Universit` a degli Studi di Trento

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CORSO DI ANALISI MATEMATICA II DIPARTIMENTO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 2017/2018

ALBERTO MAIONE

Prima lezione - 08/03/2018

1. Richiami teorici

Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Definiamo la funzione d : X × X → R

(x, y) 7→ d(x, y) una metrica (o distanza) su X se essa verifica le seguenti propriet´ a:

(i) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ X;

(ii) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X.

Osservazione 1. Qualora nella definizione precedente non fosse verificata la (i), ma fosse verificata la seguente propriet´ a:

(i’) d(x, y) ≥ 0; x = y =⇒ d(x, y) = 0 ∀ x, y ∈ X ma ∃ x, y ∈ X tali che x 6= y e d(x, y) = 0 diremo che d ` e una pseudo metrica su X.

Definizione 2. Sia X insieme non vuoto e d una metrica su X. Definiamo la coppia (X, d) spazio metrico.

Definizione 3. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊂ X. Diremo che E ` e limitato in X rispetto alla metrica d se ∃ x ∈ X e ∃ r > 0 tali che

E ⊂ D(x, r) = {y ∈ X t.c. d(x, y) < r}

o, equivalentemente, se il diametro di E

diam(E) := sup{d(x, y) t.c. x, y ∈ E} < ∞.

Definizione 4. Siano d e d ⁰ due metriche su uno stesso insieme non vuoto X. Diremo che d ` e equivalente a d ⁰ se ∃ c ₁ , c ₂ ∈ R ⁺ tali che

c 1 d(x, y) ≤ d ⁰ (x, y) ≤ c 2 d(x, y) ∀ x, y ∈ X.

2. Esercizi

Esercizio 1. Dimostrare che la seguente funzione ` e una metrica su R ^N : d ₁ : R ^N × R ^N → R

(x, y) 7→

N

X

i=1

|x i − y i |

Soluzione:

(i) Banalmente, dalle propriet´ a del valore assoluto, risulta che d 1 (x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R ^N . Risulta inoltre che:

d ₁ (x, y) = 0 ⇐⇒ |x _i − y _i | = 0 ∀ i ∈ {1, ..., N } ⇐⇒ x _i = y _i ∀ i ∈ {1, ..., N } ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ R ^N . (ii) Per le propriet´ a del valore assoluto vale inoltre che:

d ₁ (x, y) = d ₁ (y, x) ∀ x, y ∈ R ^N .

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(iii) Dimostriamo infine, per induzione su N ∈ N, la disuguaglianza triangolare:

– Base induttiva: caso N = 1.

Osserviamo che in questo caso d 1 coincide con la metrica euclidea in R la quale verifica banalmente la disuguaglianza triangolare.

– Ipotesi induttiva: supponiamo che la disuguaglianza sia verificata fino al caso (N − 1)-esimo, ovvero che, posta

d ^∗ ₁ : R ^{N −1} × R ^{N −1} → R (x, y) 7→

N −1

X

i=1

|x i − y i |

essa sia una metrica su R ^{N −1} .

– Mostriamo a questo punto che d 1 ` e una metrica su R ^N . Fissiamo, a questo proposito, x = (x ₁ , ..., x _N ), y = (y ₁ , ..., y _N ), z = (z ₁ , ..., z _N ) ∈ R ^N

e verifichiamo che

d 1 (x, y) ≤ d 1 (x, z) + d 1 (z, y).

d ₁ (x, y) =

N

X

i=1

|x i − y i | =

N −1

X

i=1

|x i − y i | + |x N − y N | = d ^∗ ₁ (x, y) + |x _N − z N + z _N − y N |

≤ d ^∗ ₁ (x, z) + d ^∗ ₁ (z, y) + |x N − z N | + |z N − y N |

=

N −1

X

i=1

|x _i − z _i | + |x _N − z _N | +

N −1

X

i=1

|z _i − y _i | + |z _N − y _N |

=

N

X

i=1

|x i − z i | +

N

X

i=1

|z i − y i | = d 1 (x, z) + d 1 (z, y).

