Confronto con Monte Carlo

Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Discretizzazione equazione del calore

Per l’equazione

∂p

∂t = ^σ

2

2

∂²p

∂x² usiamo lo schema esplicito

pt_k+1(x_i) pt_k (x_i) ht

= ^σ

2

2

p_tk (x_i+1) p_tk(x_i) +p_tk (x_{i 1}) h²_x

che calcola ptk+1(xi)a partire da ptk (xi+1), ptk (xi), ptk(xi 1) (per questo servono delle condizioni al bordo)

Serve la condizione di stabilità σ²

2 h_t h²_x

1 2. Usiamo la condizione iniziale p¹

2πeexp ^{(x x0)}

2

2e che approssima una delta di Dirac nel punto x₀, avendo area uno.

Esempio del MB

Due istanti della simulazione

Confronto con Monte Carlo

Per ottenere lo stesso risultato con MC bisogna simulare un elevato numero N di moti browniani indipendenti e poi fare l’istogramma delle posizioni ad istanti pre…ssati:

Esempio lineare

Consideriamo l’equazione stocastica

dX_t = λXtdt+σdBt, X₀=1 e l’associata equazione di Fokker-Planck:

∂p

∂t = ^σ

2

2

∂²p

∂x² +λ∂(xp)

∂x Ecco il metodo numerico:

pt_k+1(xi) pt_k (xi) ht

= ^σ

2

2

p_tk (x_i+1) p_tk (x_i) +p_tk (x_{i 1}) h²_x

+λx_i+1p(x_i+1) x_ip(x_i) hx

.

Esempio lineare

Partenza da x₀ =1

Esempio nonlineare

Consideriamo l’equazione stocastica

dXt = Xt X_t³ dt+σdBt, X0 =0.5 e l’associata equazione di Fokker-Planck:

∂p

∂t = ^σ

2

2

∂²p

∂x²

∂ x x³ p

∂x Ecco il metodo numerico:

p_tk+1(x_i) p_tk (x_i)

h_t = ^σ

2

2

p_tk (x_i+1) p_tk (x_i) +p_tk (x_{i 1}) h²_x

x_i+1 x_i³₊₁ p(x_i+1) x_i x_i³ p(x_i) hx

Esempio nonlineare e confronto con Monte Carlo

Esempio nonlineare e confronto con Monte Carlo

Calcolo di un valor medio

Nota pt(x), possiamo calcolare ogni valor medio relativo a Xt (es.

media e varianza)

E[ϕ(Xt)] =

Z

ϕ(x)pt(x)dx.

Questo però richiede un’ulteriore integrazione. Resta il metodo migliore se bisogna calcolare diversi valori medi.

In alternativa, si può usare il fatto che la funzione (t, x)7!^E[ϕ(X_t^x)]

soddisfa, sotto certe ipotesi, un’altra equazione alle derivate parziali (la cosidetta equazione di Kolmogorov, che non studieremo). Qui X_t^x è la soluzione della SDE con dato iniziale x.

Monte Carlo o Fokker-Planck?

Quando conviene l’uno o l’altro?

A parte aspetti minori, tipo il fatto che con Monte Carlo si fa la stessa fatica a trovare un istogramma o un valor medio, mentre con

Fokker-Planck per un valor medio serve una successiva integrazione;

mentre per avere una densità liscia con Monte Carlo serve un successivo smoothing, la ragione principale è legata alla dimensione dello spazio.

Più è elevata, più il metodo basato su Fokker-Planck diventa costoso, anzi già molto impegnativo in 3D e proibitivo in dimensione maggiore. Se ad esempio si vuole simulare un sistema di due particelle in 3D, ciascuna quindi con 3 gradi di libertà, la SDE ha 6 gradi di libertà e la

corrispondente Fokker-Planck è in R⁶: inaccessibile.

Invece l’incremento di corso su Monte Carlo è irrilevante. Quindi MC conviene in dimensione alta.

Tempi lunghi

Un altro problema evidente è far correre le simulazioni per tempi lunghi. Ma su questo problema viene in aiuto il concetto di densità invariante (stazionaria, di equilibrio).

Esaminiamo la situazione in cui b(x)e σ(x) siano indipendenti da t.

Supporremo nel seguito che valga il seguente fatto, che potremmo chiamare teorema di convergenza all’equilibrio:

t!+lim∞p_t(x) =p_∞(x).

Se abbiamo un modo diretto di calcolare p_∞(x), otteniamo un’approssimazione di p_t(x)per tempi lunghi.

