Definizione 1. Dato uno spazio metrico (X, d) definiamo successione un’applicazione f : A ⊂ N → (X, d)

Universit` a degli Studi di Trento

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II DIPARTIMENTO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 2017/2018

ALBERTO MAIONE

Seconda lezione - 13/03/2018

1. Richiami teorici

Definizione 1. Dato uno spazio metrico (X, d) definiamo successione un’applicazione f : A ⊂ N → (X, d)

n 7→ f (n) := x

Indicheremo d’ora in avanti tale successione con la scrittura (x

)

o, semplicemente (x

)

quando il contesto lo permetter´ a.

Definizione 2. Dati (X, d) spazio metrico, (x

)

successione in (X, d) e x ∈ X, diremo che la successione (x

)

converge a x e, formalmente, scriveremo

n→∞

lim x

= x se

∀ε > 0 ∃ n = n(ε) ∈ N : ∀ n ≥ n d(x

, x) < ε.

Definizione 3. Dati (X, d) spazio metrico e (x

)

successione in (X, d), definiamo tale successione di Cauchy in (X, d) se

∀ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ N : ∀ n, m ≥ N d(x

, x

) < ε

Osservazione 1. In (X, d) = (R

, d) con d metrica indotta da una delle norme equivalenti in R

, ogni successione ` e di Cauchy ⇐⇒ ` e convergente.

In generale ci` o non ` e vero, ma vale solamente che ogni successione convergente in (X, d) spazio metrico ` e di Cauchy in tale spazio.

Definizione 4. Sia (X, d) spazio metrico. Lo definiremo completo se ogni successione di Cauchy converge in tale spazio.

2. Esercizi

Esercizio 1. Considerato lo spazio metrico (R, d

) e chiamata d = d

|

, dove d

` e la metrica indotta dalla funzione | · | in R, si dimostri che la successione (x

)

⊂ Q, definita da x

= 1 +

, ` e di Cauchy in (Q, d) ma non pu`o convergere a nessun elemento di tale spazio.

Soluzione:

Osserviamo che la successione (x

)

⊂ R definita da (x

) = 1 +

converge, rispetto alla metrica d

, ad e ∈ R numero di Nepero, per definizione di e stesso. Essendo convergente essa `e anche di Cauchy in (R, d

) ed essendo 1 +

∈ Q ∀ n ∈ N, ne consegue che tale `e di Cauchy in (Q, d).

Per concludere l’esercizio mostriamo che essa non pu` o convergere ad alcun elemento di (Q, d).

Supponiamo per assurdo che ∃ x ∈ Q tale che

n→∞

lim x

= x.

Per definizione di convergenza, ne discende che

n→∞

lim d(x

, x) = 0.

Tuttavia, sapendo che

n→∞

lim

 1 + 1

n



= e 6∈ Q

2

abbiamo che

n→∞

lim d(x

, x) = lim

n→∞

d



1 + 1 n



, x



= |e − x| 6= 0 ∀ x ∈ Q ma ci´ o ` e assurdo.

Osservazione 2. Osserviamo che, nell’esercizio precedente, la non completezza dello spazio (Q, d) `e dovuta al fatto che tale spazio non ` e chiuso in (R, d

) (Ricordiamo infatti che (Q, d) `e denso in (R, d

)).

Pi` u in generale, parlando di spazi metrici qualunque, vale il seguente risultato:

Teorema 1. Sia (X, d) spazio metrico completo e sia Y ⊂ X. Chiamata d

la metrica indotta da d in Y (d

= d|

) vale che:

(Y, d

) ` e uno spazio metrico completo ⇐⇒ (Y, d

) ` e chiuso rispetto alla topologia di sottospazio.

Esercizio 2. Mostrare che la coppia (R, d), dove d : R × R → R

(x, y) 7→ | arctan(x) − arctan(y)|

`

e uno spazio metrico non completo.

(Suggerimento: mostrare che la successione (x

)

⊂ R, definita da x

= n, ` e di Cauchy in (R, d) ma non pu` o convergere in tale spazio)

Soluzione:

Per prima cosa dimostriamo che la coppia (R, d) `e uno spazio metrico.

