Méthode de Monte-Carlo

Méthode de Monte-Carlo

Théorème

On note D = [0, 1]^d ⊂ R^d que l’on munit de la mesure de Lebesgue. Soient f ∈ L¹(D) et (Y_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées définies de loi uniforme sur D définies sur l’espace probabilisé (Ω, A, P). On pose pour tout n ∈ N, Xn= f ◦ Yn et Xn = _n^{1 Pn}_i=1Xi. Alors

(i) la suite (X_n)_n≥1 converge P-presque sûrement vers I =^RDf (x)dx ; (ii) si de plus f ∈ L^∞(D) alors pour tout 0 < ε ≤ ^{kf k}

2 2

kf k_∞ on a

P(|Xn− I| > ε) ≤ 2 exp −nε² 4 kf k²₂

!

.

Démonstration :

(i) Les variables aléatoires Y_n sont indépendantes, les X_n le sont donc aussi. De plus les X_n sont de même loi et par le théorème de transfert et l’hyptohèse que f ∈ L¹(D), elles admettent une moyenne. On va donc pouvoir appliquer la loi forte des grands nombres à la suite (X_n)_n. Calculons l’espérance de X₁, par le théorème du transfert et puisque les Y_n sont de loi uniformes sur [0, 1]^d

E(X1) =

Z

R^d

f (x)dPYn

=

Z

R^d

f (x)1[0,1]^d(x)dx = I.

Donc d’après la loi forte des grands nombres on a : X_n −→^p.s.

n→+∞I

(ii) • Remarquons que puisque f ∈ L^∞(D) on a f ∈ L²(D) et X₁ ∈ L²(Ω).

• Première majoration de P(Xn− I > ε) : posons pour tout n ∈ N, en = X_n− I et soient ε > 0 et α > 0 on a alors :

P(en> ε) = P(e^αen > e^αε) ≤

M arkov

E(e^αen) e^αε .

1

Et,

E(e^αen) = E

"

exp α n

n

X

i=1

X_i − I

!#

= E

"

exp α n

n

X

i=1

(X_i− I)

!#

= E

" _n Y

i=1

exp

α

nX_i− I

#

=

n

Y

i=1

E



exp

α

nXi− I



= E



exp

α

nX_i− I

n

.

Or, une étude rapide la fonction t 7→ e^−t(1 + t + t²) montre que pour tout |t| ≤ 1 on a :

e^t≤ 1 + t + t² (1)

. De plus pour presque tout x ∈ D on a par inégalité triangulaire :

|f (x) − I| ≤ |f (x)| +

    Z

D

f (x)dx

≤ 2 kf k_∞. Ainsi on peut appliquer (1) dès que α ≤ _{2kf k}ⁿ

∞, on obtient alors : E(e^αen) ≤

"

E 1 + α

n(X₁− I) +α²

n²(X₁− I)²

!#n

≤

"

1 + α²

n²V(X¹)

#n

≤

"

1 + α²

n²E(X1²)

#n

≤

"

1 + α² n² kf k²₂

#n

≤ exp α² n kf k²₂

!

.

Car ln(1 + t) ≤ t dès que t est positif. On obtient alors pour tout α ≤ _{2kf k}ⁿ

∞

P(en> ε) ≤ exp(−αε) exp α² n kf k²₂

!

= exp

"

α αkf k²₂ n − ε

!#

.

• Optimisation de α : On cherche α₀ minimisant α



α^{kf k}_n²² − ε



, c’est-à-dire α₀ = ^εn

2kf k²₂. On a alors

α₀ ≤ n

2 kf k_∞ ⇐⇒ ε ≤ kf k²₂ kf k_∞ Donc pour tout 0 < ε ≤ _{kf k}^{kf k22}

∞,

P(en> ε) ≤ exp

"

εn 2 kf k²₂

ε 2 − ε

#

≤ exp −ε²n 4 kf k²₂

!

.

2

• De même on montre que pour tout 0 < ε ≤ _{kf k}^{kf k22}

∞ : P(−en< −ε) ≤ exp −ε²n

4 kf k²₂

!

.

Ainsi on obtient bien que pour tout 0 < ε ≤ _{kf k}^{kf k22}

∞ :

P(|Xn− I| > ε) ≤ exp −ε²n 4 kf k²₂

!

.



Bonus (Intervalle de confiance)

On suppose f ∈ L²(D), par la loi forte des grands nombres :

∆² := 1 n

n

X

i=1

(Xi− Xn)² −→^p.s.

n→+∞V(X1).

Donc d’après le théorème central limite et le lemme de Slutsky :

√n

∆_n(X_n− I) −→^L

n→+∞Z ∼ N (0, 1).

Dès lors dès que n est assez grand :

P

"

Xn− 1.96∆n

√n ≤ I ≤ Xn+ 1.96∆n

√n

#

= 0.95

3