Riduzione degli schemi a blocchi

Riduzione degli schemi a blocchi

• Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita.

• I blocchi elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebrici sono:

• Negli schemi a blocchi i diversi elementi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti:

• Principali regole per la riduzione degli schemi a blocchi:

Esempio di riduzione di schema a blocchi

G₄ = _1+G^G2G3

2G3H1

G₅ = _1+G^G1G4

1G4H2

B₁ = _G^{B G5}

1G2

• Forma minima:

c = G₁G₂G₃r + B G₃d 1 + G₂G₃H₁ + G₁G₂G₃H₂

I grafi di flusso di segnale

• I grafi di flusso di segnale sono un mezzo, alternativo agli schemi a blocchi, per la rappresentazione grafica dei sistemi complessi. Esempio:

• Rispetto agli schemi a blocchi, essi forniscono una pi`u semplice rappresen- tazione grafica del sistema.

• Un grafo di flusso di segnale `e una rete composta di nodi e di rami orientati. I nodi indipendenti (o nodi sorgente) sono nodi a cui non giunge nessun ramo. I nodi dipendenti sono nodi ai quali giunge almeno un ramo. Ogni ramo `e caratterizzato da un coefficiente o trasmittanza.

• Per i grafi di flusso di segnale esistono regole di riduzione che sono simili a quelle degli schemi a blocchi. Mediante riduzione, ogni grafo di flusso di segnale pu`o essere portato in forma minima:

• Per calcolare la forma minima si utilizza la Formula di Mason

La formula di Mason

• Fornisce il coefficiente di trasmittanza T (ovvero la funzione di trasfe- rimento) di ogni singolo ramo del grafo in forma minima:

T = 1

∆ X

i∈P

P_i∆_i

• P `e l’insieme degli indici di tutti i percorsi esistenti tra i due nodi considera- ti; Pi `e il coefficiente dell’i-esimo percorso, cio`e il prodotto dei coefficienti di tutti i rami che compongono il percorso; ∆ `e il determinante dell’intero grafo; ∆i `e il determinante del grafo parziale che si ottiene eliminando tutti i nodi e i rami appartenenti al percorso i-esimo.

• Il determinante ∆ (∆i) di un grafo si calcola nel modo seguente:

∆ := 1 − X

i∈J1

Ai + X

(i,j)∈J2

AiAj − X

(i,j,k)∈J3

AiAj Ak + . . .

dove Ai `e il coefficiente dell’i-esimo anello; J<sub>1</sub> `e l’insieme degli indici di tutti gli anelli del grafo; Jn `e l’insieme delle n-ple di indici di tutti gli anelli del grafo che non si toccano n ad n.

• Esempio. Calcolare la funzione di trasferimento G(s) = ^X_X¹₀^(s)_(s) = T che, nel seguente grafo a flusso di segnale, lega la variabile di ingresso X0(s) alla variabile di uscita X₁(s):

Alcune precisazioni:

• Un percorso `e una successione di rami e nodi adiacenti senza anelli in cui ogni nodo viene attraversato una sola volta. Il coefficiente P del percorso `e il prodotto dei guadagni dei rami che lo compongono. Esempio:

PSfrag replacements

a

a bb cc d d

f e g h x

P = abcd

• Un anello `e un percorso chiuso. Il coefficiente A dell’anello `e il prodotto dei guadagni dei rami che lo compongono. Esempio:

PSfrag replacements

a

bb cc d d

f e g

h x h

A = bcdh

• Due percorsi o due anelli non si toccano quando non hanno nessun nodo in comune.

Per calcolare il determinante ∆ di un grafo `e necessario calcolare gli insiemi P, I₁, I₂, ecc.

• L’insieme P = {1, 2, 3} `e l’insieme degli indici di tutti i percorsi del grafo che collegano il nodo sorgente x0 al nodo dipendente di uscita x1. Ad ogni indice si associa il coefficiente Pi del corrispondente percorso:

i = 1 percorso: a b c d → P₁ = abcd i = 2 percorso: a e d → P2 = aed i = 3 percorso: a b f → P3 = abf

• L’insieme I₁ = {1, 2, 3, 4} `e l’insieme degli indici di tutti gli anelli del grafo.

Ad ogni indice si associa il coefficiente Ai del corrispondente anello:

i = 1 anello: e d h → A₁ = edh i = 2 anello: b c d h → A₂ = bcdh i = 3 anello: b f h → A3 = bf h i = 4 anello: g → A4 = g

• L’insieme I₂ = {(1, 4)} `e l’insieme delle COPPIE di indici degli anelli del grafo che NON si toccano a due a due:

gli anelli 1 e 4 non si toccano → I₂ = {(1, 4)}

• L’insieme In = { } per n ∈ [3, 4, . . .] `e l’insieme delle n-PLE di indici degli anelli del grafo che NON si toccano a n a n:

I₃ = I₄ = ... = In = { }

• Calcolati gli insiemi I1, I2, . . ., In e i coefficienti Ai di tutti gli anelli, il determinante del grafo ∆ si calcola utilizzando la formula:

∆ ^def= 1 − X

i∈I¹

Ai + X

(i,j)∈I2

AiAj − X

(i,j,k)∈I3

AiAjAk + ...

Per il caso in esame si ha che X

i∈I¹

Ai = edh + bcdh + bf h + g, X

(i,j)∈I2

AiAj = edhg per cui:

∆ = 1 − edh − bcdh − bf h − g + edhg Osservazioni:

• Il determinante di un grafo dipende SOLO dalla struttura degli anelli, non dal particolare percorso tra i due nodi. Esso `e dunque una propriet`a del grafo.

• Per quanto detto, tutti i rami del grafo in forma minima sono caratterizzati dallo stesso determinante ∆.

