_c = 0.999, 3D per ~0.1 K sotto T_c

ξ

( T

)= s / √ ²

ξ

( T )→∞ per T →T

SC quasi-2D: flussoni e B _c2

a) H perpendicolare ai piani (basse T)

b) alte T: agitazione termica disallinea i pancake c) campo inclinato

B

(θ)∣ cosθ∣

B

+ ( ^B

^{B (θ)}

^{sin θ} )

⁼¹

Dipendenza angolare di B

:

con:

strati disaccoppiati → flussone scomposto in oggetti 2D (“pancakes”) (pancake su piani adiacenti si attraggono)

cuspide a θ=90°

B

= Φ

2 π ξ

(T ) ∝ 1−T /T

B

= Φ

2 π ξ

( T ) ( 2 ^d √ ³ ) ^{∝ √ 1−T /T}

come 3D

strato superconduttore s

d<<ξ_c B

da Fossheim e Sudbø

"Superconductivity - Physics and Applications"

ξ_ab

Confronti con l'esperimento

Superconduttore

Multistrati artificiali con

superconduttori a bassa T

Crossover 3D - 2D

Controllo dei parametri strutturali

Multistrati: crossover 2D – 3D

- Nb: (bulk: T_c=9.25 K, ξ(0)=38 Å) - Ge: isolante (amorfo)

Nb Ge D_Nb

D_Ge

Ruggiero etal, PRL 45, 1299 (1980)

H_c2∥=H_c2∥ab H_{c2 ⊥}=H_c2∥c

H

∝ √ ^{1−T /T}

H

∝ 1−T /T

H

∝ 1−T /T

3D 2D

T*

Multistrato artificiale Nb/Ge

Multistrati: crossover 2D – 3D

- V (bulk: T_c=5.4 K)

V Ag

Kanoda etal, PRB 33, 2052 (1986)

B

∝ √ ^{1−T /T}

B

∝ 1−T /T

B

∝ 1−T /T

3D 2D

T*

T*

B_c2∥=B_c2∥ab B_c2⊥=B_c2∥c

Multistrato artificiale V/Ag

T*

Multistrati: crossover 2D – 3D

Chun etal, PRB 29, 4915 (1984)

3D 2D

Multistrato artificiale Nb/Cu

(

)

(

)

+

(

)

-10 40 90 130

-10 40 90 130

B

∝ √ ^{1−T /T}

B

∝ 1−T /T

B

∝ 1−T /T

Approccio di scala

●

Si dimostra che, nelle ipotesi:

–

(cuprati: )

–

(cuprati: )

l'energia di Gibbs e tutte le grandezze termodinamiche dipendono da θ e B solo attraverso:

●

Se si pone , data una generica quantità fisica Q:

●

proprietà osservata sperimentalmente anche in grandezze relative al trasporto elettrico:

–

resistività d.c.

–

corrente critica

–

impedenza superficiale κ≫ 1

B≫B

κ∼100

B

∼10−100G

B/ B

(θ)

Q(B ,θ;T )=Q ( ^B

^B f (θ) ;T )

Blatter etal, PRL 68, 875 (1992) Hao e Clem, PRB 46, 5853 (1992)

B

(θ)= B

f (θ)

Studio dell'anisotropia tramite la sola f(θ)

ρ( B , θ;T ) J

( B ,θ;T ) Z

( B ,θ;T )

Il pinning può

rendere inapplicabili le proprietà di scala

Confronti con l'esperimento

Misure angolari di

trasporto elettrico

su YBa

Cu

O

Proprietà di scala: ρ(H,θ) in d.c.

determinata in modo tale da far sovrapporre tutte le curve

( H ,θ)→ H / f (θ)

f (θ)

H /f (θ)(T )

θ= 0°

30°

50°

60°

70°

75°

80°

85°

88°

90°

Misure su film di YBCO



J

⃗J ⊥ ⃗ H ∀ θ

configurazione

“maximum Lorentz force”

b a

Proprietà di scala: ρ

(H,θ) a microonde

determinata in modo tale da far sovrapporre tutte le curve



c H

T=81 K

Pompeo etal, PC 479, 160 (2012)

( H ,θ)→ H / f (θ)

f (θ)

d

Z

d=̃ρ=ρ

+ iρ

ρ

Misure di impedenza

superficiale su film di YBCO

T=81 K

Proprietà di scala: resistività complessa (H,θ) a microonde

determinata a partire da ρ_ff(H,θ)

( H ,θ)→ H / f (θ) f (θ)

Misure di impedenza

superficiale su film di YBCO

^

T=81 K

ρ

( u.a.) ρ

( u.a.)

ρ

( u.a.) ρ

( u.a.)

μ₀H /f (θ)(T ) μ₀H /f (θ)(T )

Proprietà di scala inapplicabile:

sono presenti centri di pinning estesi NB: ρ₁ e ρ₂ sono

determinate anche dal pinning.

d

Z

d=̃ρ=ρ

+ iρ

T=81 K

Proprietà di scala: J

(H,θ)

Misure su film di YBCO



J

⃗J ⊥ ⃗ H ∀ θ

configurazione

“maximum Lorentz force”

YBCO

(deposizione per ablazione laser) YBCO

(deposizione chimica)

pinning da difetti estesi lungo l'asse c

pinning

“intrinseco”

dovuto ai piani

Augieri etal, ASC 2010

b a