Densità invariante (equazione)

Sotto opportune ipotesi vale:

Theorem

1 2

∑

∂i∂j(a_ijp_∞) div(bp_∞) =0.

Abbiamo quindi un’equazione con cui cercare di calcolare direttamente p_∞(x).

Vedremo negli esempi 1D che è un’equazione più semplice delle precedenti. Infatti diventa la ODE del second’ordine

1

2(ap_∞)⁰⁰ = (bp_∞)⁰.

Densità invariante (perché del nome)

Se consideriamo la SDE con densità iniziale p₀(x) =p_∞(x), sappiamo che la densità pt(x) soddisfa

∂pt

∂t = ¹ 2

∑

∂i∂j(aijpt) div(bpt), p0(x) =p_∞(x).

Ma anche la funzione ept (x)^def= p_∞(x)la soddisfa (ambo i membri sono uguali a zero).

Dando per scontato un opportuno teorema di unicità, deduciamo ep^t(x) =p_t(x), ovvero

p_t(x) =p_∞(x).

Interpretazione: p_∞(x)è invariante (partendo con p_∞(x), si osserva sempre p_∞(x)).

Il caso 1D

Come abbiamo già osservato, in d =1 abbiamo la ODE 1

2 σ²p_∞ ⁰⁰ = (bp_∞)⁰. Integrando,

1

2 σ²p_∞ ⁰ =bp_∞+C0.

E’quindi un’equazione di¤erenziale lineare del prim’ordine, con C₀ costante da determinare (di solito C0 =0), a cui vanno aggiunte le condizioni

p_∞ 0 Z

p_∞(x)dx =1.

Criterio 1D

Nella pratica è utile il seguente criterio:

Se p_∞(x)è una funzione che soddisfa 1

2 σ²p_∞ ⁰ =bp_∞. p_∞ 0 Z

p_∞(x)dx =1 allora è la densità invariante.

Esempio equazione lineare

dX_t = λXtdt+σdBt, X₀=0 L’equazione da risolvere è (proviamo con C₀=0)

σ²

2 p_∞⁰ = λxp_∞ p_∞⁰ = ^2λ

σ²xp_∞ la cui soluzione con p_∞ 0,R

p_∞(x)dx =1, è p_∞(x) = ¹

Z exp λ

σ²x² R

Confronto simulativo

Ra¢ guriamo il caso λ=10, σ=1. A sinistra: la formula esatta, con Z =1. La simulazione FP parte da un dato iniziale molto concentrato attorno a x =2, e fornisce il gra…co di destra dopo circa un minuto di simulazione.

Esempio del moto browniano

dXt =σdBt, X0 =0.

L’equazione da risolvere è

σ²

2 p_∞⁰ =C₀ ovvero p⁰_∞ =C₁, ovvero

p_∞(x) =C₁x+C₂

che però non può soddisfare le condizioni precedenti, per alcuna scelta delle costanti.

Non esiste la densità invariante!

Non sempre esiste!

Esempio equazione non lineare

dXt = Xt X_t³ dt+σdBt, X0 =0 L’equazione da risolvere è

σ²

2 p_∞⁰ = x x³ p_∞, p_∞⁰ = ²

σ² x x³ p_∞ la cui soluzione è

p_∞(x) = ¹

Z exp 2 σ²

x² 2

x⁴ 4 con Z costante di normalizzazione, Z =R

exp ²

σ² x²

2 x⁴

4 dx.

Confronto simulativo

Ra¢ guriamo il caso σ=1. A sinistra: la formula esatta, con Z =1. La simulazione FP parte da un dato iniziale concentrato attorno a x =0.5, e fornisce il gra…co di destra dopo circa un minuto di simulazione.

Struttura esercizio su SDE

Verrà assegnata una SDE (es. dX_t = X_t X_t³ dt+σdBt).

1 Si chiederà di visualizzare alcune traiettorie, per avere una prima idea del comportamento; magari al variare di parametri, es. σ.

2 Si chiederà di visualizzare la densità tramite Monte Carlo; ed eventualmente di calcolare una probabilità o un valor medio, con Monte Carlo.

3 Si chiederà di visualizzare la densità tramite Fokker-Planck.

4 Si chiederà di scrivere e di risolvere analiticamente l’equazione per la densità invariante (col dovuto aiuto) e di ra¢ gurarla; ed

eventualmente di tentare un confronto con la risoluzione Monte Carlo e/o Fokker-Planck per tempi lunghi.

5 Se l’esempio si presta, si chiederà di svolgere un calcolo tramite la formula di Itô, con eventuale confronto sperimentale del risultato.