• I determinanti ∆i, per i ∈ [1, 2, 3], dei grafi parziali associati ai percorsi Pi si calcolano nello stesso modo del determinate ∆.

• Il determinante ∆₂ del percorso 2 (a, e, d), per esempio, si calcola eliminan- do tutti i rami e tutti i nodi appartenenti al percorso 2. Successivamente si cancellano tutti i rami che partono o arrivano in un nodo precedentemente eliminato (rami b, c, f, h). Il determinante ∆₂ del grafo parziale (anello g) `e quindi il seguente: ∆₂ = 1 − g.

0 1

0 1

PSfrag replacements

a b d c f e h g

x a a bb cc d d

ee

f g f

g

h h

x

x x

x

• Nel caso in esame, i determinanti ∆i dei grafi parziali associati ai percorsi P_i sono i seguenti:

i = 1 P₁ = abcd ∆₁ = 1 i = 2 P2 = aed ∆2 = 1 − g i = 3 P3 = abf ∆3 = 1

• Il numeratore della formula di Mason `e quindi il seguente:

X

i∈P

Pi∆i = abcd(1) + aed(1 − g) + abf (1)

• La funzione di trasferimento G(s) = ^X_X¹₀^(s)_(s) = T che nel grafo in forma minima collega l’ingresso x₀ all’uscita x₁ `e quindi la seguente:

T = abcd + aed(1 − g) + abf

1 − edh − bcdh − bf h − g + edhg

• Esempio 1:

x₀ a b c d e x₁

f

g

l h

m

• Nel grafo sono presenti quattro percorsi di segnale P₁ = a f e, P₂ = a b g e, P3 = a b c h, P4 = a b c d e e i cinque anelli A1 = f e m, A2 = b g e m, A3 = b c h m, A4 = b c d e m, A5 = c l

• Funzione di trasferimento:

T = x₁

x₀ = a f e(1 − c l) + a b g e + a b c h + a b c d e

1 − f e m − b g e m − b c h m − b c d e m − c l + f e m c l

• Esempio 2:

PSfrag replacements

a b c d f e

g h x

• Funzione di trasferimento:

y

x = A D B C + E (1+B C) 1 + B C + C D F

• Esempio 3:

a b

c d f e

g h x

• Funzione di trasferimento:

y

x = G₁G₂

1 + G1H₁ + G2H₂ + G1G₂

• Esempio 4:

PSfrag replacements

a b c d f e

g h x

• Funzione di trasferimento:

C(s)

R(s) = G₁G₂G₃ + G₁H₁G₃

1 + G1G₂G₃ + G1H₁G₃ + G2H₂ + G2G₃H₃ + H1G₃H₃

• Esempio 5. Schema a blocchi di un motore in corrente continua:

V

Ia

- 

1 R + Ls

?

?

 - -Ke ^-

Cm

E  _

K_e ^{ -}

1 b+ Js

6

6

ω_m

-  Ce

• Il legame “in forma minima” tra la variabile di uscita ωm(s) e le variabili di ingresso V (s) e Ce(s) `e il seguente:

ω_m(s) = G₁(s)V (s) + G₂(s)Ce(s)

dove G₁(s) lega l’ingresso di controllo V (s) all’uscita ωm(s)

G₁(s) = ωm(s) V(s) =

Ke

(R + L s)(b + J s)

1 + K_e²

(R + L s)(b + J s)

= Ke

(R + L s)(b + J s) + K_e²

mentre G₂(s) lega l’ingresso di disturbo Ce(s) all’uscita ωm(s):

G₂(s) = ωm(s) Ce(s) =

− 1

(b + J s)

1 + K_e²

(R + L s)(b + J s)

= −(R + L s)

(R + L s)(b + J s) + K_e²

• Esempio 5. Schema a blocchi di una frizione idraulica:

P

Q

- 

K_v

?

?

 -

 -

1 C_ms

6

6

P₁

-  

Q_x

A 

- A ^-F_x

- 

1 b+mps

?

?

˙x

 -

 -

6

1 s

6

K_m

6

F_m

- 

x

0

Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie G₁ = Kv, G₂ = 1

Cms, G₃ = 1

b + mps, G₄ = Km

s si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema:

G(s) = F_m(s)

P(s) = A G₁G₂G₃G₄

1 + G₁G₂ + A²G₂G₃ + G₃G₄ + G₁G₂G₃G₄ che sostituendo diventa:

G(s) = AK_mK_v

C_mm_ps³ + (Cmb+ Kvm_p)s² + (A² + CmK_m + Kv b)s + KmK_v

• Esempio. Sia dato il seguente sistema dinamico retroazionato:

r(t) e(t) 1

s+ 2

d1(t)

2 s

d2(t)

y(t)

h

• Calcolare il valore a regime della variabile e(t) in presenza dei seguenti segnali: r(t) = t, d1(t) = 1 e d²(t) = 1.

Si opera con le trasformate di Laplace e si applica la sovrapposizione degli effetti:

E(s) =

R(s) − 2h

s D¹(s) − hD²(s) 1 + 2h

s(s + 2)

= s(s + 2)R(s) − 2h(s + 2)D¹(s) − hs(s + 2)D²(s) s²+ 2s + 2h

Essendo R(s) = _s¹₂ e D¹(s) = D²(s) = ¹_s, si ha che:

E(s) = (s + 2) − 2h(s + 2) − hs(s + 2)

s(s²+ 2s + 2h) = (s + 2)(1 − 2h − hs) s(s²+ 2s + 2h) Applicando il teorema del valore finale si ricava:

tlim→∞e(t) = lim

s→0sE(s) = 1 − 2h

h = 1

h − 2