Esercizio 2. Sia X un insieme non vuoto e sia d una generica metrica su X. Mostrare che la coppia (X, d) ` e uno spazio metrico limitato, dove

d : X × X → R (x, y) 7→ d(x, y)

1 + d(x, y) Soluzione:

1) Dimostriamo per prima cosa che d ` e una metrica in X:

(i) Banalmente, dalle propriet´ a di d, risulta che d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X e che d(x, y) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ X.

(ii) Nuovamente la simmetria di d implica che

d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X.

(iii) Verifichiamo infine che

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X.

Proponiamo, a tal fine, due metodi (Metodo 1) Definiamo

f : R ⁺ 0 → R t 7→ t

1 + t

Si pu` o facilmente osservare che f ` e continua e strettamente crescente in tutto il suo

dominio di definizione, essendo f ⁰ (t) = _(1+t) ¹

> 0 ∀ t ∈ R ⁺ 0 .

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Fissati quindi x, y, z ∈ X e osservando che, per la disuguaglianza triangolare verificata da d risulta che d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), si ha allora, per la monotonia di f , che d(x, y) = f (d(x, y)) = d(x, y)

1 + d(x, y) < (d(x, z) + d(z, y))

1 + (d(x, z) + d(z, y)) = f (d(x, z) + d(z, y))

= d(x, z)

1 + d(x, z) + d(z, y) + d(z, y) 1 + d(x, z) + d(z, y)

≤ d(x, z)

1 + d(x, z) + d(z, y)

1 + d(z, y) = f (d(x, z)) + f (d(z, y)) = d(x, z) + d(z, y).

(Metodo 2) Fissiamo x, y, z ∈ X e osserviamo che:

d(x, y) = d(x, y)

1 + d(x, y) = d(x, y) + 1 − 1 1 + d(x, y)

= 1 + d(x, y)

1 + d(x, y) − 1

1 + d(x, y) = 1 − 1 1 + d(x, y)

≤ 1 − 1

1 + d(x, z) + d(z, y) = d(x, z) + d(z, y) 1 + d(x, z) + d(z, y)

= d(x, z)

1 + d(x, z) + d(z, y) + d(z, y) 1 + d(x, z) + d(z, y)

≤ d(x, z)

1 + d(x, z) + d(z, y)

1 + d(z, y) = d(x, z) + d(z, y).

Discende, da quanto appena dimostrato, che (X, d) ` e uno spazio metrico.

2) La limitatezza dello spazio (X, d) ` e data dal fatto che

|d(x, y)| = d(x, y)

1 + d(x, y) < 1 ∀ x, y ∈ X.

Otteniamo cos´ı che

diam(X, d) = sup{d(x, y), x, y ∈ X} ≤ 1.

(L’uguaglianza diam(X) = 1 vale nel caso in cui (X, d) sia uno spazio metrico illimitato).

Esercizio 3. Verificare se la funzione

d : R ^N × R ^N → R (x, y) 7→ min

i=1,...,N |x i − y i |

` e una metrica oppure una pseudo metrica su R ^N .

Soluzione:

(i) Banalmente, per come ` e stata definita d, risulta che d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R ^N . Considerando tuttavia

x = (1, 0, ..., 0), y = (0, 1, 0, ..., 0) ∈ R ^N

otteniamo che d(x, y) = 0 pur essendo x 6= y. Ne discende che d potr´ a al pi´ u essere una pseudo metrica su R ^N , qualora essa verifichi la propriet´ a simmetrica e la disuguaglianza triangolare.

(ii) Dalla simmetria della metrica euclidea in R discende che d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ R ^N . (iii) Per concludere, osserviamo infine che, scelti ad esempio

x = (1, ..., 1), y = (0, ..., 0), z = (1, 0, ..., 0) ∈ R ^N risulta che

d(x, y) = 1 > d(x, z) + d(z, y) = 0.