(i) Banalmente, dalle propriet´ a di | · | in R, abbiamo che d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R.

Risulta inoltre che, dalla monotonia della funzione arctan,

d(x, y) = 0 ⇐⇒ | arctan(x) − arctan(y)| = 0 ⇐⇒ arctan(x) = arctan(y) ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ R.

(ii) Per la simmetria di | · | risulta inoltre che

d(x, y) = | arctan(x) − arctan(y)| = | arctan(y) − arctan(x)| = d(y, x) ∀ x, y ∈ R.

(iii) Verifichiamo infine che

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ R.

Fissati x, y, z ∈ R abbiamo, per la monotonia della funzione arctan e per la disuguaglianza trian- golare verificata dalla metrica indotta dalla funzione | · | in R, che:

d(x, y) = | arctan(x) − arctan(y)| = | arctan(x) − arctan(z) + arctan(z) − arctan(y)|

≤ | arctan(x) − arctan(z)| + | arctan(z) − arctan(y)| = d(x, z) + d(z, y).

Ne consegue che la coppia (R, d) `e uno spazio metrico.

Dimostriamo ora che la successione (n)

non pu` o convergere in (R, d).

Supponiamo per assurdo che ∃ x ∈ R tale che

n→∞

lim n = x.

Ne discende, applicando la definizione di convergenza in (R, d), che

n→∞

lim d(n, x) = 0.

Osserviamo tuttavia che

n→∞

lim d(n, x) = | arctan(n) − arctan(x)| =    π

2 − arctan(x)    6= 0 il che ` e assurdo.

Per concludere l’esercizio dimostriamo che la successione (n)

non ` e di Cauchy in (R, d).

Proponiamo, a tal fine, due metodi:

(Metodo 1) Ricordiamo preliminarmente che

arctan(x) − arctan(y) = arctan  x − y 1 + xy



∀ x, y ∈ R tali che xy > 1.

Fissiamo ε > 0 e fissiamo n, m ∈ N tali che n > m. Abbiamo quindi che:

d(x

, x

) = d(n, m) = | arctan(n) − arctan(m)| =    

arctan  n − m 1 + nm



.

3

Fissato poi N ∈ N tale che n > m ≥ N osserviamo che:

n − m 1 + nm < n

nN < 1 N . Ne consegue, per la monotonia della funzione arctan, che

d(x

, x

) <

arctan  1 N

   

= arctan  1 N

 . Ricordando poi che, per N sufficientemente grande, vale che:

1

N ≤ tan  1 N



=⇒ arctan  1 N



≤ 1 N . Ne discende che

d(x

, x

) < 1 N Posto quindi

N = N (ε) ≥ 1

ε tale che N ∈ N abbiamo che

d(x

, x

) < 1

N ≤ ε ∀ n, m ≥ N ovvero che la successione (n)

` e di Cauchy in (R, d).

(Metodo 2) Fissiamo ε > 0 e n, m ∈ N tali che n > m( =⇒ arctan(n) > arctan(m)).

Sfruttando le propriet´ a della metrica indotta dalla funzione | · | in R, risulta che:

d(n, m) = | arctan(n) − arctan(m)|

=  

 arctan(n) − π 2 + π

2 − arctan(m)   

≤  

 arctan(n) − π 2    +

   π

2 − arctan(m)   

=    π

2 − arctan(n)    + 

  π

2 − arctan(m)   

< 2    π

2 − arctan(m)    . Scelto quindi

N = N (ε) ≥ tan  π − ε 2



tale che N ∈ N ne consegue che

d(n, m) < 2    π

2 − arctan(m)   

≤ 2    π

2 − arctan(N )   

≤ 2     π

2 − arctan



tan  π − ε 2



= 2     π

2 − π − ε 2

= ε

∀ n, m ∈ N tali che n, m ≥ N.

Ne consegue che la successione (n)

` e di Cauchy in (R, d).