Di conseguenza, la funzione d non ` e n´ e una metrica, n´ e una pseudo metrica su R ^N .

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Esercizio 4. Verificare che la coppia (R ^N , d) ` e uno spazio metrico, dove d : R ^N × R ^N → R

(x, y) 7→ min{1, d ₂ (x, y)}

con d 2 metrica euclidea in R ^N .

Verificare successivamente se la metrica d ` e equivalente alla metrica d 2 . Soluzione:

(i) Banalmente, per le propriet´ a di d ₂ , risulta che d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R ^N . Osserviamo poi che

d(x, y) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = d 2 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ R ^N . (ii) Risulta poi che

d(y, x) = min{1, d ₂ (y, x)} = min{1, d ₂ (x, y)} = d(x, y) ∀ x, y ∈ R ^N .

(iii) Per quanto riguarda la dimostrazione della disuguaglianza triangolare, fissiamo x, y, z ∈ R ^N , distinguendo i seguenti due casi:

Caso 1) d(x, z)+d(z, y) ≥ 1. In questo caso non c’` e nulla da dimostrare essendo d(x, y) ≤ 1 ∀ x, y ∈ R ^N ; Caso 2) d(x, z) + d(z, y) < 1. In questo secondo caso osserviamo banalmente che

d(x, z) + d(z, y) < 1 =⇒

( d(x, z) < 1 d(z, y) < 1 =⇒

( d(x, z) = d ₂ (x, z) < 1 d(z, y) = d 2 (z, y) < 1 Da cui, applicando la disuguaglianza triangolare a d ₂ , otteniamo che:

d(x, y) ≤ d ₂ (x, y) ≤ d ₂ (x, z) + d ₂ (z, y) = d(x, z) + d(z, y).

Per concludere l’esercizio ricordiamo che d ` e equivalente a d ₂ se ∃ c ₁ , c ₂ ∈ R ⁺ tali che c ₁ d(x, y) ≤ d ₂ (x, y) ≤ c ₂ d(x, y) ∀ x, y ∈ R ^N .

Considerando c 1 = 1 otteniamo banalmente, dalla definizione di d, che d(x, y) ≤ d 2 (x, y) ∀ x, y ∈ R ^N . Tuttavia non pu´ o esistere c 2 ∈ R ⁺ tale che d 2 (x, y) ≤ c 2 d(x, y) ∀ x, y ∈ R ^N .

Supponiamo infatti, per assurdo, che ∃ c 2 ∈ R ⁺ tale che d 2 (x, y) ≤ c 2 d(x, y) ∀ x, y ∈ R ^N e scegliamo x = (c 2 + 1, 0, ..., 0), y = (0, ..., 0) ∈ R ^N .

Osserviamo che

d 2 (x, y) = c 2 + 1 > c 2 ≥ c 2 d(x, y) essendo, per costruzione, d(x, y) ≤ 1 ∀ x, y ∈ R ^N , il che ` e assurdo.

Esercizio 5. Sia (X, d) un generico spazio metrico. Dimostrare che d verifica la disuguaglianza quadran- golare

|d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w) ∀ x, y, z, w ∈ X.

Soluzione:

Fissiamo x, y, z, w ∈ X e supponiamo, senza perdita di generalit´ a che d(x, y) ≥ d(z, w).

Applicando la disuguaglianza triangolare di d a x, y ∈ X otteniamo d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Applicando nuovamente la disuguaglianza triangolare di d a z, y ∈ X otteniamo d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, w) + d(w, y).

Applicando, infine, la propriet´ a simmetrica di d a w, y ∈ X abbiamo che

d(x, y) − d(z, w) ≤ d(x, z) + d(w, y) = d(x, z) + d(y, w)

il che ` e proprio ci´ o che volevamo dimostrare.